엡실론-델타 논법

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

해석학에서, 엡실론-델타 논법(ε-δ論法, 영어: epsilon-delta argument)은 함수의 극한을 엄밀히 정의하는 방법이다.

정의[편집]

만큼 가까울 때, 만큼 가깝다.

실수 부분 집합 에 정의된 실숫값 함수

극한점(=집합의 점들이 모여드는 점)

에서 가지는 극한

엡실론-델타 논법을 통해 정의해 보자. 우선, 표현 '임의의 에 대하여, ...' 또는 표기

는 모든 양의 실수 이 그 뒤에 오는 조건(...)을 예외 없이 만족시킨다는 뜻이다. 표현 '어떤 가 존재하여, ...' 또는 표기

는 적어도 하나의 양의 실수 가 그 뒤에 오는 조건을 만족시킨다는 뜻이다. 표현 '...는 ...을 함의한다' 또는 표기

는 앞의 조건의 만족이 뒤의 조건의 만족을 보장한다는 뜻이다. 또한, 표기

는 독립 변수의 값 가 일정 값 와 거리 이내이되, 와 같지 않다는 뜻이며, 표기

는 함숫값 가 극한값 과 오차 이내라는 뜻이다. 이제, 함수의 극한을 다음과 같이 정의할 수 있다.

  • 임의의 에 대하여, 어떤 가 존재하여, 임의의 에 대하여, 을 함의한다.

이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.

즉, 임의의 오차 범위를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리 이내인 일이, 함숫값이 극한값과 그 오차 범위 이내이기를 보장할 수 있다는 것이다.

거리 공간의 경우[편집]

거리 공간 에서 거리 공간 로 가는 함수

극한점

에서 가지는 극한

엡실론-델타 논법을 통한 정의는 다음과 같다.

  • 임의의 에 대하여, 어떤 가 존재하여, 임의의 에 대하여, 을 함의한다.

이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.

응용[편집]

함수의 극한 외의 여러 해석학적 개념을 엡실론-델타 논법을 통해 정의할 수 있다. 특히, 실수 함수에 대해서는 다음과 같다.

개념 엡실론-델타 정의
점에서 연속
연속 함수
균등 연속 함수

거리 공간의 경우[편집]

두 거리 공간 사이의 함수에 대한 여러 가지 개념의 엡실론-델타 정의는 다음과 같다.

개념 엡실론-델타 정의
점에서 연속
연속 함수
균등 연속 함수

역사[편집]

1817년 베른하르트 볼차노가 기본적인 개념을 세웠고, 19세기 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 최초 (ε, δ) 표기를 사용해 좀 더 엄밀하게 정의하였고, 후에 카를 바이어슈트라스가 이것을 논리적으로 더욱 엄밀하게 하여 정식화하였다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]