오일러 치환

미적분학에서 오일러 치환(-置換, 영어: Euler substitution)은 $x$와 ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$에 대한 유리 함수의 적분을 구할 때 사용되는 치환 적분이다.

정의

오일러 치환은 다음과 같은 적분을 구할 때 사용된다.

$\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\mathrm {d} x$

여기서 $R(u,v)$는 2변수 유리 함수이며, $a\neq 0$이다. 오일러 치환은 이 적분을 유리 함수의 적분으로 만들며, 이는 다음과 같은 세 가지 경우로 나뉜다. 같은 함수가 여러 가지 경우에 속할 수 있음에 주의하자.

제1 오일러 치환

만약 $a>0$일 경우, 다음과 같이 치환한다.

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t$

이를 제1 오일러 치환(第一-置換, 영어: first Euler substitution)이라고 한다. 이 경우 원래의 적분은 다음과 같이 새 변수 $t$에 대한 유리 함수의 적분으로 귀결된다.

$x={\frac {t^{2}-c}{\pm 2t{\sqrt {a}}+b}}$

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm {\frac {t^{2}-c}{\pm 2t{\sqrt {a}}+b}}{\sqrt {a}}+t$

제2 오일러 치환

만약 $c>0$일 경우, 다음과 같이 치환한다.

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}$

이를 제2 오일러 치환(第二-置換, 영어: second Euler substitution)이라고 한다. 마찬가지로 원래의 적분은 $t$에 대한 유리 함수의 적분으로 귀결된다.

$x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}$

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}t\pm {\sqrt {c}}$

사실, 제1 및 제2 오일러 치환의 조건을 만족시키는 꼴의 적분은 다음과 같은 변환을 통해 각각 제2 및 제1 오일러 치환을 적용할 수 있다.^:341

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\frac {1}{|u|}}{\sqrt {a+bu+cu^{2}}}\qquad \left(x={\frac {1}{u}}\right)$

제3 오일러 치환

만약 $ax^{2}+bx+c$의 두 근 $\alpha ,\beta$가 실수일 경우, 다음과 같이 치환한다.

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=\pm (x-\alpha )t$

이를 제3 오일러 치환(第三-置換, 영어: third Euler substitution)이라고 한다. 이 경우 역시 $t$의 유리 함수의 적분이 된다.

$x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}}$

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm \left({\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}}-\alpha \right)t$

사실, 제1 및 제3 오일러 치환은 모든 경우를 포함한다. 이는 만약 $a<0$이며 $b^{2}-4ac<0$일 경우 ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$가 모든 곳에서 실수가 아니기 때문이다.^:341

팁

오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분을 구하는 데에는 계산량을 줄여주는 요령과 보다 더 간편할 수 있는 대안적인 방법이 존재한다. 예를 들어, 다음과 같은 공식은 특수한 꼴의 함수의 적분의 계산을 단순화한다.

$\int {\frac {p(x)}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}\mathrm {d} x=q(x){\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+\lambda \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$

여기서 $p,q\in \mathbb {R} [x]$는 각각 $n$차 다항식 및 $(n-1)$차 이하 다항식이며 $\lambda \in \mathbb {R}$는 상수이다. 각 $p$에 대하여 이러한 조건을 만족시키는 $q$ 및 $\lambda$는 위 식 양변에 도함수를 취한 뒤 다시 양변에 ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$을 곱하여 양변의 다항식의 계수를 비교하면 구할 수 있다. 다음과 같은 꼴의 적분은 $x-\alpha =1/t$와 같이 치환하면 위와 같은 꼴의 적분으로 귀결된다.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x-\alpha )^{n}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}=\int {\frac {t^{n-1}}{\sqrt {(a\alpha ^{2}+b\alpha +c)t^{2}+(2a\alpha +b)t+a}}}\mathrm {d} t$

다음과 같은 꼴의 적분은 치환 $x^{2}+px+q=s$ 및 $\textstyle ({\sqrt {x^{2}+px+q}})'=t$을 통해 구할 수 있다.

$\int {\frac {(ex+f)}{(x^{2}+px+q)^{(2n+1)/2}}}\mathrm {d} x=\lambda \int {\frac {2x+p}{(x^{2}+px+q)^{(2n+1)/2}}}\mathrm {d} x+\mu \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+px+q)^{(2n+1)/2}}}=\lambda \int {\frac {\mathrm {d} s}{s^{(2n+1)/2}}}+\mu \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+px+q)^{(2n+1)/2}}}$

다음과 같은 꼴의 적분에서 $p\neq b/a$일 경우, 적절한 치환 $x=(gs+h)/(s+1)$를 통해 1차항을 없앤 뒤, 부분 분수 분해의 각 항에 치환 $a's^{2}=b'=t$ 및 $\textstyle ({\sqrt {a's^{2}+b'}})'=u$을 사용하여 구할 수 있다.

$\int {\frac {(ex+f)}{(x^{2}+px+q)^{n}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}\mathrm {d} x=\int {\frac {p(s)}{(s^{2}+c')^{n}{\sqrt {a's^{2}+b'}}}}\mathrm {d} s=\sum _{k}\lambda _{k}\int {\frac {s}{(s^{2}+c')^{n'_{k}}{\sqrt {a's^{2}+b'}}}}\mathrm {d} s+\sum _{k}\mu _{k}\int {\frac {\mathrm {d} s}{(s^{2}+c')^{n''_{k}}{\sqrt {a's^{2}+b'}}}}$

오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분은 완전 제곱꼴을 만든 뒤 삼각 치환 또는 쌍곡 치환을 통해 구할 수도 있다. 정리된 루트 부분이 ${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$일 경우 $x=a\sin t$ 또는 $x=a\cos t$와 같이 치환하며, ${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$일 경우 $x=a\cosh t$ 또는 $x=a\sec t$와 같이 치환하며, ${\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$일 경우 $x=\sinh t$ 또는 $x=a\tan t$와 같이 치환한다.^:342 그러면 적분하려는 함수는 삼각 함수 또는 쌍곡선 함수에 대한 유리 함수로 변하며, 이는 바이어슈트라스 치환 등을 통해 구할 수 있다.^:229

예

다음과 같은 적분들을 생각하자.^{:345, 예6.3.3, (1), (3), (4); 348, 예6.3.5, (1)}

$\int {\frac {\sqrt {x^{2}+2x+3}}{x}}\mathrm {d} x,\;\int {\frac {1-{\sqrt {1+x+x^{2}}}}{x{\sqrt {1+x+x^{2}}}}}\mathrm {d} x,\;\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+3x-4}}},\;\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x-\alpha ){\sqrt {(x-\alpha )(x-\beta )}}}}$

제1 오일러 치환의 예

첫 번째 적분에 다음과 같은 제1 오일러 치환을 사용하자.

${\sqrt {x^{2}+2x+3}}=t-x$

$x={\frac {t^{2}-3}{2(1+t)}},\;\mathrm {d} x={\frac {t^{2}+2t+3}{2(t+1)^{2}}}\mathrm {d} t,\;{\sqrt {x^{2}+2x+3}}={\frac {t^{2}+2t+3}{2(t+1)}}$

이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

${\begin{aligned}\int {\frac {\sqrt {x^{2}+2x+3}}{x}}\mathrm {d} x&=\int {\frac {(t^{2}+2t+3)^{2}}{2(t^{2}-3)(t+1)^{2}}}\mathrm {d} t=\int \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{t+1}}-{\frac {1}{(t+1)^{2}}}+{\frac {6}{t^{2}-3}}\right)\mathrm {d} t\\&={\frac {t}{2}}+\ln |t+1|+{\frac {1}{t+1}}+{\sqrt {3}}\ln \left|{\frac {t-{\sqrt {3}}}{t+{\sqrt {3}}}}\right|+C\\&={\frac {{\sqrt {x^{2}+2x+3}}+x}{2}}+{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+2x+3}}+x+1}}+\ln({\sqrt {x^{2}+2x+3}}+x+1)+{\sqrt {3}}\ln \left|{\frac {{\sqrt {x^{2}+2x+3}}+x-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {x^{2}+2x+3}}+x+{\sqrt {3}}}}\right|+C\end{aligned}}$

제2 오일러 치환의 예

두 번째 적분에 다음과 같은 제2 오일러 치환을 사용하자.

${\sqrt {1+x+x^{2}}}=tx+1$

$x={\frac {2t-1}{1-t^{2}}},\;\mathrm {d} x={\frac {2(1-t+t^{2})}{(1-t^{2})^{2}}}\mathrm {d} t,\;{\sqrt {1+x+x^{2}}}={\frac {1-t+t^{2}}{1-t^{2}}}$

이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

$\int {\frac {1-{\sqrt {1+x+x^{2}}}}{x{\sqrt {1+x+x^{2}}}}}\mathrm {d} x=\int {\frac {-2t}{1-t^{2}}}\mathrm {d} t=\ln |1-t^{2}|+C=\ln \left|1-\left({\frac {{\sqrt {1+x+x^{2}}}-1}{x}}\right)^{2}\right|+C$

제3 오일러 치환의 예

세 번째 적분에 다음과 같은 제3 오일러 치환을 사용하자.

${\sqrt {x^{2}+3x-4}}=(x+4)t$

$x={\frac {1+4t^{2}}{1-t^{2}}},\;\mathrm {d} x={\frac {10t}{(1-t^{2})^{2}}}\mathrm {d} t,\;{\sqrt {x^{2}+3x-4}}={\frac {5t}{1-t^{2}}}$

이를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+3x-4}}}=\int {\frac {2}{1-t^{2}}}\mathrm {d} t=\ln \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C=\ln \left|{\frac {{\sqrt {x+4}}+{\sqrt {x-1}}}{{\sqrt {x+4}}-{\sqrt {x-1}}}}\right|+C$

다른 방법의 예

네 번째 적분에서는 $x-\alpha =1/t$와 같은 치환이 더 편리하다.

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x-\alpha ){\sqrt {(x-\alpha )(x-\beta )}}}}=-\int {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1+(\alpha -\beta )t}}}={\frac {2}{\beta -\alpha }}{\sqrt {1+(\alpha -\beta )t}}+C={\frac {2}{\beta -\alpha }}{\sqrt {\frac {x-\beta }{x-\alpha }}}+C$

외부 링크

• 이철희. “오일러 치환”. 《수학노트》. 
• “Euler substitutions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Eulers substitutions for integration”. 《PlanetMath》 (영어).