스테라디안

스테라디안
단위의 종류	SI 유도 단위
측정 대상	입체각
기호	sr

구의 중심에서 1 스테라디안이 차지하는 영역

스테라디안(영어: steradian, 또는 영어: square radian, 기호 sr)은 3차원 공간의 입체각을 나타내는 SI 유도 단위이다. 라디안이 원의 중심에서 잘라낸 호의 길이를 반지름으로 나눈 값인 것처럼, 스테라디안은 구의 중심에서 잘라낸 구면의 넓이를 반지름의 제곱으로 나눈 값이다.

명칭은 ‘단단한’을 뜻하는 그리스어 *stereos*와 ‘광선’을 뜻하는 라틴어 *radius*에서 유래했다. 따라서 ‘제곱라디안’(square radian)이라는 설명도 쓰이지만, 국제단위계의 기호는 sr이다.

정의

반지름이 $r$인 구의 중심에서 어떤 영역이 차지하는 구면의 넓이를 $A$라고 하면 입체각 $\Omega$는 다음과 같다. \: $\Omega ={\frac {A}{r^{2}}}\operatorname {sr}$

구면에서 $A=r^{2}$인 영역이 중심에서 차지하는 입체각이 1 스테라디안이다. 구의 전체 표면적은 $4\pi r^{2}$이므로, 한 점에서 보이는 구 전체의 입체각은 $4\pi$ sr, 약 12.56637 sr이다. 따라서 한 스테라디안은 구 전체의 $1/(4\pi )$이다.

구면 모자와 원뿔의 단면

원뿔이 구에서 잘라내는 구면 모자의 높이를 $h$라고 하면 $A=2\pi rh$이므로, 1 스테라디안에서는 $h/r=1/(2\pi )$이다. 이때 원뿔의 반각 $\theta$는 \: $\theta =\arccos \left(1-{\frac {1}{2\pi }}\right)\approx 0.572\operatorname {rad} =32.77^{\circ }$ 이고, 원뿔의 꼭짓각은 약 65.54°이다.

다른 각 단위와의 관계

스테라디안은 라디안의 3차원 대응물로 볼 수 있다. 구면의 입체각을 제곱도로 나타내면 \: $1\operatorname {sr} =\left({\frac {180^{\circ }}{\pi }}\right)^{2}\approx 3282.80635{\text{ 제곱도}}$ 이다. 입체각은 구면다각형의 구면 초과와도 관계가 있다. 구면다각형의 내각의 합이 평면에서 예상되는 값보다 1 라디안만큼 클 때 그 구면 영역은 1 스테라디안에 대응한다.

사용

스테라디안은 광도와 복사속의 공간 분포, 안테나의 지향성, 입자·광자 빔의 입체각, 천문학에서 천체가 차지하는 겉보기 영역을 표현할 때 사용된다. 실제 관측에서는 밀리스테라디안(msr)과 마이크로스테라디안(μsr) 같은 배수도 쓰인다.

스테라디안은 라디안과 마찬가지로 길이의 제곱을 길이의 제곱으로 나눈 무차원량이다. 차원 분석에서는 1로 취급하지만 평면각과 입체각을 구분하기 위해 sr 기호를 쓴다. 1995년 SI 보조 단위 범주가 폐지된 뒤 SI 유도 단위로 분류되었다.

원뿔의 꼭짓점에서 보이는 입체각은 원뿔의 반각 $\theta$로 다음과 같이 쓸 수 있다. \: $\Omega =2\pi (1-\cos \theta )=4\pi \sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)$ 이 식은 안테나 빔 폭, 광학계의 수광 범위, 검출기의 시야를 계산할 때 사용된다. 천체의 겉보기 크기는 보통 각지름과 각면적으로 나타내며, 작은 천체에서는 입체각을 $A/r^{2}$로 근사한다.

광원에서 단위 입체각당 방출되는 복사량을 비교할 때는 복사휘도와 광도의 정의에 따라 스테라디안이 등장한다. 실제 측정에서는 검출기의 시야와 조리개가 만드는 입체각을 교정하고, 주변광과 검출기 응답을 분리해야 한다.

배수와 단위 표기

광학·안테나·입자 검출에서는 밀리스테라디안(msr)과 마이크로스테라디안(μsr)을 사용한다. SI 접두어는 sr 앞에 붙이며, 1 msr은 10⁻³ sr, 1 μsr은 10⁻⁶ sr이다. ‘제곱라디안’이라는 설명은 정의를 직관적으로 보여 주지만 단위 기호는 sr로 쓴다.

입체각을 면적처럼 더할 때에는 같은 구의 중심을 기준으로 해야 한다. 서로 다른 점에서 본 입체각이나 투영 면적을 단순히 더하면 구의 반지름과 시점이 달라져 의미가 바뀔 수 있다. 천문 관측 자료에서는 시야의 입체각, 검출기 픽셀의 입체각과 보정 방법을 함께 기록한다.

입체각은 평면각과 달리 경계가 여러 곡선으로 이루어질 수 있으며, 구면 좌표계에서는 $\mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi$로 적분한다. 이 표현은 방사선 검출기와 안테나의 방향별 응답을 계산할 때 사용된다.

이 적분 표현은 구의 전체 영역을 적분했을 때 4π sr이 된다는 사실도 보여 준다.

같이 보기

• 입체각
• 라디안
• 제곱도
• 광도