오일러 치환

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

미적분학에서 오일러 치환(-置換, 영어: Euler substitution)은 에 관한 유리 함수 적분

을 구하는 방법이다. 이러한 적분은 오일러 치환에 의해 유리 함수의 적분으로 귀결된다. 구체적으로 아래 세 가지 방법으로 나뉜다.

  • 일 때, 치환
  • 일 때, 로 치환
  • 일 때(실수), 로 치환

세 경우는 '배반적'인 분류가 아니며, 주어진 적분에 대해 하나 이상의 방법이 실행 가능할 수 있다.

제1 치환[편집]

일 때,

와 같이 치환해 주면, 루트를 풀었을 때 의 이차항이 다음과 같이 사라진다.

따라서 , 그리고 는 다음과 같이 에 관한 유리 함수으로 나타내어진다.

이로써 원래의 적분은 다음과 같은 유리 함수의 적분으로 전환된다.

비슷하게 처럼 치환하는 것도 가능하다.

제2 치환[편집]

마찬가지로 일 때

와 같이 치환하면

처럼 에 관한 유리함수로 나타낼 수 있으며, 원래의 적분은 유리 함수의 적분으로 표현된다.

제3 치환[편집]

다항식 가 두 실근 을 가질 때, 즉 일 때, 치환

을 하면,

이 되고 원래의 적분은 유리 함수의 적분이 된다.

[편집]

예 1[편집]

적분

에서 제1 치환

를 행하면 다음이 있다.

따라서

인 경우 역쌍곡선함수에 관한 아래 공식을 얻는다.

예 2[편집]

적분

을 위해 다음과 같이 치환하자.

그러면 처음의 적분은 유리 함수의 적분으로 전환되며 조금 더 계산하면 답을 구할 수 있다.

세 치환법 사이의 관계[편집]

세 치환은 각각 , , 을 전제로 하는데, 이는 겹칠 수 있으며, 전제에 맞는 치환법 중 어느 하나를 사용하여도 무방하다.

제1, 3 치환은 이미 모든 경우를 포괄한다.[1]:341 실제로 중 하나는 꼭 만족된다. 그렇지 않으면 항상 음수이므로 고려 대상이 아니다.

제1, 2 치환은 서로 전환 가능하다. 아래의 관계는 또는 인 식을 (유리함수가 깨지지 않게) 다른 한 조건의 식으로 전환해준다.[1]:341

다른 방법[편집]

오일러 치환은 꼴의 유일한 적분법이 아니다. 적당히 치환해 꼴로 바꾼 뒤, 삼각치환법을 통해 삼각유리함수(삼각함수에 관한 유리함수)로 전환하는 것도 한 가지 방법이다.[2]:229

또 어떤 경우, 오일러 치환은 가장 간단한 치환 방식이 아닐 수 있다. 예를 들어 다음의 적분에서는 로의 치환이 더 편리하다.

각주[편집]

  1. 周民强 (2010). 《数学分析习题演练》 [해석학 문제 연습] (중국어) 2판. 科学出版社. ISBN 978-7-03-028183-8. 
  2. 张筑生 (1990). 《数学分析新讲》 [해석학 신강] (중국어) 1판. 北京大学出版社. ISBN 7-301-00846-5.