유니터리 군

수학에서 유니터리 군(영어: unitary group)은 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 $U(n)$.

정의

복소수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$가 주어졌을 때, 유니터리 군 $\operatorname {U} ({\mathcal {H}})$는 ${\mathcal {H}}$ 위의 유니터리 작용소들의 군이다.

만약 ${\mathcal {H}}$가 $n$ 차원 힐베르트 공간일 경우, 그 위의 유니터리 군은 $\operatorname {U} (n)$으로 쓴다. 이 경우, 유니터리 군은 $n\times n$ 유니터리 행렬로 구성되는 리 군이다. 즉,

$\operatorname {U} (n)=\{M\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )|M^{\dagger }M=1\}$

이다.

유니터리 리 대수

유니터리 군 $U(n)$은 $2n^{2}$차원 실수 리 군이다. 그 리 대수는

${\mathfrak {u}}(n)={\mathfrak {su}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$

이다. 유니터리 행렬의 로그는 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)이므로, ${\mathfrak {u}}(n)$는 반에르미트 행렬로 이루어져 있다.

성질

군론적 성질

유니터리 군 $\operatorname {U} (n)$의 중심은 다음과 같은 꼴의 대각 행렬이다.

$\lambda 1_{n\times n}\qquad (\lambda \in \mathbb {C} ,\;|\lambda |=1)$

유니터리 행렬의 행렬식은 그 절댓값이 1인 복소수이다. 즉

$\det \colon U(n)\to U(1)$

인 군 준동형이 존재한다. 이에 대한 몫군은 특수 유니터리 군 $SU(n)$이다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to SU(n)\hookrightarrow U(n){\xrightarrow {\det }}U(1)\to 1$

리 이론적 성질

유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

$\{\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})\colon \lambda _{i}\in \operatorname {U} (1)\}\subset \operatorname {U} (n)$

이에 대하여 유니터리 군의 바일 군은 대칭군 $\operatorname {Sym} (n)$이며, 이는 원환면을 정의하는 기저 집합에 순열로 작용한다.

위상수학적 성질

모든 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여, 유니터리 군 $\operatorname {U} (n)$은 연결 실수 콤팩트 리 군이며, 그 기본군은 무한 순환군이다.

$\pi _{0}(\operatorname {U} (n))=1$

$\pi _{1}(\operatorname {U} (n))=\mathbb {Z}$

유한 차원 유니터리 군은 같은 차원의 복소수 일반선형군과 호모토피 동치이다.

$\operatorname {U} (n)\simeq \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )$

호프 올뭉치

$\operatorname {U} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (n+1)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2n+1}$

로 인하여, 만약 $i<2n$이라면

$\pi _{i}(\operatorname {U} (n))\cong \pi _{i}(\operatorname {U} (n+1))$

이다.^:112 즉, 유니터리 군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.^:113

$\pi _{i}(\operatorname {U} (n))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}\qquad (i<2n)$

이 주기성을 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이라고 한다.

불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.

군	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9	π10	π11	π12
U(1)	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
U(2)	ℤ	0	ℤ	ℤ2	ℤ2	ℤ12	ℤ2	ℤ2	ℤ3	ℤ15	ℤ2	(ℤ2)2
U(3)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	ℤ6
U(4)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ
U(5)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ
U(6)	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ	0	ℤ

이에 따라, 다음과 같은 무한 유니터리 군 $\operatorname {U} (\infty )$을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.

$\operatorname {U} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {U} (n)$

무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.

$\pi _{i}(\operatorname {U} (\infty ))={\begin{cases}0&2\mid i\\\mathbb {Z} &2\nmid i\end{cases}}$

이에 따라, 무한 유니터리 군은 스스로의 2차 고리 공간과 호모토피 동치이다.^{:112, Theorem 1}

$\operatorname {U} (\infty )\simeq \Omega ^{2}\operatorname {U} (\infty )$

무한 차원 분해 가능 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$의 유니터리 군 $\operatorname {U} ({\mathcal {H}})$는 $\operatorname {U} (\infty )$와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, $\operatorname {U} ({\mathcal {H}})$는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.

$\pi _{i}(\operatorname {U} ({\mathcal {H}}))=0\quad \forall i$

포함 관계

유니터리 군 U(1)은 원군이다. 이는 1차원 콤팩트 아벨 군이며, SO(2)와 같다. 이는 위상수학적으로 원 $\mathbb {S} ^{1}$이다.

외부 링크

• “Unitary group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Unitary group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Unitary group”. 《nLab》 (영어). 
• “Kuiper's theorem”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 특수 유니터리 군
• 직교군