로피탈의 정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

실해석학에서, 로피탈의 정리(영어: l'Hôpital's rule, l'Hospital's rule) 또는 로피탈의 법칙 또는 베르누이의 규칙(영어: Bernoulli's rule)[1]도함수를 통해 부정형극한을 구하는 정리이다.

정의[편집]

확장된 실수 함수 가 주어졌다고 하자. (여기서 는 열린구간이며, 인 경우 를 포함하고, 인 경우 를 끝점으로 한다.) 또한, 이들이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 에서 미분 가능 함수이다.
  • 다음 둘 가운데 하나가 성립한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

증명[편집]

xa ≠ ±∞ (0/0)[편집]

우선 이며 인 경우를 증명하자. 라고 재정의하자. 그렇다면, 에서 연속 함수이면서, 에서 미분 가능 함수이다. 코시 평균값 정리에 따라, 다음이 성립한다.

xa ≠ ±∞ (∞/∞)[편집]

이제 이며 이며 인 경우를 증명하자. 임의의 을 취하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

코시 평균값 정리에 따라, 임의의 에 대하여, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

즉,

이 경우, 이므로, 다음을 만족시키는 가 존재한다.

이에 따라, 이며, 비슷하게 역시 증명할 수 있다.

마찬가지로, 이며 이며 인 경우를 증명할 수 있다.

x → ±∞[편집]

마지막으로, 인 경우는 다음과 같이 증명할 수 있다.

마찬가지로, 인 경우를 증명할 수 있다.

[편집]

도함수의 비의 극한이 존재하지 않을 때[편집]

다음과 같은 전제 조건은 로피탈의 정리에서 제거할 수 없다.

즉, 이러한 도함수의 비의 극한이 확장된 실수로서 존재하지 않을 경우, 로피탈의 정리는 당연히 효력을 잃는다. 그러나 이 경우에도, 원래 함수의 비의 극한은 확장된 실수로서 존재할 수 있다. 예를 들어,

이지만, (여기서 은 극한이 확장된 실수로서 존재하지 않는다는 뜻이다.)

이다. 또한, 도함수의 비의 극한이 존재하는지와 상관 없이, 만약 남은 전제 조건들을 모두 만족시킨다면, 다음이 성립한다.

분모의 도함수가 끊임없이 0이 될 때[편집]

만약 도중에 끊임없이 나타난다면, (정확히 말해, 인 수열 가 존재한다면,) 꼴의 구간에 정의될 수 없으므로, 에서 확장된 실수로서의 극한을 가질 수 없으며, 따라서 이는 로피탈의 정리의 적용 대상이 아니다. 그러나 의 영점이 아닌 범위에서의 극한만을 생각하여 로피탈의 정리를 확장시킬 수 있는가를 생각할 수 있다. 답은 그럴 수 없다는 것이다. 이러한 경우에 대한 한 가지 반례는 다음과 같다.

관련 정리[편집]

복소함수의 경우[편집]

복소변수 함수의 경우 일반적인 로피탈의 정리를 적용할 수 없다. 예를 들어 에서 정의된 함수 의 경우, 모든 실수 t에 대해 이므로

가 되지만,

이므로

(삼각 부등식)

이므로

가 되어 x를 영으로 보내는 값은 영이 된다.[2]

복소변수 함수의 경우 로피탈의 정리가 적용 가능하기 위해서는 f'와 g'의 값이 존재해야 한다는 강한 조건을 만족해야 한다. 즉, 복소변수 함수에서 성립하는 로피탈의 정리는 다음과 같다.[3]

  • 복소함수 f와 g가 a에서 해석적이라 하자. f(a) = 0 = g(a)이지만 g'(a) ≠ 0, 또는 f(a) = ±∞ = g(a)이면, 다음이 성립한다.

슈톨츠-체사로 정리[편집]

일반적인 함수의 극한 계산에 이용되는 로피탈의 정리와 달리, 수열의 극한 계산에만 사용되는 로피탈의 정리의 유사 형태로 슈톨츠-체사로 정리가 있다.

역사[편집]

정리의 이름은 17세기에 활동하였던 프랑스수학자이자 후작기욤 드 로피탈의 이름에서 유래되었다. 그는 저서 《곡선을 이해하기 위한 무한소 해석》(l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes)에서 이 정리를 소개하였다.

각주[편집]

  1. Howard Eves. 〈베르누이 일가〉. 《수학사》. 번역 이우영; 신향균. 경문사. 392쪽. …… 로피탈 후작이 요한의 면밀한 재정적 동의 아래 1696년 최초의 미적분학 교재를 만든 것은 바로 그의 자료였다. 잘 알려진 0/0꼴의 부정형의 계산법이 후에 미적분학 책에서 로피탈의 정리로 잘못 알려지게 된 것은 바로 이러한 과정에서였다. 
  2. Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGrow Hill, p112-113
  3. 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 253쪽.

외부 링크[편집]