측지선

측지선(測地線, geodesic) 또는 지름길이란 직선의 개념을 굽은 공간으로 일반화한 것이다.

정의

로비어 공간 $(X,d)$과 닫힌구간 $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$가 주어졌다고 하자.

만약 함수

$\gamma \colon [a,b]\to X$

에 대하여, 다음 조건이 성립하게 하는 상수 $v\in [0,\infty )$가 존재한다면, $\gamma$를 (대역적) 측지선((大域的)測地線, 영어: (global) geodesic)이라고 한다.^{:4, Definition 1.3:Definition 7.1(2)}

$\forall s,t\in [a,b]\colon s\leq t\implies d(\gamma (s),\gamma (t))=v(t-s)$

이는 항상 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 물론 $v(b-a)$이다. $v$를 측지선 $\gamma$의 속력(速力, 영어: speed)이라고 한다.

만약 닫힌구간 $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ 위에 정의된 함수

$\gamma \colon [a,b]\to X$

가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 측지선(局所測地線, 영어: local geodesic)이라고 한다.^{:4, Definition 1.3:Definition 7.1(2)}

임의의 $t\in [a,b]$에 대하여, 제한 $\gamma \upharpoonright [c,d]$가 대역적 측지선이 되는 닫힌 근방 $[a,b]\supseteq [c,d]\ni t$가 존재한다.

사실 $[a,b]$가 콤팩트 공간이므로, 위 조건은 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수 $v\in [0,\infty )$ 및 양의 실수 $\epsilon \in \mathbb {R} ^{+}$의 존재와 동치이다.

$\forall s,t\in [a,b]\colon 0\leq t-s<\epsilon \implies d(\gamma (s),\gamma (t))=v(t-s)$

이 역시 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 역시 $v(b-a)$이다.

로비어 공간 $(X,d)$에 대하여, 다음 조건들을 정의하자.

• 만약 임의의 두 $x,y\in X$에 대하여, $\gamma (a)=x$이자 $\gamma (b)=y$인 대역적 측지선 $\gamma \colon [a,b]\to X$가 존재한다면, $(X,d)$를 측지선 로비어 공간(測地線Lawvere空間, 영어: geodesic Lawvere space)이라고 한다.^{:4, Definition 1.3}
• 만약 임의의 두 $x,y\in X$에 대하여, $\gamma (0)=x$이자 $\gamma (1)=y$인 대역적 측지선 $\gamma \colon [0,L]\to X$가 유일하게 존재한다면, $(X,d)$를 유일 측지선 로비어 공간(唯一測地線Lawvere空間, 영어: uniquely geodesic Lawvere space)이라고 한다.^{:4, Definition 1.3}

모든 측지선 로비어 공간은 길이 로비어 공간이다.

다양체의 측지선

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• $M$ 위의 아핀 접속 $\nabla$
• 실수 닫힌구간 $[a,b]\subseteq \mathbb {R} ,\qquad (a\leq b)$

이 경우, $M$ 위의 에너지 측지선은 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 곡선

$\gamma \colon [a,b]\to M$

이다. 우선, $\gamma$의 상을 포함하는 임의의 열린집합 $U\supseteq \gamma ([a,b])$ 위에, 다음 조건을 만족시키는 임의의 벡터장을 고르자.

$X\in \Gamma ^{\infty }(U,\mathrm {T} U)$

$\forall t\in [a,b]\colon {\dot {\gamma }}(t)=X_{\gamma (t)}$

그렇다면, $X$는 다음 조건을 만족시켜야 하며, 이를 측지선 방정식(測地線方程式, geodesic equation)이라고 한다.

$\forall t\in [a,b]\colon (\nabla _{X}X)_{\gamma (t)}=0\in {\mathrm {T} }_{\gamma (t)}M$

측지선 방정식은 대략 접벡터가 측지선을 따라 이동할 때 평행을 유지한다는 것을 의미한다.

이 조건이 성립하는지 여부는 사실 $X$의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 사실, 위 조건은 국소 좌표계로 적으면 다음과 같다.

${\ddot {\gamma }}^{k}+\sum _{i,j}\Gamma _{ij}^{k}{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}=0$

여기서 $\Gamma _{ij}^{k}$는 $\nabla$의 크리스토펠 기호이다.

성질

기초적 성질

임의의 로비어 공간 $(X,d)$ 및 임의의 양의 실수 $C\in \mathbb {R} ^{+}$가 주어졌을 때, $(X,Cd)$ 역시 로비어 공간을 이룬다. 이 경우, $(X,Cd)$의 (국소) 측지선은 다음과 같다.

• 임의의 함수 $\gamma \colon [a,b]\to X$에 대하여, $\gamma$가 측지선인 것은 $\gamma '\colon [Ca,Cb]\to (X,Cd)$, $t\mapsto \gamma (t/c)$가 측지선인 것과 동치이다.
• 임의의 함수 $\gamma \colon [a,b]\to X$에 대하여, $\gamma$가 국소 측지선인 것은 $\gamma '\colon [Ca,Cb]\to (X,Cd)$, $t\mapsto \gamma (t/c)$가 국소 측지선인 것과 동치이다.

마찬가지로, 반대 로비어 공간 $X^{\operatorname {op} }=(X,d^{\operatorname {op} })$ 위의 측지선은 다음과 같다.

• 임의의 함수 $\gamma \colon [a,b]\to X$에 대하여, $b>a$일 때, $\gamma$가 측지선인 것은 $\gamma '\colon [a,b]\to X^{\operatorname {op} }$, $t\mapsto \gamma (b-(t-a)/(a-b))$가 측지선인 것과 동치이다.
• 임의의 함수 $\gamma \colon [a,b]\to X$에 대하여, $b>a$일 때, $\gamma$가 국소 측지선인 것은 $\gamma '\colon [a,b]\to X^{\operatorname {op} }$, $t\mapsto \gamma (b-(t-a)/(a-b))$가 국소 측지선인 것과 동치이다.

임의의 매끄러운 다양체 및 아핀 접속 $(M,\nabla )$에 대하여, 그 위의 에너지 측지선은 매개 변수의 아핀 변환에 의존하지 않는다.

위상수학적 성질

임의 확장 유사 거리 공간(즉, 대칭 계량을 갖는 로비어 공간)에서, (상수 $v$에 대하여 성립하는) 측지선은 항상 (같은 상수 $v$에 대한) 립시츠 연속 함수이며, 특히 균등 연속 함수이자 연속 함수이다.

일반적 로비어 공간의 경우 측지선이 (열린 공 위상에서) 연속 함수일 필요는 없다. 그러나 닫힌구간 $[a,b]$ 위에 다음과 같은 기저를 갖는 조르겐프라이 위상(영어: Sorgenfrey topology)

$\{[c,d)\cap [a,b]\colon c,d\in \mathbb {R} \}\colon$

을 부여할 때, 측지선 $[a,b]\to X$는 $X$의 열린 공 위상에 대하여 연속 함수이다. (조르겐프라이 위상은 표준적 위상보다 더 섬세한 위상이다.)

길이 공간

길이 로비어 공간 $(X,d)$의 경우, 함수 $\gamma \colon [a,b]\to X$가 속력 1의 측지선이 될 필요 충분 조건은 $\gamma$가 두 점 $a$, $b$를 잇는 최단의 거리를 갖는 곡선인 것이다.

리만 다양체

준 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 매끄러운 함수

$\gamma \colon [a,b]\to M$

에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다.

$\operatorname {length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\;\mathrm {d} t$

$\operatorname {energy} (\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\;\mathrm {d} t$

이 둘은 $\gamma$에 대한 작용을 이루며, 이 둘에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 정의할 수 있다. $\operatorname {length} (\gamma )$는 곡선의 길이이며, $\operatorname {energy} (\gamma )$는 단위 질량의 입자의 (비(非)상대론적) 운동 에너지이다. 길이 범함수는 매개 변수의 변환에 대하여 불변이지만, 에너지 범함수의 경우 그렇지 않다.

임의의 준 리만 다양체에서, 에너지 범함수 $\operatorname {energy}$의 오일러-라그랑주 방정식은 측지선 방정식과 같다.

유도:

편의상 아인슈타인 표기법을 사용하자. 에너지 범함수는 다음과 같은 라그랑지언의 적분이다.

${\mathcal {L}}(x,v)={\frac {1}{2}}g_{ij}v^{i}v^{j}$

일반화 운동량은 다음과 같다.

$p_{i}(x,v)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial v^{i}}}=g^{ij}v_{j}$

${\frac {\partial p_{i}}{\partial v^{j}}}=g_{ij}$

${\frac {\partial p_{i}}{\partial x^{j}}}=v^{k}\partial _{j}g_{ik}$

마찬가지로, 일반화 힘은 다음과 같다.

$F_{i}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}={\frac {1}{2}}v^{j}v^{k}\partial _{i}g_{jk}$

따라서 오일러-라그랑주 방정식은 다음에 ${\dot {v}}_{i}\mapsto {\ddot {\gamma }}^{i}(t)$, $v^{i}\mapsto {\dot {\gamma }}^{i}(t)$, $x^{i}\mapsto \gamma (t)$를 대입하여 얻는다.

$F_{i}={\frac {\partial p_{i}}{\partial v^{j}}}{\dot {v}}^{j}+{\frac {\partial p_{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}=g_{ij}{\dot {v}}^{j}+v^{j}v^{k}\partial _{j}g_{ik}$

즉, 다음과 같다.

${\frac {1}{2}}{\dot {\gamma }}^{j}{\dot {\gamma }}^{k}\partial _{i}g_{jk}=g_{ij}{\ddot {\gamma }}^{j}+{\dot {\gamma }}^{j}{\dot {\gamma }}^{k}\partial _{j}g_{ik}$

즉, 이를 재정리하면 다음과 같다.

${\ddot {\gamma }}^{k}={\frac {1}{2}}{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}g^{kl}\left(\partial _{l}g_{ij}-2\partial _{i}g_{jl}\right)={\frac {1}{2}}{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}g^{kl}\left(\partial _{l}g_{ij}-\partial _{i}g_{jl}-\partial _{j}g_{il}\right)=-{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{j}\Gamma _{ij}^{k}$

리만 다양체 $(M,g)$는 매끄러운 다양체이며, 또한 항상 길이 로비어 공간을 이룬다. 이에 따라, 측지선의 개념과 다양체 측지선의 개념을 동시에 적용할 수 있다. 리만 다양체 위의 에너지 측지선

$\gamma \colon [a,b]\to M$

의 경우, $\gamma \circ f$가 국소 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 $[a',b']\to [a,b]$가 존재한다. 반대로, 매끄러운 국소 측지선 $\gamma \colon [a,b]\to M$의 경우, $\gamma \colon g$가 에너지 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 $[a',b']\to M$이 존재한다.

예

임의의 로비어 공간 또는 매끄러운 다양체 $X$ 위의 상수 곡선

$\gamma \colon [a,b]\to X$

$\gamma \colon t\mapsto x\qquad \forall t\in [a,b]$

는 자명하게 측지선을 이룬다.

이산 공간과 비이산 공간

임의의 기수 $\kappa$에 대하여, 크기 $\kappa$의 집합 $X$ 위에 유사 거리 함수

$d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\\infty &x\neq y\end{cases}}\qquad \forall x,y\in X$

를 부여하자. (이는 이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 측지선은 상수 곡선 밖에 없다.

크기 $\kappa$의 집합 $X$ 위에 로비어 공간 구조

$d(x,y)=0\qquad \forall x,y\in X$

를 주자. (이는 비이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 임의의 곡선

$\gamma \colon [a,b]\to X$

은 측지선이다.

노름 공간

노름 공간 $(V,\|\|)$가 주어졌다고 하자. 만약 거리 함수

$d(u,v)=\|u-v\|=\|v-u\|$

를 부여하였을 때, 이는 유일 측지선 공간이며, 임의의 서로 다른 두 벡터 $u,v\in V$ 사이의 측지선은 다음과 같은 꼴의 선분이다.

$\gamma \colon [0,\|u-v\|]\to V$

$\gamma \colon t\mapsto u+{\frac {t}{\|v-u\|}}(v-u)\qquad (u\neq v)$

특히, 유클리드 공간의 거리는 위와 같이 노름으로 주어지므로, 유클리드 공간의 측지선은 선분이다. 유클리드 공간을 리만 다양체로 여겼을 때, (직교좌표계에서) 크리스토펠 기호가 0이다.

$\Gamma _{ij}^{k}=0$

따라서 측지선 방정식은 단순히 가속도가 0인 것이 된다.

${\ddot {\gamma }}=0$

초구

이 부분의 본문은 대원입니다.

구면 위의, 세 개의 측지선을 ‘변’으로 하는 ‘삼각형’

초구 위의 측지선은 대원이라고 한다.

직선 위의 리만 계량

실수선 $\mathbb {R}$ 위에 다음과 같은 리만 계량을 주자.

$d(x,x')=\int _{x}^{x'}{\sqrt {g(y)}}\,\mathrm {d} y\qquad (x\leq x')$

$g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$

그렇다면, 이 경우 크리스토펠 기호는 다음과 같다.

$\Gamma (x)={\frac {1}{2g(x)}}{\dot {g}}(x)={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(g(x))$

측지선 방정식은 다음과 같다.

${\ddot {\gamma }}(t)+\Gamma (\gamma (t)){\dot {\gamma }}(t)^{2}=0$

이는 2차 상미분 방정식이다. 이는 위치 및 속도 의존 힘

$F=-\Gamma (\gamma (t)){\dot {\gamma }}^{2}$

의 영향을 받는 입자의 운동이다.

예를 들어, 크리스토펠 기호가 상수인 경우, 즉

$g(x)=g_{0}\exp(2\Gamma x)$

인 경우, 이 방정식은

${\ddot {\gamma }}(t)+\Gamma {\dot {\gamma }}(t)^{2}=0$

이며, 그 해는

${\dot {\gamma }}(t)=\left(v_{0}+\Gamma t\right)^{-1}$

$\gamma (t)=\Gamma ^{-1}\ln |v_{0}+\Gamma t|+x_{0}$

이다.

역사와 어원

‘측지선’이라는 용어는 지구상의 두 점 사이의 최단 경로(대원의 일부) 따위를 연구하는 측지학에서 온 것이다. 한국어의 경우, 대한수학회 용어집에서는 "측지선", 한국물리학회 용어집에서는 "지름길"을 쓴다.

응용

일반 상대성 이론에서, 시공간은 준 리만 다양체를 이룬다. 이 경우, 시험 입자((에너지와 운동량이 매우 작아, 시공간에 거의 영향을 끼치지 않는 입자)는 시공간의 측지선을 따라 움직인다.

바깥 고리

• “Geodesic line”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Geodesic distance”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Geodesic flow”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Geodesic triangle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Geodesic hypothesis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Geodesic geometry”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic curvature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Geodesic”. 《nLab》 (영어). 
• Rademacher, Hans-Bert (2013). “Totally geodesic submanifold - definition” (PDF). 《Bulletin of the Manifold Atlas》 (영어).