측지선

측지선(測地線, geodesic) 또는 지름길이란 직선의 개념을 굽은 공간으로 일반화한 것이다. 측지선이라는 용어는 지구상의 두 점 사이의 최단 경로(대원의 일부) 따위를 연구하는 측지학에서 온 것이다.

거리 공간에서의 측지선

거리 공간에서, 측지선은 서로 다른 점 두 개를 연결하는 (국소적으로) 가장 짧은 곡선이다. 이 때, 길이가 두 점 사이의 거리와 똑같은 측지선을 최단측지선이라고 한다.

그래프 이론에서는 거리 공간의 특수한 경우로 (연결된) 그래프에서의 측지선을 생각해 볼 수 있다. 이 경우 측지선은 두 꼭짓점을 잇는, 가장 작은 수의 변들을 지나는 경로가 된다.

미분기하학에서의 측지선

아핀 접속이 정의된 다양체에서, 측지선은 곡선 중에서 접벡터가 곡선을 따라 이동할 때 평행을 유지하는 (측지곡률이 항상 0인) 곡선이다. 리만 다양체에서는 리만 구조에 의하여 (레비치비타) 접속이 존재하고, 또한 리만 구조에 의하여 (국소적으로) 곡선의 정의를 정의할 수 있다. 이 경우, 측지선은 국소적으로 거리를 최소화하는 곡선이다. (유사 리만 다양체에서는 국소적으로 거리를 최소화하거나, 최대화하거나, 정류화하게 된다.) 예를 들어, 리만 다양체로서, 유클리드 공간의 측지선은 직선이고, 구면의 측지선은 대원이다.

리만 기하학에서는 측지선이 만족하여야 하는 조건을 변분법으로 유도할 수 있는데, 이 조건을 측지방정식(測地方程式, geodesic equation)이라고 하며 다음과 같다.

${\ddot {x}}^{\rho }(s)=-\sum _{\mu ,\nu }\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }(x(s)){\dot {x}}^{\mu }(s){\dot {x}}^{\nu }(s)$$\ddot x^\rho(s)=-\sum_{\mu,\nu}\Gamma^\rho_{\mu\nu}(x(s))\dot x^\mu(s)\dot x^\nu(s)$.

여기서 $x^{\mu }(s)$$x^\mu(s)$는 곡선, ${\dot {x}}^{\mu }(s)\in T_{x}M$$\dot x^\mu(s)\in T_xM$은 곡선의 접선, $\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }$$\Gamma^\rho_{\mu\nu}$는 곡률을 나타내는 값인 크리스토펠 기호다.

일반상대성이론에서는 시공은 유사 리만 다양체를 이룬다. 이 때, 시험 입자 (에너지와 운동량이 무시할 수 있을 정도로 작은 입자)는 시공의 측지선을 따라 움직인다.