측지선(測地線, geodesic) 또는 지름길이란 직선의 개념을 굽은 공간으로 일반화한 것이다.
로비어 공간
과 닫힌구간
가 주어졌다고 하자.
만약 함수
![\gamma\colon[a,b]\to X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c5224b569e4f46588b3cb3372fc524d6cae52a)
에 대하여, 다음 조건이 성립하게 하는 상수
가 존재한다면,
를 (대역적) 측지선((大域的)測地線, 영어: (global) geodesic)이라고 한다.[1]:4, Definition 1.3[2]:Definition 7.1(2)
![{\displaystyle \forall s,t\in [a,b]\colon s\leq t\implies d(\gamma (s),\gamma (t))=v(t-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acaeb3be27f5ad30d9987d0029aeef67ba5e85c8)
이는 항상 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 물론
이다.
를 측지선
의 속력(速力, 영어: speed)이라고 한다.
만약 닫힌구간
위에 정의된 함수
![\gamma\colon[a,b]\to X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c5224b569e4f46588b3cb3372fc524d6cae52a)
가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 측지선(局所測地線, 영어: local geodesic)이라고 한다.[1]:4, Definition 1.3[2]:Definition 7.1(2)
- 임의의
에 대하여, 제한
가 대역적 측지선이 되는 닫힌 근방
가 존재한다.
사실
가 콤팩트 공간이므로, 위 조건은 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수
및 양의 실수
의 존재와 동치이다.
![{\displaystyle \forall s,t\in [a,b]\colon 0\leq t-s<\epsilon \implies d(\gamma (s),\gamma (t))=v(t-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a770d1557128955a818638ed39a57055192bae)
이 역시 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 역시
이다.
로비어 공간
에 대하여, 다음 조건들을 정의하자.
- 만약 임의의 두
에 대하여,
이자
인 대역적 측지선
가 존재한다면,
를 측지선 로비어 공간(測地線Lawvere空間, 영어: geodesic Lawvere space)이라고 한다.[1]:4, Definition 1.3
- 만약 임의의 두
에 대하여,
이자
인 대역적 측지선
가 유일하게 존재한다면,
를 유일 측지선 로비어 공간(唯一測地線Lawvere空間, 영어: uniquely geodesic Lawvere space)이라고 한다.[1]:4, Definition 1.3
모든 측지선 로비어 공간은 길이 로비어 공간이다.
다양체의 측지선[편집]
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체

위의 아핀 접속 
- 실수 닫힌구간
![{\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} ,\qquad (a\leq b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed19c198bc0654afc1278336e8b6611c0caa9ad)
이 경우,
위의 에너지 측지선은 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 곡선
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ad211fe721fae3ae8c83692d31ec8869445941)
이다. 우선,
의 상을 포함하는 임의의 열린집합
위에, 다음 조건을 만족시키는 임의의 벡터장을 고르자.

![{\displaystyle \forall t\in [a,b]\colon {\dot {\gamma }}(t)=X_{\gamma (t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad273bfb22bfdfcdab19ac90bacb6025cc7c51db)
그렇다면,
는 다음 조건을 만족시켜야 하며, 이를 측지선 방정식(測地線方程式, geodesic equation)이라고 한다.
![{\displaystyle \forall t\in [a,b]\colon (\nabla _{X}X)_{\gamma (t)}=0\in {\mathrm {T} }_{\gamma (t)}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee84b50be4cd1d2daa26cd2f2de4163b02c1c597)
측지선 방정식은 대략 접벡터가 측지선을 따라 이동할 때 평행을 유지한다는 것을 의미한다.
이 조건이 성립하는지 여부는 사실
의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 사실, 위 조건은 국소 좌표계로 적으면 다음과 같다.

여기서
는
의 크리스토펠 기호이다.
기초적 성질[편집]
임의의 로비어 공간
및 임의의 양의 실수
가 주어졌을 때,
역시 로비어 공간을 이룬다. 이 경우,
의 (국소) 측지선은 다음과 같다.
- 임의의 함수
에 대하여,
가 측지선인 것은
,
가 측지선인 것과 동치이다.
- 임의의 함수
에 대하여,
가 국소 측지선인 것은
,
가 국소 측지선인 것과 동치이다.
마찬가지로, 반대 로비어 공간
위의 측지선은 다음과 같다.
- 임의의 함수
에 대하여,
일 때,
가 측지선인 것은
,
가 측지선인 것과 동치이다.
- 임의의 함수
에 대하여,
일 때,
가 국소 측지선인 것은
,
가 국소 측지선인 것과 동치이다.
임의의 매끄러운 다양체 및 아핀 접속
에 대하여, 그 위의 에너지 측지선은 매개 변수의 아핀 변환에 의존하지 않는다.
위상수학적 성질[편집]
임의 확장 유사 거리 공간(즉, 대칭 계량을 갖는 로비어 공간)에서, (상수
에 대하여 성립하는) 측지선은 항상 (같은 상수
에 대한) 립시츠 연속 함수이며, 특히 균등 연속 함수이자 연속 함수이다.
일반적 로비어 공간의 경우 측지선이 (열린 공 위상에서) 연속 함수일 필요는 없다. 그러나 닫힌구간
위에 다음과 같은 기저를 갖는 조르겐프라이 위상
![{\displaystyle \{[c,d)\cap [a,b]\colon c,d\in \mathbb {R} \}\colon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d3fd96ac9ae0ed1aa3290bd688002ddb7b5b69)
을 부여할 때, 측지선
는
의 열린 공 위상에 대하여 연속 함수이다. (조르겐프라이 위상은 표준적 위상보다 더 섬세한 위상이다.)
길이 공간[편집]
길이 로비어 공간
의 경우, 함수
가 속력 1의 측지선이 될 필요 충분 조건은
가 두 점
,
를 잇는 최단의 거리를 갖는 곡선인 것이다.
리만 다양체[편집]
준 리만 다양체
위의 매끄러운 함수
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ad211fe721fae3ae8c83692d31ec8869445941)
에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다.


이 둘은
에 대한 작용을 이루며, 이 둘에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 정의할 수 있다.
는 곡선의 길이이며,
는 단위 질량의 입자의 (비(非)상대론적) 운동 에너지이다. 길이 범함수는 매개 변수의 변환에 대하여 불변이지만, 에너지 범함수의 경우 그렇지 않다.
임의의 준 리만 다양체에서, 에너지 범함수
의 오일러-라그랑주 방정식은 측지선 방정식과 같다.
리만 다양체
는 매끄러운 다양체이며, 또한 항상 길이 로비어 공간을 이룬다. 이에 따라, 측지선의 개념과 다양체 측지선의 개념을 동시에 적용할 수 있다. 리만 다양체 위의 에너지 측지선
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ad211fe721fae3ae8c83692d31ec8869445941)
의 경우,
가 국소 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수
가 존재한다. 반대로, 매끄러운 국소 측지선
의 경우,
가 에너지 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수
이 존재한다.
임의의 로비어 공간 또는 매끄러운 다양체
위의 상수 곡선
![\gamma\colon[a,b]\to X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c5224b569e4f46588b3cb3372fc524d6cae52a)
![{\displaystyle \gamma \colon t\mapsto x\qquad \forall t\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997071ff13917f7d2dfac27039b1ec43e3ee08f3)
는 자명하게 측지선을 이룬다.
이산 공간과 비이산 공간[편집]
임의의 기수
에 대하여, 크기
의 집합
위에 유사 거리 함수

를 부여하자. (이는 이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 측지선은 상수 곡선 밖에 없다.
크기
의 집합
위에 로비어 공간 구조

를 주자. (이는 비이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 임의의 곡선
![\gamma\colon[a,b]\to X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c5224b569e4f46588b3cb3372fc524d6cae52a)
은 측지선이다.
노름 공간[편집]
노름 공간
가 주어졌다고 하자. 만약 거리 함수

를 부여하였을 때, 이는 유일 측지선 공간이며, 임의의 서로 다른 두 벡터
사이의 측지선은 다음과 같은 꼴의 선분이다.
![{\displaystyle \gamma \colon [0,\|u-v\|]\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbb244b1c79b57847ff9628726f5240692b9cb3)

특히, 유클리드 공간의 거리는 위와 같이 노름으로 주어지므로, 유클리드 공간의 측지선은 선분이다.
유클리드 공간을 리만 다양체로 여겼을 때, (직교좌표계에서) 크리스토펠 기호가 0이다.

따라서 측지선 방정식은 단순히 가속도가 0인 것이 된다.


이 부분의 본문은
대원입니다.
구면 위의, 세 개의 측지선을 ‘변’으로 하는 ‘삼각형’
초구 위의 측지선은 대원이라고 한다.
직선 위의 리만 계량[편집]
실수선
위에 다음과 같은 리만 계량을 주자.


그렇다면, 이 경우 크리스토펠 기호는 다음과 같다.

측지선 방정식은 다음과 같다.

이는 2차 상미분 방정식이다. 이는 위치 및 속도 의존 힘

의 영향을 받는 입자의 운동이다.
예를 들어, 크리스토펠 기호가 상수인 경우, 즉

인 경우, 이 방정식은

이며, 그 해는


이다.
역사와 어원[편집]
‘측지선’이라는 용어는 지구상의 두 점 사이의 최단 경로(대원의 일부)[3] 따위를 연구하는 측지학에서 온 것이다. 한국어의 경우, 대한수학회 용어집에서는 "측지선", 한국물리학회 용어집에서는 "지름길"을 쓴다.
일반 상대성 이론에서, 시공간은 준 리만 다양체를 이룬다. 이 경우, 시험 입자((에너지와 운동량이 매우 작아, 시공간에 거의 영향을 끼치지 않는 입자)는 시공간의 측지선을 따라 움직인다.
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]