벡터 공간

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선형대수학에서, 벡터 공간(vector空間, 영어: vector space)은 원소를 서로 더하거나, 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 에 대한, 가군의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터(영어: vector)라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.

정의[편집]

K에 대한 벡터 공간 (V,+,\cdot)K에 대한 가군이다. 즉, 다음과 같은 튜플이다.

  • V집합이다. 이 집합의 원소를 벡터라고 한다.
  • +\colon V\times V\to V함수이다. 이 연산을 벡터 합이라고 한다.
  • \cdot\colon K\times V\to V함수이다. 이 연산을 스칼라 곱이라고 한다.

이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.

  • (V,+)아벨 군을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
    • (벡터 합의 결합 법칙) 임의의 u,v,w\in V에 대하여, (u+v)+w=u+(v+w)
    • (벡터 합의 교환 법칙) 임의의 u,v\in V에 대하여, u+v=v+u
    • (벡터 합의 항등원) 임의의 u\in V에 대하여 u+0=u인 원소 0\in V가 존재한다.
    • (역원의 존재) 임의의 u\in V에 대하여, -u+u=0인 원소 -u\in V가 존재한다.
  • (V,+,\cdot)K가군을 아룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
    • 임의의 a,b\in Kv\in V에 대하여, a\cdot(b\cdot v)=(ab)\cdot v
    • 임의의 v\in V에 대하여, 1\cdot v=v. 여기서 1\in KK의 곱셈 항등원이다.
    • (분배 법칙) 임의의 a,b\in Ku,v\in V에 대하여, (a+b)\cdot(u+v)=a\cdot u+b\cdot u+a\cdot v+b\cdot v

실수체 \mathbb R에 대한 벡터 공간을 실수 벡터 공간(實數vector空間, 영어: real vector space)이라고 하며, 복소수체 \mathbb C에 대한 벡터 공간을 복소수 벡터 공간(複素數vector空間, 영어: complex vector space)이라고 한다.

부분 공간과 기저[편집]

주어진 벡터 공간 V에 대해서, V의 부분집합 W가

  1. 덧셈에 대해서 닫혀있고,
  2. 스칼라 곱에 대해서도 닫혀 있으면,

이 W를 V의 (선형) 부분 공간(部分空間, 영어: linear subspace)이라고 부른다. 부분 공간이 그 자체로 벡터 공간이 되는 것은 자명하다. 두 부분 공간의 교집합 역시 부분 공간을 이룬다.

벡터 공간 V의 부분 집합 S에 대하여, S생성(영어: span) \operatorname{Span}SS를 포함하는 모든 부분 공간들의 교집합이다. 만약 S에서,

s\in\operatorname{Span}(S\setminus\{s\})

인 원소 s\in S가 존재하지 않는다면, S선형 독립 집합이라고 한다. 생성이 벡터 공간 전체인 선형 독립 집합을 기저라고 한다.

선택 공리를 가정하면, 모든 기저들은 항상 같은 크기를 가지며, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 갖는다. 벡터 공간 V의 기저의 크기를 벡터 공간의 차원(영어: dimension) \dim V\in\operatorname{Card}이라고 한다.

선형 변환[편집]

K에 대하여, K-벡터 공간 V와 W가 주어졌다고 하자. V에서 W로의 선형 변환은 V에서 W로의 사상 중 선형 구조의 호환을 유지하는 사상, 즉 합과 곱을 보존하는 사상이다. V에서 W로의 모든 선형 사상의 집합은 L(V,W)로 표시하며, 이 역시 K-벡터 공간을 이룬다. V와 W가 유한 차원 벡터 공간이며, 양쪽의 기저가 주어졌다면 선형 변환은 성분들에 의하여 행렬로 나타낼 수 있다.

분류[편집]

선택 공리를 가정하자. K에 대한 벡터 공간 V에 대하여 다음이 성립한다.

  • V\cong K^{\oplus\dim V}이다.

즉, 주어진 체에 대한 벡터 공간은 그 차원에 따라서 완전히 분류된다. 이는 선택 공리를 필요로 하며, 선택 공리가 없으면 모든 벡터 공간이 차원을 갖는다는 것을 보일 수 없다. 여기서 K^{\oplus\dim V}K\dim V개의 직합이며, \dim V\ge\aleph_0인 경우 이는 곱집합과 다르다.

연산[편집]

같은 체 K 위의 벡터 공간들이 주어졌을 때, 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다.

직접곱[편집]

K 위의 벡터 공간들의 집합 \{V_i\}_{i\in I}이 주어졌을 때, 이들의 직접곱

\prod_{i\in I}V_i

은 집합으로서 V_i들의 곱집합이다. 이 위에는 자연스러운 K-벡터 공간의 구조가 존재한다. 즉,

(a_i)_{i\in I}+(b_i)_{i\in I}=(a_i+b_i)_{i\in I}
c\cdot(a_i)_{i\in I}=(c\cdot a_i)_{i\in I}

이는 벡터 공간의 범주에서의 이며, 대수 구조로서의 직접곱이다. 즉, 자연스러운 사영 사상

\pi_i\colon\prod_{i\in I}V_i\to V_i

이 존재하며, 이는 선형 변환을 이룬다.

직합[편집]

K 위의 벡터 공간들의 집합 \{V_i\}_{i\in I}이 주어졌을 때, 이들의 직합은 다음과 같다.

\bigoplus_{i\in I}V_i=\left\{a\in \prod_{i\in I}V_i\colon|\{i\in I\colon a_i\ne0\}|<\aleph_0\right\}\subseteq\prod_{i\in I}V_i

즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱이며, 가군의 직합의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상

\iota_i\colon V_i\hookrightarrow\bigoplus_{i\in I}V_i

가 존재하며, 따라서 각 V_i\prod_{i\in I}V_i의 부분 공간을 이룬다.

유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약 S_i\subset V_iV_i기저라면,

\bigcup_{i\in I}\iota_i(S_i)\subset\bigoplus_{i\in I}V_i

\bigoplus_{i\in I}V_i의 기저를 이룬다. 따라서,

\dim\bigoplus_{i\in I}V_i=\sum_{i\in I}\dim V_i

이다. 여기서 좌변은 기수의 합이다.

텐서곱[편집]

K 위의 벡터 공간들의 집합 \{V_i\}_{i\in I}이 주어졌을 때, 이들의 텐서곱

\bigotimes_{i\in I}V_i=\operatorname{Free}\left(\prod_{i\in I}V_i\right)/\sim

이 존재한다. 이는 자연스러운 다중 선형 사상

\phi\colon\prod_{i\in I}V_i\to \bigotimes_{i\in I}V_i

을 가지며, 또한 임의의 다른 다중 선형 사상

\chi=\prod_{i\in I}V_i\to W

이 주어졌을 때, 유일한 선형 사상

\tilde\chi\colon \bigotimes_{i\in I}V_i\to W
\tilde\chi\circ\phi=\chi

가 존재한다. 텐서곱은 이 보편 성질로부터 유일하게 정의되며, 또 항상 존재한다.[1] 그러나 무한 개의 벡터 공간들의 텐서곱은 직접 정의하기 힘들다.

임의의 두 벡터 공간 V, W에 대하여, 다음이 성립한다.

\dim(V\otimes W)=\dim V\cdot\dim W

여기서 \cdot기수의 곱셈이다.

성질[편집]

K 위의 벡터 공간 K는 다음 성질들을 만족시킨다.

즉, 체 위에서는 모든 가군자유 가군이 된다.

집합론적 성질[편집]

K 위의 벡터 공간 V집합의 크기는 다음과 같다.

|V|=\begin{cases}|K|^{\dim_KV}&\kappa<\aleph_0\\\max\{|K|,\dim_KV\}&\kappa\ge\aleph_0\end{cases}

범주론적 성질[편집]

K에 대한 벡터 공간들과 이들 사이의 선형 변환들은 범주를 이루며, \operatorname{Vect}_K라고 쓴다. 이는 아벨 범주의 대표적인 예이다. \operatorname{Vect}_K에서의 대표적 범주론적 연산들은 다음과 같다.

모형 이론적 성질[편집]

모형 이론의 관점에서, 체 K에 대한 벡터 공간의 개념은 대수 구조로 나타낼 수 있다. 이 경우, 벡터 공간의 언어는 다음과 같은 연산을 갖는다.

  • 0항 연산 0 (영벡터)
  • a\in K에 대하여, 1항 연산 a\cdot
  • 2항 연산 +

즉, 만약 K가 무한 집합일 경우, 벡터 공간의 언어는 무한 개의 연산을 갖는다. 벡터 공간을 정의하는 공리들은 모두 항등식으로 적을 수 있으므로, 벡터 공간들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 벡터 공간의 준동형선형 변환이며, 벡터 공간의 부분 대수는 부분 벡터 공간이다. 합동 관계는 부분 벡터 공간과 일대일 대응하며, 주어진 합동 관계에 대응하는 부분 공간은 0과 합동인 벡터들의 집합이다. 특이하게도, 모든 벡터 공간은 자유 대수이다.

[편집]

  • 유클리드 공간 \mathbb R^nn차원 실수 벡터 공간이다.
  • K 위의 m\times n 행렬의 집합은 mn차원 K-벡터 공간을 이룬다.
  • 임의의 위상 공간 X 위의 모든 연속 실함수의 집합 \mathcal C(X,\mathbb R)는 실수 벡터 공간을 이룬다.
  • K 위의 벡터 공간 V 와 어떤 집합 X가 주어졌을 때, X에서 V로의 함수 f\colon X\to V들의 집합은 F 위의 벡터 공간을 이룬다. 이는 V|X|직접곱 V^{\times|X|}과 동형이다.
  • K에 대하여, 다항식환 K[x]형식적 거듭제곱 급수F[[x]]K 위의 벡터 공간이다.
  • 임의의 체의 확대 L/K의 경우, LK 위의 벡터 공간을 이루며, 벡터 공간으로서의 차원은 체의 확대의 차수이다.
    • 유한체 \mathbb F_{p^n}\mathbb F_p 위의 n차원 벡터 공간이다.
    • \mathbb C\mathbb R 위의 2차원 벡터 공간이다.
    • \mathbb R\mathbb Q 위의 2^{\aleph_0}차원 벡터 공간이다.
    • 모든 대수적 수체\mathbb Q 위의 벡터 공간이다.

관련 개념[편집]

벡터 공간에 성질을 추가하여 만든 구조로는 거리의 개념을 준 노름 공간 · 바나흐 공간, 각의 개념을 준 내적 공간 · 힐베르트 공간, 위상적 성질을 가진 위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 프레셰 공간, 벡터 곱을 준 체 위의 대수 등이 있다.

벡터 공간은 임의의 위의 가군의 개념의 특수한 경우이다. 그러나 일반적인 환 위의 일반적인 가군은 벡터 공간과 매우 다른 성질을 보인다. 벡터 공간과 비슷한 성질을 보이는 가군을 자유 가군이라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. Ng, Chi-Keung (2013). “On genuine infinite algebraic tensor products” (영어). 《Revista Matemática Iberoamericana》 29 (1): 329–356. arXiv:1112.3128. doi:10.4171/RMI/722. 

바깥 고리[편집]