사용자:Kobmuiv/리 군

수학에서 리 군( /liː/ LEE 로 발음)은 매끄러운 다양체 이기도 한 군이다.

리 군은 역행렬이 존재하는 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$ 성분 $n\times n$ 행렬들이 이루는 군 ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )$ 또는 ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )$의 행렬 부분 군 $G$을 연구하여 처음 발견되었다. 리 군 개념은 이러한 기원을 훨씬 뛰어넘어 확장되었기 때문에 이들은 이제 고전 군이라고 불린다. 리 군은 연속 변환 군론의 기초를 놓은 노르웨이 수학자 소푸스 리(1842~1899)의 이름을 따서 명명되었다. 리 군을 도입한 리의 원래 동기는 대수 방정식의 이산 대칭을 나타내기 위해 갈루아 이론에서 유한 군이 사용되는 것과 거의 같은 방식으로 미분 방정식의 연속 대칭군을 연구하는 것이었다.

역사

리 군의 초기 역사에 대한 가장 권위 있는 출처에 따르면, 소푸스 리 자신은 1873~1874년 겨울을 연속 군론의 탄생일로 보았다. 그러나 호킨스는 이 이론이 탄생하게 된 것은 "1869년 가을부터 1873년 가을까지 4년 동안의 리의 엄청난 연구 활동"이었다고 제안한다. 리의 초기 아이디어 중 일부는 펠릭스 클라인과의 긴밀한 협력을 통해 개발되었다. 리는 1869년 10월부터 1872년까지 매일 클라인을 만났다. 1869년 10월 말부터 1870년 2월 말까지 베를린에서, 이후 2년 동안 파리, 괴팅겐, 에를랑겐에서 만났다. 리는 모든 주요 결과가 1884년에 얻어졌다고 말했다. 그러나 1870년대에 그의 모든 논문(첫 번째 메모를 제외하고)은 노르웨이 저널에 게재되었으며, 이로 인해 나머지 유럽 전역에서 이 논문이 인정받는 데 방해가 되었다. 1884년 독일의 젊은 수학자 프리드리히 엥겔은 연속 군론을 공표하기 위한 체계적인 논문을 작성하기 위해 리와 함께 작업했다. 이러한 노력의 결과로 1888년, 1890년, 1893년에 세 권으로 구성된 Theorie der Transformationsgruppen이 출판되었다. Groupes de 리 라는 용어는 1893년 리의 학생 Arthur Tresse의 논문에서 프랑스어로 처음 등장했다.

리의 아이디어는 수학의 나머지 부분과 분리되어 있지 않았다. 사실, 미분 방정식의 기하학에 대한 그의 관심은 처음으로 카를 구스타프 야코비의 1차 편미분 방정식이론과 고전 역학 방정식에 대한 연구에서 비롯되었다. 야코비의 논문 대부분은 1860년대에 사후에 출판되어 프랑스와 독일에서 엄청난 관심을 불러일으켰다. 리의 아이디어 수정은 에바리스트 갈루아 대수 방정식에 대해 수행한 작업, 즉 군 이론의 관점에서 방정식을 분류하는 작업을 수행할 수 있는 미분 방정식의 대칭 이론을 개발하는 것이었다. 리와 다른 수학자들은 특수 함수와 직교 다항식에 대한 가장 중요한 방정식이 군론 대칭에서 발생하는 경향이 있음을 보여주었다. 리의 초기 작업에서 아이디어는 펠릭스 클라인과 앙리 푸앵카레의 손에 있는 모듈러 형식에서 발전한 이산 군론을 보완하기 위해 연속 군 이론을 구성하는 것이었다. 리가 염두에 두고 있던 초기 적용은 미분 방정식 이론이었다. 갈루아 이론과 다항식 방정식의 모델에서, 주요 개념은 대칭 연구를 통해 상미분 방정식의 전체 영역을 통합할 수 있는 이론이었다. 그러나 리 이론이 상미분 방정식 분야 전체를 통합할 것이라는 희망은 이루어지지 않았다. ODE에 대한 대칭 방법이 계속 연구되고 있지만 주제를 지배하지는 않다. 미분 갈루아 이론이 있지만 이는 피카르 및 Vessiot와 같은 다른 사람들에 의해 개발되었으며 해를 표현하는 데 필요한 부정 적분인 구적법 이론을 제공한다.

연속군을 고려하는 추가적인 원동력은 기하학의 기초에 대한 베른하르트 리만의 아이디어와 클라인의 손에 의한 추가 발전에서 나왔다. 따라서 19세기 수학의 세 가지 주요 주제는 리에 의해 결합되어 그의 새로운 이론을 창안했다. 즉, 군의 대수적 개념을 통해 갈루아가 예시한 대칭 개념; 푸아송과 야코비가 연구한 기하학적 이론과 역학 미분방정식 의 명시적 해법; 그리고 플뤼커, 뫼비우스, 그라스만 등의 논문에서 등장하고 주제에 대한 리만의 혁명적인 비전으로 정점에 도달한 기하학에 대한 새로운 이해.

오늘날 소푸스 리는 연속 군론의 창시자로 정당하게 인정받고 있지만, 이후 수학 발전에 심오한 영향을 미칠 구조 이론 개발에 있어 큰 진전은 1888년 빌헬름 킬환에 의해 이루어졌다. Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (연속 유한 변환 군의 구성)이라는 제목의 시리즈 중 첫 번째 논문을 출판했다. 나중에 엘리 카르탕에 의해 세련되고 일반화된 킬환의 연구는 반단순 리 대수의 분류, 카르탕의 대칭 공간 이론, 그리고 가장 높은 가중치를 사용하는 콤팩트 및 반단순 리 군 표현 에 대한 헤르만 바일의 설명으로 이어졌다.

1900년에 다비트 힐베르트는 파리에서 열린 국제 수학자 회의에서 발표된 다섯 번째 문제로 리 이론을 연구하는 수학자들에게 중요한 주제를 던졌다.

바일은 리 군론 개발의 초기 단계를 결실로 가져왔다. 왜냐하면 그는 반단순 리 군의 기약 표현을 분류하고 군 이론을 양자 역학과 연결했을 뿐만 아니라 리 군론 자체를 더욱 확고한 기반 위에 두었기 때문이다. 바일은 리의 무한소 군 (즉, 리 대수)과 리 군 고유 사이의 구별을 명확하게 밝히고 리 군의 위상수학에 대한 조사를 시작했다. 리 군의 이론은 클로드 슈발레의 논문에서 현대 수학을 통해 체계적으로 재작업되었다.

도입

리 군은 매끄러운 미분 가능 다양체이므로 보다 일반적인 위상 군의 경우와 달리 미분 계산을 사용하여 연구할 수 있다. 리 군 이론의 핵심 아이디어 중 하나는 대역적 대상인 군을 국소적 또는 선형화된 버전으로 대체하는 것이다. 리는 이를 "무한소 군"이라고 불렀으며 이후 리 대수로 알려졌다.

리 군은 현대 기하학에서 다양한 수준에서 엄청난 역할을 한다. 펠릭스 클라인은 에를랑겐 프로그램에서 특정 기하학적 특성을 불변으로 유지하는 적절한 변환 군을 지정함으로써 다양한 "기하학"을 고려할 수 있다고 주장했다. 따라서 유클리드 기하학은 유클리드 공간의 거리 보존 변환 군 E(3) 의 선택에 해당한다. $\mathbb {R} ^{3}$ 등각기하학은 군을 등각군으로 확대하는 것에 해당하는 반면, 사영기하학에서는 사영군 아래의 불변하는 성질에 관심이 있다. 이 아이디어는 나중에 G 구조의 개념으로 이어졌다. 여기서 G 는 다양체의 "국소" 대칭의 리 군이다.

"대역적" 수준에서 리 군이 리만 또는 대칭 다양체 와 같은 기하학적 대상에 작용 할 때마다 이 작용은 강성의 척도를 제공하고 풍부한 대수 구조를 생성한다. 다양체에 대한 리 군 작용을 통해 표현되는 연속 대칭의 존재는 기하학적 구조에 강력한 제약을 가하고 다양체에 대한 해석을 용이하게 한다. 리 군의 선형 작용은 특히 중요하며 표현론에서 연구된다.

1940년–1950년대에 엘리스 콜친, 아르망 보렐 및 클로드 슈발레는 리 군에 관한 많은 기본 결과가 완전히 대수적으로 전개되어 임의의 체에 대해 정의된 대수군론을 생성할 수 있음을 깨달았다. 이 통찰력은 대수 기하학뿐만 아니라 대부분의 유한 단순 군 에 대한 균일한 구성을 제공함으로써 순수 대수학의 새로운 가능성을 열었다. 현대 정수론의 중요한 분과인 보형형식 이론은 아델 환에 대한 리족의 유사체를 광범위하게 다룬다. p -진 리 군은 정수론의 갈루아 표현과의 연결을 통해 중요한 역할을 한다.

정의와 예시

실수 리 군은 곱셈과 반전의 군 연산이 매끄러운 사상인 유한 차원의 매끄러운 실수 다양체이기도 한 군 이다. 군 곱셈

$\mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy$

의 매끄러움은 μ가 곱 다양체 G × G에서 G로 매끄럽게 사상한다는 것을 의미한다. 두 가지 조건은 사상

$(x,y)\mapsto x^{-1}y$

이 매끄럽다는 하나의 조건으로 결합될 수 있다.

첫 번째 예들

• 2×2 실수 가역 행렬은 GL(2, R) 또는 GL ₂ ( R )로 표시되는 곱셈 군을 형성한다.

$\operatorname {GL} (2,\mathbf {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.$이것은 4차원 비콤팩트 실수 리 군이다. 이는 $\mathbb {R} ^{4}$의 열린 부분집합이다. 이 군은 연결공간이 아니다. 행렬식의 양수 값과 음수 값에 해당하는 두 개의 연결 성분이 있다.

• 회전 행렬은 SO(2, R) GL(2, R), R ) 의 부분 군을 형성한다. 이는 그 자체로 리 군이다. 구체적으로 말하면 원과 형태가 다른 1 차원 콤팩트 연결 리 군이다. 회전 각도 사용 $\varphi$ 매개변수로서 이 군은 다음과 같이 매개변수화 될 수 있다.

$\operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.$각도의 덧셈은 SO(2, R) 원소의 곱셈에 해당하고, 반대 각도를 취하는 것은 반전에 해당한다. 따라서 곱셈과 역산은 모두 미분 가능한 사상이다.

• 1차원의 아핀 군은 2차원 행렬 리 군으로 구성된다. $2\times 2$ 실수 상부 삼각 행렬. 첫 번째 대각선 항목은 양수이고 두 번째 대각선 항목은 1이다. 따라서 군은 다음 형식의 행렬로 구성된다.

$A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .$

예시가 아님

이제 특정 위상에서 리 군이 아닌 셀 수 없이 많은 원소를 가진 군의 예를 제시한다. 고정된 무리수 $a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$에 대해,

$H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},$

$\mathbb {T} ^{2}$ 내부에 있는 군$H$의 일부분. 원소 $h\in H$의 작은 이웃들은 $H$의 부분 집합 위상에서 연결이 아니다.

는 원환면 $\mathbb {T} ^{2}$의 부분 군이다. $H$에 부분 공간 위상이 주어지면 이는 리 군이 아니다.예를 들어 $h\in H$의 어떤 작은 이웃 $U$을 취한다면, $U$에 안에 있는 부분은 연결 공간이 아니다. 군 $H$는 나선의 이전 점에 도달하지 못한 채 원환체 주위를 반복적으로 감아서 $\mathbb {T} ^{2}$의 조밀 부분 군을 형성한다.

그러나 군 $H$에 대해 두 점 $h_{1},h_{2}\in H$ 사이의 거리가 $h_{1}$와 $h_{2}$를 연결하는 군 $H$ 안의 최단 경로의 길이로 정의되는 다른 위상이 주어질 수 있다. 이 위상에서는 $H$는 각 원소를 $H$의 정의에서 실수 $\theta$로 식별하여 실수 직선과 위상동형이 된다. 이 위상을 사용하면 $H$는 단지 실수 덧셈 군이므로 리 군이다.

위의 군 $H$는 리 군의 닫힌 집합이 아닌" 리 부분 군"의 예이다.

행렬 리 군

$\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$는 $\mathbb {C}$ 성분 $n\times n$ 가역 행렬들의 군을 나타낸다. $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$의 임의의 닫힌 부분 군은 리 군이다. 이러한 종류의 리 군을 행렬 리 군이라고 한다. 리 군의 흥미로운 사례 대부분은 행렬 리 군으로 표현될 수 있기 때문에 홀, 로스만, 및 스틸웰의 교재들을 포함하여 일부 교과서에서는 관심을 행렬 리 군으로 제한한다. 행렬 리 군에 주의를 제한하면 리 대수와 지수 사상의 정의가 단순화된다. 다음은 행렬 리 군의 표준 예이다.

• $\mathbb {R}$과 $\mathbb {C}$ 위의 특수 선형 군은 각각 $\operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )$과 $\operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )$이다. 이들은 행렬식이 1인 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$ 성분 $n\times n$ 행렬들이 이루는 군이다.
• 유니터리 군 ${\text{U}}(n)$은 $U^{*}=U^{-1}$이 성립하는 $n\times n$ 복소 행렬들이 이루는 군이고 특수 유니터리 군 ${\text{SU}}(n)$은 ${\text{U}}(n)$의 원소들 중에 $\det(U)=1$이 성립하는 행렬들이 이루는 군이다.
• 직교군 ${\text{O}}(n)$은 $R^{\mathrm {T} }=R^{-1}$이 성립하는 $n\times n$ 실수 행렬들이 이루는 군이고 특수 직교군 ${\text{SO}}(n)$은 ${\text{O}}(n)$의 원소들 중 $\det(R)=1$인 행렬들이 이루는 군이다.

앞의 모든 예는 고전 군이라고 부른다.

관련 개념

복소 리 군은 실수 다양체가 아닌 복소 다양체와 정칙사상을 사용하여 동일한 방식으로 정의된다(예: $\operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$). 마찬가지로 $\mathbb {Q}$의 p-진 거리 완비화를 사용하면, p -진수에 대해 p -진 리 군을 정의할 수 있다. 이 위상 군은 해석 p-진 다양체이기도 한 위상 군이므로 군 작용이 해석적이다. 특히 각 점에는 p -진 이웃이 있다.

힐베르트의 다섯 번째 문제는 리 군의 정의에서 미분 다양체를 위상 또는 해석 다양체로 대체하면 새로운 예를 얻을 수 있는지 여부를 물었다. 이 질문에 대한 대답은 부정적인 것으로 판명되었다. 1952년에 글리슨, 몽트메리 및 지핀은 $G$가 연속적인 군 연산을 갖는 위상 다양체라면 $G$를 리 군으로 바꾸는 해석 구조가 정확히 하나 존재한다는 것을 보여주었다(참조: 힐베르트-스미스 추측). 기본 다양체가 무한 차원(예: 힐베르트 다양체)이 되도록 허용되면 무한 차원 리 군이라는 개념에 도달한다. 무한 차원 리 군에서도 유한 체에서 만든 리 군과 비슷한 개념들을 정의하는 것이 가능하며 이는 유한 단순 군의 예를 대부분 제공한다.

범주론은 리 군에 대한 간결한 정의를 제공한다. 리 군은 매끄러운 다양체 범주의 군 대상이다. 이는 리 군의 개념을 리 슈퍼군 으로 일반화할 수 있기 때문에 중요하다. 이러한 범주론적 관점은 또한 리 군의 다른 일반화, 즉 추가 조건들이 있는 매끄러운 다양체 범주의 군 대상인 리 준군으로 이어진다.

위상수학적 정의

리 군은 매끄러운 다양체를 고려하지 않고 항등원 근처에서 변환 군처럼 보이는 하우스도르프 위상 군으로 정의할 수 있다. 먼저, 몰입 선형 리 군을 일반 선형 군 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$의 부분 군 $G$로 정의한다.

1. $G$의 항등원 e의 어떤 이웃 V 에 대해 V 의 위상는 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$의 부분 공간 위상이다. 그리고 V는 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ 안에서 닫혀있다.
2. $G$에는 기껏해야 셀 수 있을 정도로 많은 연결 성분이 있다.

(예를 들어, $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$의 닫힌 부분 군은 위 조건을 만족하는 행렬 리 군이다.) 그러면, 리 군은 (1) 완전히 선형인 리 군에 대한 항등원 근처에서 국소적으로 동형이고 (2) 기껏해야 셀 수 있을 만큼 많은 연결 성분을 갖는 위상 군으로 정의된다. 일반적인 정의와 동일한 위상수학적 정의를 표시하는 것은 기술적이지만(초보 독자는 다음을 건너뛰어야 함) 대략적으로 다음과 같이 수행된다.

1. 일반적인 다양체의 의미에서 리 군 $G$가 주어지면 리 군-리 대수 대응(또는 리의 세 번째 정리 버전)은 $G,G'$의 리 대수들이 동일한 몰입 리 부분 군 $G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$을 구성한다. 따라서 그들은 국소적으로 동형이다. 따라서 $G$는 위의 위상수학적 정의를 만족한다.
2. 반대로 $G$를 위의 위상수학적 의미에서 리 군인 위상 군으로 두고 몰입 선형 리 군 $G'$을 선택한다. 이는 $G$와 국소적으로 동형이다. 그런 다음 닫힌 부분군 정리의 버전에 따라 $G'$는 실수-해석 다양체이고, 그런 다음 국소 동형사상을 통해 $G$는 항등원 근처에서 다양체의 구조를 얻는다. 그런 다음 $G$에 대한 군 법칙이 형식적 멱급수로 주어질 수 있음을 보여준다. 따라서 군 연산은 실수 해석적이며 $G$ 자체는 실수 해석 다양체이다.

위상수학적 정의는 두 개의 리 군이 위상 군으로 동형이라면 리 군으로도 동형이라는 진술을 의미한다. 실제로 이는 군 법칙과 함께 리 군의 위상이 군의 기하학을 결정한다는 일반적인 원리를 명시한다.

리 군의 더 많은 예

리 군은 수학 전반에 걸쳐 많이 발생한다. 행렬 군 또는 대수군은 (대략) 행렬 군(예: 직교 및 심플렉틱 군)이며, 이는 리 군의 보다 일반적인 예를 대부분 제공한다.

1과 2차원

차원 1인 연결 리 군은 실수 직선 덧셈군 $\mathbb {R}$과 원군 $S^{1}$ 절대값 1인 복소수 곱셈군 밖에 없다. $S^{1}$군은 종종 $1\times 1$ 유니터리 행렬군 $U(1)$과 같이 표시된다.

2차원에서 단일 연결 군은 리 대수로 분류된다. 2차원의 리 대수는 두 개뿐이다. 관련 단일 연결 리 군은 덧셈 군 $\mathbb {R} ^{2}$과 1차원 아핀 군이다. 이전 절의 "첫 번째 예"에서 설명했다.

• 군 SU(2)은 행렬식이 $1$인 $2\times 2$ 유니터리 행렬들의 군이다. 위상적으로, ${\text{SU}}(2)$은 $3$-구 $S^{3}$이다; 군으로서 단위 사원수 군으로 식별될 수 있다.
• 하이젠베르크 군은 $3$차원 연결 멱영 리 군이다. 양자 역학에서 핵심적인 역할을 한다.
• 로런츠 군은 민코프스키 공간의 선형 등거리 사상들이 이루는 6차원 리 군이다.
• 푸앵카레 군은 민코프스키 공간의 아핀 등거리사상들이 이루는 10차원 리 군이다.
• G ₂, F ₄, E ₆, E ₇, E ₈ 유형의 예외적인 리 군은 각각 14, 52, 78, 133, 248 차원이다. 단순 리 군의 ABCD 열과 함께 예외 군은 단순 리 군 목록을 완성한다.
• 심플렉틱 군 ${\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )$은 $\mathbb {R} ^{2n}$ 위의 심플렉틱 형식을 보존하는 $2n\times 2n$ 행렬들이 이루는 $2n^{2}+n$ 차원 연결 리 군이다.

구성

주어진 리 군에서 새로운 리 군을 형성하는 몇 가지 표준적 방법들이 있다.

• 두 리 군의 곱은 리 군이다.
• 리 군의 위상적으로 닫힌 부분 군은 리 군이다. 이것은 닫힌 부분군 정리 또는 카르탕의 정리 로 알려져 있다.
• 닫힌 정규 부분 군에 의한 리 군의 몫군은 리 군이다.
• 연결 리 군의 보편 덮개는 리 군이다. 예를 들어, 리 군 $\mathbb {R}$은 원군 $S^{1}$의 보편 덮개이다. 실제로 미분 다양체의 모든 덮개는 미분 다양체이기도 하지만 보편 덮개인 경우 군 구조(다른 구조와 호환 가능)가 보장된다.

관련 개념

리 군이 아닌 군의 몇 가지 예는 다음과 같다(기껏해야 셀 수 있을 만큼 많은 원소를 가진 군을 이산 위상을 사용하는 0차원 리 군으로 볼 수 있다는 사소한 의미 제외).

• 무한 차원 실수 선형 공간의 덧셈 군 또는 다양체 $X$에서 리 군 $G$로 가는 매끄러운 함수들의 공간 $C^{\infty }(X,G)$과 같은 무한 차원 군. 이들은 유한 차원 다양체가 아니기 때문에 리 군이 아니다.
• 무한 확대 체의 갈루아 군 또는 p-진 수의 덧셈 군과 같은 일부 완전 비 연결 군. 이들은 기본 공간이 실수 다양체가 아니기 때문에 일반적으로 리 군이 아니다. (이러한 군 중 일부는 "p-진 리 군"이다.) 일반적으로 어떤 양의 정수 n에 대해 $\mathbb {R} ^{n}$과 비슷한 국소적 성질을 갖는 위상 군만 리 군이 될 수 있다(물론 미분 가능한 구조도 가져야 함).

기본 개념

리 군과 리 대수

모든 리 군에 기본 벡터 공간이 항등원에서 리 군의 접공간이고 군의 국소 구조를 완전히 포착하는 리 대수를 연관시킬 수 있다. 대략적으로 리 대수의 원소를 항등원에 " 무한히 가까운" 군의 원소로 생각할 수 있으며, 리 대수의 리 괄호는 그러한 두 무한소 원소들의 교환자와 관련된다. 추상적 정의를 제시하기 전에 몇 가지 예를 제시한다.

• 선형 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 리 대수는 다음과 같이 주어진 리 괄호
  $$[u,v]:=0$$
  가 주어진 $\mathbb {R} ^{n}$이다 (일반적으로 연결 리 군의 리 괄호가 0임과 리 군이 아벨군임이 동치이다.)
• 복소 가역 행렬들이 이루는 일반 선형 군

$\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$의 리 대수는 리 괄호가 다음과 같이 주어진 정사각 행렬의 벡터 공간 ${\text{M}}(n,\mathbb {C} )$이다.

$$[A,B]:=AB-BA$$

• $G$가 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$의 닫힌 부분 군인 경우 $G$의 리 대수는 대략적으로 $1+\varepsilon m\in G$인 ${\text{M}}(n,\mathbb {C} )$의 행렬 $m$으로 볼 수 있다. 여기서 $\varepsilon$은 $\varepsilon ^{2}=0$인 무한소 양수이다.(물론 그러한 실수 $\varepsilon$은 존재하지 않는다). 예를 들어, 직교 군 $\operatorname {O} (n,\mathbb {C} )$은 $AA^{T}=1$인 행렬들로 구성되므로 리 대수는 $(1+\varepsilon m)(1+\varepsilon m)^{T}=1$인 행렬 $m$으로 구성된다. $\varepsilon ^{2}=0$이므로, 이는 $m+m^{T}=0$과 동일하다.
• 앞의 설명은 다음과 같이 더욱 엄밀해질 수 있다. $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$의 닫힌 부분군 $G$의 리 대수는 다음과 같이 계산될 수 있다.

$\operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},$ 여기서 exp(tX)는 행렬 지수 함수를 사용하여 정의된다. 그러면 $G$의 리 대수는 대괄호 연산 $[X,Y]=XY-YX$하에서 닫혀 있는 실수 선형 공간이라는 것을 알 수 있다.

행렬 군에 대해 위에 제공된 구체적인 정의는 다루기 쉬우나 몇 가지 사소한 문제가 있다. 이를 사용하려면 먼저 리 군을 행렬 군으로 표현해야 하지만 모든 리 군이 이런 방식으로 표현될 수는 없다. 더욱이 리 대수는 표현에 독립적인지 조차 분명하지 않다. 이러한 문제를 해결하기 위해 리 군의 리 대수에 대한 일반적인 정의를 제공한다.

1. 임의의 매끄러운 다양체 $M$의 벡터장은 다양체의 매끄러운 함수 환의 미분 $X$로 볼 수 있으므로, 리 괄호 $[X,Y]:=XY-YX$에 대해 리 대수이다. 왜냐하면 두 미분의 리 괄호도 미분이기 때문이다.
2. $G$가 다양체 $M$에서 매끄럽게 작용하는 군인 경우 이는 벡터장에 작용하고 군에 의해 고정된 벡터장들의 선형 공간은 리 괄호 연산에 대해 닫혀 있으므로 리 대수를 형성한다.
3. 다양체 $M$이 리 군 $G$의 기본 공간인 경우에, 왼쪽 곱 $L_{g}(h)=gh$으로 $G$가 $G=M$에 작용하는 구성을 한다. 이때 왼쪽 곱은 매끄러운 사상이다. 이는 왼쪽 불변 벡터장($(L_{g})_{*}(X_{h})=X_{gh}\quad \forall h\in G$를 만족하는 벡터장. 여기서 L_g*는 L_g에서 정의된 밂을 나타냄)의 공간은 리 군에서 벡터장의 리 괄호가 주어진 리 대수임을 보여준다.
4. 리 군의 항등원에 접한 임의의 접벡터는 접벡터를 다양체의 다른 점으로 왼쪽으로 변환함으로써 왼쪽 불변 벡터장으로 확장될 수 있다. 구체적으로, 항등식에서 접공간의 원소 v의 왼쪽 불변 확장은 v^_g = L_g*v 로 정의되는 벡터장이다. 이는 항등원의 접공간 T_eG를 왼쪽 불변 벡터 체의 공간으로 식별하고 따라서 항등식의 접공간을 일반적으로 Fraktur로 표시되는 $G$의 리 대수라고 불리는 리 대수 ${\mathfrak {g}}$로 만든다. 리 괄호는 [v , w] = [v^, w^]_e.

이 리 대수 ${\mathfrak {g}}$는 유한 차원이며 다양체 $G$와 동일한 차원을 갖는다. $G$의 리 대수는 $G$를 "국소 동형"을 기준으로 결정한다. 여기서 두 리 군은 항등원 근처에서 동일하게 보이는 경우 국소적 동형이라고 한다. 리 군에 대한 문제는 먼저 리 대수에 대한 해당 문제를 해결함으로써 해결되는 경우가 많으며, 군에 대한 결과는 일반적으로 쉽게 유도된다. 예를 들어 단순 리 군은 일반적으로 해당 리 대수를 먼저 분류하여 분류된다.

왼쪽 불변 벡터장 대신 오른쪽 불변 벡터장을 사용하여 T_e 에 대한 리 대수 구조를 정의할 수도 있다. 이것은 동일한 리 대수로 이어진다. 왜냐하면 G 역 사상은 오른쪽 불변 벡터장과 왼쪽 불변 벡터장 동일시 하는 데 사용될 수 있고 접공간 T_e 에서 −1에 해당하기 때문이다.

T_e의 리 대수 구조는 다음과 같이 설명 될 수 있다. G × G에서 교환자 연산 (x, y) → xyx ^{− 1} y ^{− 1}

은 (e , e)를 e로 보낸다. 그래서 미분은 T_eG 위에서 쌍선형 연산을 생성한다. 이 쌍선형 연산은 실제로 영 사상이지만 접공간의 적절한 식별 하에서 2차 도함수는 리 괄호의 공리를 충족하는 연산을 생성하며 이는 왼쪽 불변 벡터장을 통해 정의된 것의 두 배와 같다.

준동형사상과 동형사상

$G$와 H가 리 군인 경우 리 군 동형 f : G → H 는 매끄러운 군 동형 이다. 복소 리 군의 경우 이러한 동형이 정칙 사상이 되기 위해서는 이러한 준동형사상이 필요한다. 그러나 이러한 요구 사항은 약간 엄격한다. 실수 리 군 사이의 모든 연속 준동형사상은 (실수) 해석적임이 밝혀졌다.

두 개의 리 동형의 구성은 다시 동형이며 모든 리 군의 클래스는 이러한 이형과 함께 범주를 형성한다. 더욱이, 모든 리 군 동형은 해당 리 대수 사이의 동형을 유도한다. $\phi \colon G\to H$는 리 군 준동형사상이고 $\phi _{*}$는 항등원에서 그것의 밂이라 하자. 항등원에서 접공간을 사용하여 G와 H의 리 대수를 식별하면 $\phi _{*}$는 해당 리 대수 사이의 사상이다:

$\phi _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$

이는 리 대수 준동형사상 (리 괄호를 유지하는 선형 사상 임을 의미)으로 밝혀졌다. 범주론에서는 리 군 범주에서 리 대수 범주로의 공변 함자가 있으며, 이는 리 군을 리 대수로 보내고 리 군 동형을 항등원에서 미분으로 보낸다.

두 리 군 사이에 그 역사상도 리 군 준동형사상인 전단사 준동형사상이 존재하는 경우 두 리 군을 동형이라고 한다. 동등하게, 그것은 군 준동형사상이기도 한 미분동형사상이다. 위의 내용을 통해 리 군 $G$에서 히군 $H$로 가는 연속 준동형사상이 동형사상임과 전단사임이 동치임을 확인하라.

리 군 대 리 대수 동형사상

동형 리 군은 반드시 동형 리 대수를 갖는다. 그러면 리 군의 동치류가 리 대수의 동치류와 어떻게 관련되는지 묻는 것이 합리적이다.

이 방향의 첫 번째 결과는 리의 세 번째 정리이다. 이는 모든 유한 차원의 실제 리 대수는 어떤 (선형) 리 군의 리 대수라는 것이다. 리의 세 번째 정리를 증명하는 한 가지 방법은 아도의 정리를 사용하는 것이다. 이는 모든 유한 차원 실수 리 대수가 행렬 리 대수와 동형이라는 것을 의미한다. 한편, 모든 유한차원 행렬 리 대수에는 이 대수를 리 대수로 사용하는 선형 군(행렬 리 군)이 있다.

반면, 동형 리 대수를 갖는 리 군은 동형일 필요가 없다. 더욱이 이 결과는 군이 연결이라고 가정하더라도 그대로 유지된다. 다르게 말하면, 리 군의 전체 구조는 리 대수에 의해 결정되지 않는다. 예를 들어 Z가 $G$의 중심의 이산 부분 군인 경우 $G$와 $G/Z$는 동일한 리 대수를 갖는다(예를 보려면 리 군 표참조). 물리학에서 중요한 예로는 SU(2) 및 SO(3) 군이 있다. 이 두 군은 동형 리 대수를 갖지만 군 자체는 동형이 아닙니다. 왜냐하면 SU(2)는 단순히 연결되어 있지만 SO(3)은 그렇지 않기 때문이다.

반면, 리 군이 단일 연결이도록 요구하는 경우 전역 구조는 리 대수에 의해 결정된다. 동형 리 대수를 사용하여 단순히 연결된 두 개의 리 군은 동형이다. (단순히 연결된 리 군에 대한 자세한 내용은 다음 부분 섹션을 참조하십시오.) 리의 세 번째 정리에 비추어, 유한차원 실수 리 대수의 동형 클래스와 다음의 동형 클래스 사이에는 일대일 대응이 있다고 말할 수 있다. 단순히 연결된 리 군.

단일 연결 리 군

리 군 $G$ 위의 모든 폐곡선이 $G$의 한 점으로 연속적으로 축소될 수 있으면 단일 연결이라 한다.. 이 개념은 단일 연결성을 가정하는 다음과 같은 결과 때문에 중요하다

정리 : $G$, $H$는 리 대수 ${\mathfrak {g}}$, ${\mathfrak {h}}$인 리 군들이고, $f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}$는 리 대수 준동형사상이라 하자. 만약에 $G$가 단일 연결이면 $\phi _{*}=f$인 유일한 리 군 준동형사상 $\phi :G\rightarrow H$이 있다. 여기서 $\phi _{*}$는 항등원에서 $\phi$의 미분사상이다.

리의 세 번째 정리는 모든 유한 차원 실수 리 대수는 리 군의 리 대수라고 말한다. 리의 세 번째 정리와 이전 결과에 따르면 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 단일 연결 리 군의 리 대수이다.

단일 연결 군의 예로는 다양체로서의 3구인 특수 단일 군 SU(2) 가 있다. 반면에 회전 군 SO(3) 은 단순히 연결되어 있지 않다. ( SO(3)의 위상 참조. ) SO(3)의 단일 연결 실패는 양자 역학에서 정수 스핀과 반정수 스핀의 구별과 밀접하게 연결된다. 단일 연결 리 군의 다른 예로는 특수 단일 군 SU(n), 스핀 군(회전 군의 이중 덮개) $n\geq 3$ 일 떄 Spin(n) 그리고 콤팩트 심플렉틱 군 Sp(n).

리 군이 단일 연결인지 여부를 판단하는 방법은 리 군의 기본 군에 대한 문서에서 논의된다.

지수 사상

리 대수의 지수 사상 $\mathrm {M} (n;\mathbb {C} )$ 일반 선형 군의 $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$에게 $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$ 는 행렬 $X$에 대해 일반적인 멱급수로 제공되는 행렬 지수로 정의된다.

$\exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots$

$G$가 $\mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )$의 닫힌 부분 군이면, 지수 사상은 $G$의 리 대수를 $G$ 안으로 보낸다. 따라서 모든 행렬 군에 대한 지수 사상이 있다. 모든 원소 $G$ 항등식에 충분히 가까운 것은 리 대수에서 행렬의 지수이다.

위의 정의는 사용하기 쉽지만, 행렬군이 아닌 리군에 대해서는 정의되지 않고, 리군의 지수 사상이 행렬군으로서의 표현에 의존하지 않는지 불분명하다. 다음과 같이 모든 리 군에 대해 작동하는 지수 사상의 보다 추상적인 정의를 사용하여 두 문제를 모두 해결할 수 있다.

$G$의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 각 벡터 $X$에 대해(즉, 접공간은 $G$의 항등원에서) $c'(0)=X$인 유일한 단일 매개변수 부분 군 $c:\mathbb {R} \rightarrow G$이 있음을 증명한다. 단일 매개변수 부분 군은 간단히 말해서 다음을 의미한다. $c$는 모든 $s$, $t$에 대해, $c(s+t)=c(s)c(t)\$인 $G$로 가는 매끄러운 사상이다. 오른쪽의 연산은 군 $G$의 연산이다. 지수 함수에 유효한 공식과 이 공식의 형식적 유사성은 정의$\exp(X)=c(1).\$를 정당화한다. 이것을 지수 사상이라고 하며 리 대수 ${\mathfrak {g}}$를 리 군 $G$에 사상한다. 이는 $0\in {\mathfrak {g}}$의 이웃과 $e\in G$의 이웃 사이에 미분동형사상을 제공한다. 이 지수 사상은 실수(왜냐하면 $\mathbb {R}$은 양의 실수의 곱셈으로 구성된 리 군 $\mathbb {R} ^{*}$의 리 대수이다.) 복소수(왜냐하면 $\mathbb {C}$는 0이 아닌 복소수들의 곱셈으로 구성된 리 군 $\mathbb {C} ^{*}$의 리 대수이다) 행렬(왜냐하면 보통의 교환자가 주어진 $M(n,\mathbb {R} )$은 모든 가역 행렬들의 리 군 $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$의 리 대수이기 때문이다.)에 대한 지수 함수를 일반화한 것이다.

지수 사상은 $e$의 어떤 이웃 $N$에서는 전사이기 때문에 군 $G$의 리 대수의 원소를 무한소 생성원이라 부르는 것이 일반적이다. $N$에 의해 생성된 $G$의 부분 군은 $G$의 항등 연결 성분이다.

베이커-켐벨-하우스도르프 공식으로 인해 지수 사상과 리 대수는 모든 연결 리 군의 국소 군 구조를 결정한다. $X,Y\in U$에 대해$\exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),$인 $0\in {\mathfrak {g}}$의 이웃 $U$이 존재한다. 여기서 생략된 항들은 알려져 있으며 4개 이상의 원소로 구성된 리 괄호를 포함한다. $X$와 $Y$가 교환하면, 이 공식은 익숙한 지수 법칙$\exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)$으로 축소된다.

지수 사상은 리 군 준동형사상과 관련된다. 즉, 만약 $\phi :G\to H$ 리 군 준동형사상이며 $\phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$는 해당 리 대수에 대한 유도된 사상이면, 모든 $x\in {\mathfrak {g}}$에 대해

$\phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).\,$ 즉, 다음 그림은 가환이다.

(간단히 말하면, exp는 Lie라는 함자에서 리 군의 범주에 있는 항등 함자로의 자연 변환이다.)

리 대수에서 리 군으로의 지수 사상은 군이 연결이라도 항상 전사는 아니다(비록 콤팩트하거나 멱영 연결 군의 경우 리 군에 전사되지만). 예를 들어, SL(2, R)의 지수 사상은 전사가 아니다. 또한 $C^{\infty }$프레셰 공간에서 만들어진 무한 차원 리 군의 경우 $0\in {\mathfrak {g}}$의 이웃을 아무리 작게 잡아도 지수 사상은 전사도 아니고 단사도 아니다(아래 참조).

리 부분 군

리 군의 $G$의 리 부분 군 $H$은 $G$의 부분 집합인 리 군이다. 그리고 $H$에서 $G$로 가는 포함 사상은 단사 몰입 군 준동형사상이다. 카르탕의 정리에 따르면, $G$의 닫힌 부분군은 $G$의 매장된 리 부분 군으로 만드는 유일한 매끄러운 구조를 인정한다. 즉, 포함 사상이 매끄러운 매장이 되는 리 부분 군이다.

닫히지 않은 부분 군의 예는 많다. 예를 들어 $G$가 2차원 이상의 토러스이고, $H$를 무리수 기울기의 단일 매개변수 부분 군, 즉 $G$에서 감는 부분 군이라 하자. 그러면 $\mathrm {im} (\varphi )=H$인 리 군 준동형사상 $\varphi :\mathbb {R} \to G$이 있다. $H$의 폐포는 $G$의 부분 토러스가 된다.

지수 사상은 연결 리 군 $G$의 연결 리 부분 군과 $G$의 리 대수의 부분 대수 사이에 일대일 대응을 제공한다. 일반적으로 부분 대수에 해당하는 부분 군은 닫힌 부분 군이 아니다. 어떤 부분 대수들이 닫힌 부분 군에 대응하는지에 대한 오직 $G$의 구조에만 근거한 판별법은 없다.

표현

리 군 연구의 중요한 측면 중 하나는 리 군의 표현이다. 리 군의 표현은 리 군과 준동형인 일반 선형군의 부분군으로 리 군을 나타내는 것이다.

물리학에서 리 군은 종종 물리적 시스템의 대칭을 인코딩한다. 시스템 해석을 돕기 위해 이러한 대칭성을 활용하는 방법은 종종 표현론을 통해서이다. 예를 들어, 양자역학에서 시간에 독립적인 슈뢰딩거 방정식 ${\hat {H}}\psi =E\psi$을 생각해보자. 문제의 시스템에 회전 군 SO(3)이 대칭으로 있다고 가정한다. 이는 해밀턴 연산자 ${\hat {H}}$가 파동 함수 $\psi$에 대한 SO(3)의 작용으로 교환함을 뜻한다. (이러한 시스템의 한 가지 중요한 예는 단일 구형 궤도를 갖는 수소 원자이다.) 이 가정이 반드시 해 $\psi$가 회전 불변 함수임을 의미하지는 않는다. 오히려 ${\hat {H}}\psi =E\psi$의 해공간이 회전 불변임을 의미한다(각 고정 값에 대해 $E$). 따라서 이 공간은 SO(3)의 표현을 구성한다. 이러한 표현은 분류되었으며 분류를 통해 문제가 실질적으로 단순화되어 본질적으로 3차원 편미분 방정식을 1차원 상미분 방정식으로 변환된다.

연결 콤팩트 리 군 K (방금 언급한 SO(3)의 경우 포함)의 경우는 특히 다루기 쉽다. 이 경우 K의 모든 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 분해된다. 기약 표현은 헤르만 바일에 의해 분류되었다. 분류는 표현의 "가장 높은 가중치"에 따라 이루어진다. 분류는 반단순 리 대수 표현의 분류와 밀접한 관련이 있다.

임의의 리 군(반드시 콤팩트할 필요는 없음)의 단일 표현(일반적으로 무한 차원)을 연구할 수도 있다. 예를 들어, SL(2,R) 군의 표현과 푸앵카레 군의 표현 에 대해 상대적으로 간단하고 명시적인 설명을 제공할 수 있다.

분류

리 군은 매끄럽게 변화하는 대칭들의 족으로 볼 수 있다. 대칭의 예로는 축을 중심으로 한 회전이 있다. 이해해야 할 것은 '작은' 변환(예: 인근 변환을 연결하는 작은 각도를 통한 회전)의 특성이다. 이 구조를 포착하는 수학적 대상을 리 대수라고 한다( 리 자신은 이를 "무한소 군"이라고 불렀다). 리 군은 매끄러운 다양체이므로 각 점에 접공간이 있기 때문에 정의할 수 있다.

임의의 콤팩트 리 군의 리 대수는 아벨 리 대수와 몇 가지 간단한 리의 직합으로 분해될 수 있다. 아벨 리 대수의 구조는 수학적으로 흥미롭지 않다(리 괄호가 동일하게 0이기 때문이다). 관심은 간단한 요약에 있다. 따라서 질문이 생깁니다: 콤팩트 군의 간단한 리 대수 는 무엇인가? 그들은 대부분 유클리드 공간의 대칭 측면에서 간단한 설명을 갖는 "고전적인 리 대수"인 A_n, B_n, C_n 및 D_n의 4개의 무한족에 속한다는 것이 밝혀졌다. 그러나 이러한 족들 중 어느 것에도 속하지 않는 "예외적인 리 대수"는 5개뿐이다. E₈은 이들 중 가장 크다.

리 군은 대수적 특성( 단순, 반단순, 해결 가능, 멱영, 아벨 ), 연결성 ( 연결 또는 단일 연결 ) 및 콤팩트성에 따라 분류된다.

첫 번째 핵심 결과는 레비 분해이다. 이는 단순히 연결된 모든 리 군이 가해 정규 부분 군과 반단순 부분 군의 반직접 곱임을 나타낸다.

• 연결된 콤팩트 리 군은 모두 알려져 있다. 이는 원 군 S¹ 및 단순 콤팩트 리 군(연결된 딘킨 그림에 해당) 복사본의 곱의 유한 중심 몫이다.
• 모든 단일 연결 가해 리 군은 어떤 랭크의 가역 상 삼각 행렬 군의 닫힌 부분 군과 동형이며 이러한 군의 모든 유한 차원 기약 표현은 1차원이다. 가해 군은 몇 가지 작은 차원을 제외하고 분류하기에는 너무 지저분하다.
• 단일 연결 멱영 리 군은 일부 랭크의 대각선에 1이 있는 가역 상 삼각 행렬 군의 닫힌 부분 군과 동형이며 이러한 군의 모든 유한 차원 기약 표현은 1차원이다. 가해 군과 마찬가지로, 멱영 군은 몇 가지 작은 차원을 제외하고 분류하기에는 너무 지저분하다.
• 단순 리 군은 일반적 군론에서처럼 단순 군으로 정의되기도 하고, 단순 리 대수를 가진 연결 리 군으로 정의되기도 한다. 예를 들어, SL(2, R)은 두 번째 정의에 따르면 간단하지만 첫 번째 정의에 따르면 간단하지 않다. 그것들은 모두 분류 되었다(두 정의 모두에 대해).
• 반단순 리 군은 리 대수가 단순 리 대수들의 곱인 리 군이다. 이는 단순한 리 군 곱의 중심 확대이다.

리 군의 항등 연결 성분은 열린 정규 부분 군이고 몫 군은 이산 군이다. 연결 리 군의 보편 덮개는 단일 연결 리 군이고, 반대로 모든 연결 리 군은 중심의 개별 일반 부분 군에 의해 단일 연결 리 군의 몫이다. 모든 리 군 G는 다음과 같이 표준적인 방식으로 이산, 단순 및 아벨 군으로 분해될 수 있다.

항등 연결 성분 G_con

가장 큰 연결 가해 정규 부분 군 G _sol

가장 큰 연결 멱영 정규 부분 군 G _nil

그래서 우리는 일련의 정규 부분 군을 갖게 된다.

1 ⊆ G _nil ⊆ G _sol ⊆ G _con ⊆ G .

그러면,

G/G_con은 이산군이다.

G _con/G _sol은 단일 연결 리 군들 곱의 중심 확대이다.

G _sol / G _nil은 아벨군이다. 연결 아벨 리 군은 R의 복사본과 원군 S ¹의 곱과 동형이다.

G _nil /1은 멱영이므로 그것의 오름차순 중심열은 모든 몫이 아벨군이다.

이는 리 군에 대한 일부 문제(예: 유니터리 표현 찾기)를 연결된 단순 군 및 더 작은 차원의 멱영 가해 부분 군에 대한 동일한 문제로 줄이는 데 사용할 수 있다.

• 리 군의 미분동형사상 군은 리 군에 추이적으로 작용한다.
• 모든 리 군은 평행화 가능하며 따라서 유향 다양체이다(접다발과 항등식에 접공간이 있는 자체 곱 사이에 다발 동형이 있음)

무한 차원 리 군

리 군은 유한 차원으로 정의되는 경우가 많지만, 무한 차원이라는 점을 제외하면 리 군과 유사한 군이 많다. 무한 차원 리 군을 정의하는 가장 간단한 방법은 이를 국소적으로 바나흐 공간(유한 차원의 경우 유클리드 공간 과 반대)이도록 하는 것이다. 이 경우 기본 이론의 대부분은 유한 차원 리의 이론과 유사한다. 여러 떼. 그러나 무한 차원 리 군의 많은 자연적 예가 바나흐 다양체가 아니기 때문에 이는 많은 응용 분야에 적합하지 않다. 대신 보다 일반적인 국소 볼록 위상 벡터 공간을 모델로 한 리 군을 정의해야 한다. 이 경우 리 대수와 리 군 사이의 관계는 다소 미묘해지고 유한차원 리 군에 대한 여러 결과는 더 이상 유지되지 않는다.

무한 차원 군의 어떤 성질이 리 군의 접두사 리에 적합한 군인지에 대한 문헌들은 용어가 완전히 균일하지 않다. 리 대수 측면에서는 리 대수의 접두사 리 에 대한 자격 기준이 순전히 대수적이기 때문에 상황이 더 간단한다. 예를 들어, 무한 차원 리 대수학에는 해당 리 군이 있을 수도 있고 없을 수도 있다. 즉, 리 대수에 해당하는 군이 있지만 리 군이라고 하기에는 충분하지 않을 수도 있고, 군과 리 대수 사이의 연결이 충분하지 않을 수도 있다(예: 신원 근처에 있는 지수 사상). 보편적으로 정의되지 않는 것은 "충분히 좋은 것"이다.

연구된 몇 가지 예는 다음과 같다.

• 다양체의 미분동형사상 군. 원의 미분동형사상 군에 대해 꽤 많은 것이 알려져 있다. 그것의 리 대수는 (대략) 비트 대수이며, 그 중심 확대인 비라소로 대수 (이 사실의 유도에 대해서는 비트 대수에서 비라소로 대수 참조)는 2차원 등각장론의 대칭 대수이다. 더 큰 차원의 콤팩트 다양체의 미분동형사상 군은 일반 프레셰 리 군이다. 그들의 구조에 대해서는 알려진 바가 거의 없다.
• 시공간의 미분동형사상 군은 중력을 양자화 하려는 시도에서 때때로 나타난다.
• 다양체에서 유한 차원 리 군으로의 매끄러운 사상 군은 게이지 군 점별 곱셈 연산 포함)의 예이며 양자장론 및 도널드슨 이론에서 사용된다. 다양체가 원인 경우 이를 고리군이라고 하며 리 대수가 (다소) 카츠-무디 대수인 중심 확대를 갖는다.
• 무한 차원에서도 일반 선형 군, 직교 군 등과 비슷한 대상이 있다. 한 가지 중요한 측면은 이것이 더 단순한 위상학적 특성을 가질 수 있다는 것이다. 예를 들어 Kuiper의 정리 참조. 예를 들어 M 이론에서는 N이 무한해지면 10차원 SU(N) 게이지 이론이 11차원 이론이 된다.

같이보기

• Adjoint representation of a Lie group
• Haar measure
• Homogeneous space
• List of Lie group topics
• Representations of Lie groups
• Symmetry in quantum mechanics
• Lie point symmetry, about the application of Lie groups to the study of differential equations.

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