바이어슈트라스 치환

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미적분학에서, 바이어슈트라스 치환(-置換, 영어: Weierstrass substitution) 또는 탄젠트 반각 치환(-半角置換, 영어: tangent half-angle substitution) 또는 t-치환(-置換, 영어: t-substitution)은 반각의 탄젠트를 새로운 변수로 대신하는 치환 적분이다. 삼각 함수유리 함수적분하는 데 사용된다.

정의[편집]

모든 삼각 함수유리 함수는 어떤 2변수 유리 함수 에 대하여 와 같은 꼴로 나타낼 수 있다. 바이어슈트라스 치환은 이러한 함수를 적분하는 데 사용되는 다음과 같은 치환 적분 기법이다.

이 경우 다음이 성립한다.

따라서 의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.[1]:263-264[2]:351

모든 유리 함수의 원함수는 초등 함수이므로, 모든 삼각 함수의 유리 함수의 원함수 역시 초등 함수이다.[1]:264

다른 방법[편집]

바이어슈트라스 치환은 때로 복잡한 계산을 가져온다. 다음과 같은 몇 가지 특수한 꼴의 경우에는 보다 더 간편한 기법이 존재한다.[1]:264-265[2]:351

  • 만약 라면, 이는 항상 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 와 같이 치환하는 것이 좋다.
  • 만약 라면, 이는 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 경우 와 같이 치환하는 것이 좋다.
  • 만약 라면, 꼴이므로, 이 경우 와 같이 치환하는 것이 좋다.

사실 모든 유리 함수는 각각 위와 같은 성질을 만족시키는 세 유리 함수의 합으로 나타낼 수 있다.

쌍곡선 함수의 경우[편집]

바이어슈트라스 치환의 쌍곡선 함수 버전인 쌍곡 탄젠트 반변수 치환(雙曲-半變數置換, 영어: hyperbolic tangent half-argument substitution 또는 쌍곡 t-치환(雙曲-置換, 영어: hyperbolic t-substitution)은 쌍곡선 함수의 유리 함수 를 적분하는 데 사용되며, 이는 다음과 같다.[3]:185, Exercise 13

이 경우 다음이 성립한다.

따라서 의 적분은 다음과 같은 유리 함수 적분으로 변한다.[4]:29

따라서 모든 쌍곡선 함수의 유리 함수의 원함수는 초등 함수이다.

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다음과 같은 적분들을 생각하자.[2]:352, 예6.3.8, (3), (4)[1]:265, 예6.3.4

첫째 적분은 바이어슈트라스 치환 을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

둘째 적분 역시 바이어슈트라스 치환 을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

셋째 적분은 를 만족시키므로, 바이어슈트라스 치환을 사용할 필요가 없다. 이는 치환 을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

쌍곡선 함수의 경우의 예[편집]

다음과 같은 적분을 생각하자.[4]:29, 예4

이는 쌍곡 탄젠트 반변수 치환 를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

각주[편집]

  1. 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析》 (중국어) 1 1판. 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8. 
  2. 周民强 (2010). 《数学分析习题演练》 (중국어) 1 2판. 北京: 科学出版社. ISBN 978-7-03-028183-8. 
  3. Stewart, Seán M. (2018년 2월). 《How to Integrate It》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108291507. ISBN 978-1-108-41881-2. 
  4. 李中强; 李效民 (1994). “双曲函数及其在积分中的应用”. 《河南电大》 (중국어). 1994년 (1): 26-29. ISSN 1003-1448. 

외부 링크[편집]