일반위상수학 및 순서론에서 스콧 위상(영어: Scott topology)은 임의의 원순서 집합 위에 정의할 수 있는 위상의 하나이다.
원순서 집합
의 부분 집합
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 열린집합(영어: Scott-open set)이라고 한다.
- 다음 두 조건을 만족시킨다.
는 상집합이다.
- 임의의 상향 집합
에 대하여, 만약
라면,
이다. (
가 상집합이므로,
인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
- 스콧 닫힌집합의 여집합이다.
마찬가지로, 원순서 집합
의 부분 집합
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 닫힌집합(영어: Scott-closed set)이라고 한다.
- 다음 두 조건을 만족시킨다.
는 하집합이다.
- 임의의 상향 집합
에 대하여, 만약
이며,
가 존재한다면,
이다. (
가 하집합이므로,
인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
- 스콧 열린집합의 여집합이다.
원순서 집합
의 스콧 열린집합들의 집합은
위의 위상을 이룬다. 이를
의 스콧 위상이라고 한다.
스콧 위상에 대한 연속 함수[편집]
두 원순서 집합
,
사이의 함수
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는
를 스콧 연속 함수(영어: Scott-continuous function)라고 한다.
- 정의역과 공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.
- (상향 집합의 상한의 보존) 임의의 상향 집합
에 대하여, 만약
가 존재한다면, ![{\displaystyle f(\sup D)=\sup f(D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948be5fd82585d34fbe085725372e4cf62a163be)
스콧 연속 함수는 항상 증가함수이다.
함자성[편집]
스콧 위상은 원순서 집합과 스콧 연속 함수의 범주
와 위상 공간의 범주
사이의 함자
![{\displaystyle \Sigma \colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Top} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d01562d74c3df90c34cc4f715a50732858aeb2)
를 정의한다.
곱과의 호환[편집]
위 함자는 연속 dcpo의 범주
와 콜모고로프 공간의 범주
사이로 제한시켰을 때, 유한 곱을 보존한다. 보다 일반적으로, 임의의 dcpo
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:197, Theorem II-4.13
- 임의의 dcpo
에 대하여, 다음 두 위상이 일치한다.
와
의 직접곱
의 스콧 위상
와
의 스콧 위상의 곱위상
의 스콧 열린집합들의 완비 헤이팅 대수는 연속 완비 헤이팅 대수이다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]