도널드슨 불변량

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위상수학에서, 도널드슨 불변량(Donaldson不變量, 영어: Donaldson invariant)은 4차원 매끄러운 다양체불변량의 하나로, 게이지 이론순간자 모듈라이 공간의 성질을 나타낸다.[1][2][3][4][5][6][7] 도널드슨 불변량은 더 계산하기 쉬운 자이베르그-위튼 불변량과 동치인 것으로 추측된다. 도널드슨 불변량을 연구하는 위상수학의 분야를 도널드슨 이론(Donaldson理論, 영어: Donaldson theory)이라고 한다.

정의[편집]

도널드슨 불변량은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체 의 불변량이며, 대수적 위상수학 또는 초대칭 위상 양자장론을 통해 정의할 수 있다.

수학적 정의[편집]

푸앵카레 쌍대성합곱을 사용해 2차 코호몰로지 위에 다음과 같은 교차 형식(영어: intersection form)을 정의할 수 있다.

여기서 기본류다. 이 형식의 양의 고윳값의 수를 , 음의 고윳값의 수를 이라고 하자. 물론

의 2차 베티 수이다. 앞으로, 이라고 가정하자.

에 임의의 리만 계량 SU(2) 벡터다발 을 부여하자. 이 경우, 의 SU(2) 양-밀스 순간자들의 모듈라이 공간 를 생각할 수 있다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이루고, 그 차원은 다음과 같다.[5]:(2), (3)

으로 주어진다. (만약 이 수가 음수라면 공집합이다.) 여기서 의 2차 천 수이고, 베티 수이다. (게이지 군이 SU(2)이므로, 1차 천 특성류는 항상 0이다.)

위에 존재하는 모든 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈라이 공간이라고 하자. 이는 무한 차원 공간이다. 이 경우, 전자는 후자의 자연스러운 부분공간을 이룬다.

는 물론 리만 계량 에 의존하지만, 이라면 호몰로지류 에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 따라서

를 정의할 수 있다. 이는 리만 계량에 의존하지 않지만, 의 미분 구조에 의존한다. 즉, 이는 위상동형(위상다양체로서 동형)이지만 미분동형(매끄러운 다양체로서 동형)이지 않은 다양체들을 구분할 수 있다.

스펙트럼 열을 사용하여, 다음과 같은 군 준동형을 정의할 수 있다.

은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체라고 가정하였으므로, 의 (유리수 계수) 호몰로지는 다음과 같다.

여기서 는 임의로 잡은 기저다. 그렇다면 다음을 보일 수 있다.

  • 코호몰로지에 의하여 다항식환 와 표준적(canonical)으로 동형이다. 여기서 에 대응하는 생성원이다.

이제, 도널드슨 다항식(Donaldson多項式, 영어: Donaldson polynomial) 은 다음과 같은 사상이다.

물리학적 정의[편집]

4차원 다양체 의 도널드슨 다항식 불변량은 위에 존재하는 초대칭 게이지 이론상관 함수로 정의할 수 있다.

위에 임의의 리만 계량을 부여하고, 그 위에 게이지 군이 콤팩트 반단순 리 군 초대칭 양-밀스 이론을 생각하자. 이 이론은 로런츠 대칭R대칭을 갖는데, 로런츠 군

는 4차원 스핀 군이고, R대칭군은 SU(2)R이다. 이제 새 로런츠 부분군 의 대각 성분으로 정의하여, 위상 뒤틀림(영어: topological twist)을 가한다. 그렇다면 이론의 장들은 다음과 같다.

기호 설명 뒤틀기 전 군 표현 SU(2)left×SU(2)right×SU(2)R×U(1)R 뒤튼 뒤 군 표현 SU(2)left×SU(2)right×U(1)R 뒤튼 뒤 설명
왼쪽 초전하 (½, 0, ½)−1 (½, ½)−1
오른쪽 초전하 (0, ½, ½)+1 (0,0)+1 BRST 연산자
(0, 1)+1
게이지 보손 (½, ½, 0)0 (½,½)0 게이지 보손
왼손 게이지노 (½, 0, ½)+1 (½,½)+1 유령
오른손 게이지노 (0, ½, ½)−1 (0,1)−1 반유령 ( 제약에 대응)
(0,0)−1 반유령
스게이지노(영어: sgaugino) (0, 0, 0)+2 (0,0)+2 (게이지 변환 매개변수)
반스게이지노(영어: antisgaugino) (0, 0, 0)−2 (0,0)−2 유령

따라서, 뒤튼 뒤에는 두 개의 스칼라장과 두 개의 벡터장만이 존재한다. 이 경우, , 에 대한 초다중항을 이룬다. 제약에 대응하며, 는 게이지 변환의 매개변수에 대응한다.

이제, 초대칭 연산자 BRST 대칭으로 생각하여, 모든 관측가능량을 에 의한 코호몰로지에 닫혀 있게 한다. 그렇다면 이 이론은 위튼형 위상 양자장론을 이룬다.

이제, 다음과 같은 게이지 불변, -닫힌 연산자를 생각하자.

이제 다음과 같은 일련의 연산자들을 정의할 수 있다.

코호몰로지류이다. 따라서, 임의의 호몰로지류 들에 대하여, 다음과 같은 상관 함수를 정의할 수 있다.

이 경우, 는 CP 위반항이므로,

는 단순히 순간자수(게이지 주다발의 2차 천 특성류)이다. 따라서 의 삽입은 상관 함수를 특별히 변화시키지 않는다. 2차 호몰로지 류 및 0차 호몰로지 류 를 사용하여, 상관 함수

를 정의할 수 있다. 이를 도널드슨 다항식이라고 하며, 이는 위상수학으로 정의한 도널드슨 다항식과 일치함을 보일 수 있다.

크론하이머-므로카 기본류[편집]

게이지 군 SU(2)일 경우를 생각하자. 4차원 매끄러운 다양체 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 단순형 다양체(영어: manifold of simple type)라고 하자.

여기서 이며, 를 차수 4, 를 차수 2로 하여 센 다항식의 차수이다.

이 경우, 도널드슨 불변량은 다음과 같은 생성 함수로 완전히 결정된다.

이 생성 함수는 다음과 같은 간단한 형태로 나타내어진다.

여기서 인 2차 코호몰로지 원소들을 크론하이머-므로카 기본류(영어: Kronheimer–Mrowka basic class)라고 하며, 이러한 기본류들의 수는 유한하다. 이 들은 자이베르그-위튼 불변량과 같다고 추측된다.

역사[편집]

사이먼 도널드슨이 1983년에 도입하였다.[8] 이후 에드워드 위튼이 1994년에 이를 초대칭 게이지 이론위상 양자장론으로 정의할 수 있음을 보였다.[9]

피터 크론하이머와 토머스 므로카(영어: Thomasz S. Mrowka)가 1994년에 도널드슨 불변량을 크론하이머-므로카 기본류에 대한 합으로 나타낼 수 있음을 보였다.[10][11] 같은 해에 에드워드 위튼자이베르그-위튼 이론을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이들의 크론하이머-므로카 기본류와의 관계를 제시하였다.[12][13]

참고 문헌[편집]

  1. Donaldson, Simon K.; Kronheimer, P. B. (1997년 8월 28일). 《The geometry of four-manifolds》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850269-2. 
  2. Freed, Daniel S.; Uhlenbeck, Karen K. (1991). 《Instantons and four-manifolds》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 1 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-9703-8. ISBN 978-1-4613-9705-2. ISSN 0940-4740. Zbl 0559.57001. 
  3. Scorpan, Alexandru (2005). 《The wild world of 4-manifolds》 (영어). Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3749-8. Zbl 1075.57001. 
  4. Dijkgraaf, Robbert (1996년 2월). “Lectures on four-manifolds and topological gauge theories”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 (영어) 45 (2–3): 29–45. doi:10.1016/0920-5632(95)00627-3. ISSN 0920-5632. Zbl 0957.57504. 
  5. Iga, Kevin (2002년 12월 10일). “What do topologists want from Seiberg–Witten theory?”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 17 (30): 4463–4514. arXiv:hep-th/0207271. Bibcode:2002IJMPA..17.4463I. doi:10.1142/S0217751X0201217X. ISSN 0217-751X. MR 1941517. Zbl 1038.81057. 
  6. Kotschick, D. (1995년 3월). “Gauge theory is dead!—long live gauge theory!” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 42 (3): 335–338. ISSN 0002-9920. Zbl 0816.53047. 
  7. Dijkgraaf, Robbert (1996년 2월). “Lectures on four-manifolds and topological gauge theories”. 《Nuclear Physics B - Proceedings Supplements》 (영어) 45 (2–3): 29–45. doi:10.1016/0920-5632(95)00627-3. 
  8. Donaldson, Simon K. (1983). “An application of gauge theory to four dimensional topology”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 18 (2): 279–315. ISSN 0022-040X. MR 710056. Zbl 0507.57010. 
  9. Witten, Edward (1994년 10월). “Supersymmetric Yang–Mills theory on a four-manifold”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 35 (10): 5101–5135. arXiv:hep-th/9403195. Bibcode:1994JMP....35.5101W. doi:10.1063/1.530745. ISSN 0022-2488. 
  10. Kronheimer, P. B.; Mrowka, Tomasz S. (1994년 4월). “Recurrence relations and asymptotics for four-manifold invariants”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 30 (2): 215–221. doi:10.1090/S0273-0979-1994-00492-6. ISSN 0273-0979. MR 1246469. 
  11. Kronheimer, P. B.; Mrowka, Tomasz S. (1995). “Embedded surfaces and the structure of Donaldson’s polynomial invariants” (PDF). 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 41 (3): 573–734. ISSN 0022-040X. MR 1338483. Zbl 0842.57022. 
  12. Witten, Edward (1994). “Monopoles and Four-Manifolds”. 《Mathematical Research Letters》 (영어) 1 (6): 769-796. arXiv:hep-th/9411102. doi:10.4310/MRL.1994.v1.n6.a13. ISSN 1073-2780. 
  13. Moore, Gregory; Witten, Edward (1998). “Integration over the u-plane in Donaldson theory”. 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) 1 (2): 298-387. arXiv:hep-th/9709193. Bibcode:1997hep.th....9193M. ISSN 1095-0761. Zbl 0899.57021. 

외부 링크[편집]