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좀더 필요한 내용
1. 치환적분공식에서 좌변을 우변으로 변환하여 적분 문제를 푸는 예.
2. 우변을 좌변으로 변환하여 적분 문제를 푸는 예.
x = t 로 치환을 하게되면
∫
0
π
cos
2
x
sin
x
d
x
=
∫
0
π
/
2
cos
2
x
sin
x
d
x
+
∫
π
/
2
π
cos
2
x
sin
x
d
x
=
∫
0
1
t
1
−
t
2
d
t
−
∫
1
0
t
1
−
t
2
d
t
=
2
∫
0
1
t
1
−
t
2
d
t
=
2
⋅
1
3
=
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}x\sin xdx&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}x\sin xdx+\int _{\pi /2}^{\pi }\cos ^{2}x\sin xdx\\&=\int _{0}^{1}t{\sqrt {1-t^{2}}}dt-\int _{1}^{0}t{\sqrt {1-t^{2}}}dt\\&=2\int _{0}^{1}t{\sqrt {1-t^{2}}}dt\\&=2\cdot {\frac {1}{3}}\\&={\frac {2}{3}}\end{aligned}}}
이 되어 원래 적분을 바로 계산한 것과 같은 결과가 나옵니다.
일단 내용은 본문에서 지우고 아래에 옮겨 놓겠습니다. --StarLight (토론 ) 2010년 3월 19일 (금) 23:48 (KST) [ 답변 ]
제 생각인데 아래 제 글과 StarLight님의 올바른 풀이를 같이 소개를 해도 좋을 것 같은데요. 어떠신가요? --Kimhokyeong (토론 ) 2010년 3월 22일 (월) 23:54 (KST) [ 답변 ] π /2] 에선
cos
2
x
sin
x
d
x
=
t
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle \cos ^{2}x\sin xdx=t{\sqrt {1-t^{2}}}dt}
이지만 [π /2,π ] 에선
cos
2
x
sin
x
d
x
=
−
t
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle \cos ^{2}x\sin xdx=-t{\sqrt {1-t^{2}}}dt}
라 치환적분 공식을 잘못 적용한 거라 문제가 되는 건데요;; 코사인이 무조건
cos
x
=
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}
인건 아니죠. 구간을 안쪼개고 적분해보면
∫
a
b
f
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
d
x
=
F
(
g
(
b
)
)
−
F
(
g
(
a
)
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))g'(x)\,dx=F(g(b))-F(g(a))}
에서
f
(
x
)
=
{
x
1
−
x
2
0
<
x
<
π
2
−
x
1
−
x
2
π
2
<
x
<
π
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x{\sqrt {1-x^{2}}}&0<x<{\frac {\pi }{2}}\\-x{\sqrt {1-x^{2}}}&{\frac {\pi }{2}}<x<\pi \end{cases}}}
g
(
x
)
=
sin
x
{\displaystyle g(x)=\sin x\;}
로 놓으면
∫
0
π
f
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
d
x
=
∫
0
π
cos
2
x
sin
x
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}x\sin xdx}
가 나오는데 여기서 f 의 부정적분 F 를 구해보면
F
(
x
)
=
{
−
1
3
(
1
−
x
2
)
3
2
0
<
x
<
π
2
1
3
(
1
−
x
2
)
3
2
π
2
<
x
<
π
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{3}}(1-x^{2})^{\frac {3}{2}}&0<x<{\frac {\pi }{2}}\\{\frac {1}{3}}(1-x^{2})^{\frac {3}{2}}&{\frac {\pi }{2}}<x<\pi \end{cases}}}
가 되고 따라서
∫
0
π
cos
2
x
sin
x
d
x
=
F
(
g
(
π
)
)
−
F
(
g
(
0
)
)
=
(
1
3
(
1
−
sin
2
π
)
3
2
)
−
(
−
1
3
(
1
−
sin
2
0
)
3
2
)
=
(
1
3
(
1
−
0
)
3
2
)
−
(
−
1
3
(
1
−
0
)
3
2
)
=
1
3
+
1
3
=
2
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}x\sin xdx&=F(g(\pi ))-F(g(0))\\&=\left({\frac {1}{3}}(1-\sin ^{2}\pi )^{\frac {3}{2}}\right)-\left(-{\frac {1}{3}}(1-\sin ^{2}0)^{\frac {3}{2}}\right)\\&=\left({\frac {1}{3}}(1-0)^{\frac {3}{2}}\right)-\left(-{\frac {1}{3}}(1-0)^{\frac {3}{2}}\right)\\&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\\&={\frac {2}{3}}\end{aligned}}}
가 됩니다. 하신 실수가 삼각함수 공식을 잘못 쓰신거라 실수를 다루자 해도 여기서 다루긴 좀 그런것 같네요. --StarLight (토론 ) 2010년 3월 23일 (화) 10:28 (KST) [ 답변 ]
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}
x
=
g
(
t
)
{\displaystyle x=g(t)}
g
{\displaystyle g}
[예시]
∫
0
π
c
o
s
2
x
s
i
n
x
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }cos^{2}xsinxdx}
(치환하는 함수가 일대일대응이 아닌 경우, 잘못된 결과가 나오는 사례)
sin
x
=
t
{\displaystyle \sin x=t}
cos
x
d
t
d
x
=
1
{\displaystyle \cos x{\frac {dt}{dx}}=1}
x=0 이면 t=0, x=
π
{\displaystyle \pi }
∫
0
π
c
o
s
2
x
s
i
n
x
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }cos^{2}xsinxdx}
∫
0
0
t
1
−
t
2
d
t
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{0}t{\sqrt {1-t^{2}}}dt=0}
이므로 잘못된 결과가 나오게 된다.
