위상 양자장론

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물리학수학에서, 위상 양자장론(位相量子場論, 영어: topological quantum field theory, 약자 TQFT)은 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론이다. 입자 물리학끈 이론, 응집물질물리학대수적 위상수학, 매듭 이론에서 쓰인다.

정의[편집]

대부분의 양자장론은 그 관측가능량(상관 함수 등)이 시공간계량 텐서(중력장)에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 위상 양자장론이라고 한다.

오늘날 알려진 위상 양자장론은 시바르츠형(Schwarz-type)과 코호몰로지형(영어: cohomological, 또는 위튼형 Witten-type)) 크게 두 종류가 있다.

시바르츠형 위상 양자장론[편집]

시바르츠형 위상 양자장론계량 텐서를 포함하지 않는 작용으로 나타내어진다.[1] 차원 시공간에서, 미분형식을 적분하려면 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 미분 형식을 장으로 하는 이론을 적을 수 있다. 이런 모형에는 천-사이먼스 이론BF 모형 등이 있다.

알베르트 시바르츠가 1977년에 최초의 시바르츠형 위상 양자장론을 발표하였고,[2] 다음과 같은 꼴이다.

.

여기서 는 1차 미분형식이고, 은 3차원 시공간이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다.

코호몰로지형 위상 양자장론[편집]

코호몰로지형 위상 양자장론 또는 위튼형 위상 양자장론은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 위상 뒤틂(topological twist)을 가하여 만든다.[3]

에드워드 위튼이 1988년 최초의 예를 발표하였다.[4] 위튼은 4차원 초대칭 게이지 이론에 위상 뒤틂을 가하여, 이 이론이 도널드슨 불변량을 재현함을 보였다.

시바르츠형 위상 양자장론은 특성류를 기반으로 하여, 일반적인 (위상) 다양체 위에 정의할 수 있지만, 코호몰로지형 위상 양자장론은 그 매끄러운 다양체 구조를 필요로 한다. 즉, 서로 위상동형이지만 다른 미분 구조를 가진 두 매끄러운 다양체를 코호몰로지형 위상 양자장론으로 구별할 수 있다.

d차원 코호몰로지형 위상 양자장론푸앵카레 대칭의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 와, 다음과 같은 두 연산자 로 구성된다.[5]:63–66

여기서 는 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 이 두 연산자 는 스칼라/벡터 "초대칭"으로 생각할 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스칼라나 벡터가 아니라 스핀 ½의 스피너이다.) 또한, 진공 상태 에 대하여 불변이라고 하자 (즉, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다).

그렇다면 BRST 연산자로 생각하여, 물리적 힐베르트 공간 에 대한 코호몰로지로 정의한다.

또한, 위의 연산자들에 대해서도 에 대한 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우, 관측 가능량들의 공간은 에 대한 연산자 코호몰로지이다. 즉, 물리적인 관측 가능량은 에 대하여 닫혀 있다.

주어진 물리적 스칼라 연산자 에 대하여, 를 가해 다음과 같은 연산자들을 추가로 정의할 수 있다.

미분형식을 이루며, 다음과 같은 내림 방정식(영어: descent equation)을 만족시킨다. 이는 야코비 항등식으로부터 유도할 수 있다.

따라서 의 경우, 에 대하여 닫혀 있지 않고, 관측 가능량을 이루지 않는다. 다만, 시공간 의 임의의 호몰로지 에 대하여 모자곱을 취하면 이는 관측 가능량을 이루게 된다. 즉,

은 관측 가능량이다. 따라서, 다음과 같은 꼴의 상관 함수들을 계산할 수 있다.

예를 들어, 도널드슨 불변량을 이러한 형태의 상관 함수로 나타낼 수 있다.

야티야 공리계[편집]

마이클 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위하여 다음과 같은 공리계를 제안하였다.[6] 이에 따라, 차원 위상 양자장론은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 모든 차원 콤팩트 (경계가 없는) 유향 다양체 에 대하여, 복소[7] 벡터 공간상태 공간
  • 모든 차원 (경계를 가진) 유향 다양체 에 대하여, 경로 적분

이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다.

  1. (함자성)
    1. (공간 대칭의 작용) 임의의 방향을 보존시키는 미분 동형 에 대하여, 벡터 공간의 동형사상 가 존재한다.
    2. (시공간 대칭의 작용) 또한, 임의의 방향 및 경계를 보존시키는 미분 동형 에 대하여, 이다.
  2. (대합성) 에 반대 방향을 준 유향 다양체라고 한다면, 이다. 여기서 쌍대 공간이다.
  3. (승법성)
    1. (상태 공간의 승법성)
    2. (짜깁기 법칙 영어: sewing law) , 이라면, 으로 이어붙여 , 를 만들 수 있다. 이 경우, 이다. 여기서 의 내적이다.
  4. (비자명성)
    1. (상태 공간의 비자명성) 이다.
    2. (경로 적분의 비자명성) 이다.
    3. (시간 변화) 이다. 여기서 은 닫힌 구간이고, 항등함수다.

일반적인 양자역학과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 에는 내적이 일반적으로 주어져 있지 않다. 일반적으로, 양자역학에서는 관측가능량해밀토니언을 정의하기 위하여 에르미트 연산자의 개념이 필요하고, 이를 정의하려면 상태공간과 그 쌍대공간의 동형사상 이 필요하다. 그러나 위상 양자장론에서는 해밀토니언이 항상 0이므로 이 개념이 필요없다.

다양한 차원에서의 위상 뒤틂[편집]

초대칭 이론의 위상 뒤틂은 2차원~4차원에서 가능하다.

2차원 𝒩=(2,2) 위상 뒤틂[편집]

2차원 초등각 장론R대칭은 U(1)2이며, 두 개의 위상 뒤틂이 존재한다. 이를 A-뒤틂(영어: A-twist) 및 B-뒤틂(영어: B-twist)라고 하며, 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형을 이렇게 뒤틀면 두 개의 위상 끈 이론을 얻는다. 이들 사이에는 거울 대칭이라는 관계가 존재한다.

4차원 𝒩=2 위상 뒤틂[편집]

4차원 초대칭은 SU(2) R대칭을 가지므로, 유일한 위상 뒤틂을 갖는다. SU(2) 초대칭 게이지 이론을 뒤틀면 도널드슨 이론을 얻는다.

4차원 𝒩=4 위상 뒤틂[편집]

코호몰로지형 위상 양자장론의 대표적인 예는 위상 초대칭 게이지 이론의 위상 뒤틂이다. 양-밀스 이론의 대칭군은

이다. 여기서 SU(2)l×SU(2)r=Spin(4)는 (유클리드) 로런츠 대칭이며, SU(4)는 R대칭이다. 초전하 는 표현

를 따른다. (SU(2) 표현은 스핀 으로 표기하였고, 다른 군의 표현은 그 차원을 굵은 글씨로 표기하였다.) 따라서, 위상 뒤틂은 군 준동형

에 의하여 정의되며, 이 가운데 초전하 의 성분 가운데 적어도 하나가 새 로런츠 군에 대하여 스칼라가 되어야 한다. 이러한 위상 뒤틂은 3가지가 있으며, 다음과 같다.[8]:Table 6

이름 정의 성질 문헌
도널드슨-위튼 영어: Donaldson–Witten , 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음 자기 홀극. 이론을, 딸림표현의 물질을 갖는 이론으로 간주.
바파-위튼 영어: Vafa–Witten , 두 SO(3) 가운데 하나를 로런츠 SO(3)와 대각선으로 섞음 순간자 [9]
마커스 영어: Marcus 또는 카푸스틴-위튼 영어: Kapustin–Witten , 두 SU(2)의 대각 부분군을 로런츠 SU(2)와 대각선으로 섞음 기하 랭글랜즈 프로그램과 관계있음 [10][11]

바파-위튼 뒤틂 · 마커스 뒤틂은 간혹 각각 A-뒤틂B-뒤틂으로 불리기도 한다.[12]:§4.2

장들의 분해는 다음과 같다.

설명 뒤틀기 전 표현
SU(2)l×SU(2)r×SU(4)R
도널드슨-위튼 뒤틂
SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)F×U(1)U
바파-위튼 뒤틂
SU(2)l×SU(2)r′×SU(2)U
마커스 뒤틂
SU(2)l′×SU(2)r′×U(1)U
왼손 초전하 (½, 0, 4) (½, ½, 0)+1 ⊕ (½, 0, ½)−1 (½, ½, ½) (½, ½)+1 ⊕ (1, 0)−1 ⊕ (0, 0)−1
오른손 초전하 (0, ½, 4) (0, 1, 0)−1 ⊕ (0, 0, 0)−1 ⊕ (0, ½, ½)+1 (0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½) (½, ½)+1 ⊕ (0, 1)−1 ⊕ (0, 0)−1
게이지 보손 (½, ½, 1) (½, ½, 0)0 (½, ½, 0) (½, ½, 0)0
왼손 게이지노 (½, 0, 4) (½, ½, 0)+1 ⊕ (½, 0, ½)−1 (½, ½, ½) (½, ½)+1 ⊕ (1, 0)−1 ⊕ (0, 0)−1
오른손 게이지노 (0, ½, 4) (0, 1, 0)−1 ⊕ (0, 0, 0)−1 ⊕ (0, ½, ½)+1 (0, 1, ½) ⊕ (0, 0, ½) (½, ½)+1 ⊕ (0, 1)−1 ⊕ (0, 0)−1
스게이지노 (0, 0, 6) (0, ½, ½)0 ⊕ (0, 0, 0)±2 (복소 스칼라장) (0, 0, 1) ⊕ (0, 1, 0) (½, ½)0 (실수 벡터장) ⊕ (0, 0)±2 (복소 스칼라장)

도널드슨-위튼 뒤틂(영어: Donaldson–Witten twist)에서는 대칭을

으로 깬 뒤, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 군 와 섞어 얻는다. 이에 따라, 남은 맛깔 대칭, 는 유령수 대칭이 된다. 이 깨짐 아래, 의 표현들은 다음과 같이 깨진다.[10]:§1

바파-위튼 뒤틂(영어: Vafa–Witten twist) 또는 A-뒤틂(영어: A-twist)에서는 대칭군을 우선

로 깬 뒤, 두 SU(2) 성분 가운데 하나를 오른쪽 로런츠 군 와 섞는다. 따라서, 나머지 한 SU(2) 부분군은 SU(2) 유령수 대칭군 로 남게 된다. R대칭의 깨짐에 따라서, SU(4)의 표현들은 다음과 같은 표현으로 깨진다.

유령수 대칭이 SU(2) 단순군이므로, 바파-위튼 뒤틂에서는 (다른 뒤틂과 달리) 유령수가 변칙적이지 않다.

마커스 뒤틂(영어: Marcus twist) 또는 B-뒤틂(영어: B-twist)은 도널드슨-위튼 뒤틂에서 남아 있던 SU(2)F 맛깔 대칭을 왼쪽 로런츠 대칭 SU(2)l과 한 번 더 뒤틀어 얻는다.[10] 이에 따라 U(1)U 유령수 대칭만이 남게 된다.

3차원 𝒩=4 위상 뒤틂[편집]

3차원에서는 초대칭은 2개의 초전하를 갖고, R대칭이 된다. 이 경우, 위상 뒤틂을 위해서는 이어야 한다.

3차원 에서, R대칭은 이다. 3차원 에서, 벡터 초장 표현은 다음과 같다. (SU(2) 표현은 스핀으로 표현하였다.)

초장 대칭군 표현
초전하 (½, ½, ½)
벡터 초장 게이지 보손 (1, 0, 0)
게이지노 (½, ½, ½)
스게이지노 (0, 1, 0)
하이퍼 초장 페르미온 (½, ½, ½)
스칼라 (0, 0, 0) + (0, 0, 1)

따라서, 뒤튼 후의 로런츠 군 의 대각선 부분군으로 잡거나, 의 대각선 부분군으로 잡을 수 있다. 2차원 위상 끈 이론과 유사하게, 전자는 A-뒤틂(영어: A-twist), 후자는 B-뒤틂(영어: B-twist)이라고 한다.

초켈러 다양체 위의 3차원 시그마 모형의 경우, A-뒤틂은 카푸스틴-비아스 모형(영어: Kapustin–Vyas model),[13], B-뒤틂은 로잔스키-위튼 모형(영어: Rozansky–Witten model)[14] 이라고 한다. 3차원 초대칭 게이지 이론의 B-뒤틂은 블라우-톰프슨 모형(영어: Blau–Thompson model)이라고 한다.[12]:§4.3

3차원 𝒩=8 위상 뒤틂[편집]

3차원 이론의 위상 뒤틂은 총 4가지가 있다.[12]:§5.1

  • 하나는 4차원 이론의 바파-위튼 뒤틂 또는 마커스 뒤틂의 축소화이다. (이들은 축소화하면 서로 같아진다.) 뒤튼 뒤, 4개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
  • 하나는 4차원 이론의 도널드슨-위튼 뒤틂의 축소화이다. 뒤튼 뒤, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
  • 하나는 4개의 스칼라 초대칭을 갖는 뒤틂을 한 번 더 추가로 뒤틀어서 얻으며, 2개의 스칼라 초대칭을 갖는다.
  • 하나는 1개의 스칼라 초대칭을 갖는다.

참고 문헌[편집]

  1. Kaul, R. K.; T. R. Govindarajan, P. Ramadevi (2005). “Schwarz type topological quantum field theories” (영어). arXiv:hep-th/0504100. Bibcode:2005hep.th....4100K. 
  2. Schwarz, Albert (1978년 1월). “The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 2 (3): 247–252. Bibcode:1978LMaPh...2..247S. doi:10.1007/BF00406412. Zbl 0383.70017. 
  3. Witten, Edward (1991년 7월 10일). “Introduction to cohomological field theories”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 6 (16): 2775–2792. Bibcode:1991IJMPA...6.2775W. doi:10.1142/S0217751X91001350. ISSN 0217-751X. 
  4. Witten, Edward (1988). “Topological quantum field theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 117 (3): 353–386. Bibcode:1988CMaPh.117..353W. doi:10.1007/BF01223371. MR 953828. 
  5. Dijkgraaf, Robbert (1997년 3월). “Les Houches lectures on fields, strings and duality” (영어). arXiv:hep-th/9703136. Bibcode:1997hep.th....3136D. 
  6. Atiyah, Michael (1988년 1월). “Topological quantum field theories”. 《Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques》 (영어) 68 (1): 175–186. doi:10.1007/BF02698547. ISSN 0073-8301. MR 1001453. Zbl 0692.53053. 
  7. 일부 경우, 실수유한체에 대한 벡터 공간도 사용 가능하다.
  8. Gadde, A.; Gukov, S.; Putrov, P. “Fivebranes and 4-manifolds”. arXiv:1306.4320. 
  9. Vafa, Cumrun; Witten, Edward. “A Strong Coupling Test of S-Duality” (영어). arXiv:hep-th/9408074. 
  10. Marcus, Neil. “The other topological twisting of Yang–Mills” (영어). arXiv:hep-th/9506002.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 35) (도움말)
  11. Kapustin, Anton; Witten, Edward. “Electric–magnetic duality and the geometric Langlands program”. arXiv:hep-th/0604151. 
  12. Blau, Matthias; Thompson. “Aspects of topological gauge theories and D-branes” (영어). arXiv:hep-th/9612143.  |제목=에 지움 문자가 있음(위치 12) (도움말)
  13. Kapustin, Anton; Vyas, Ketan. “A-models in three and four dimensions” (영어). arXiv:1002.4241. 
  14. Rozansky, Lev; Witten, Edward. “Hyper-Kähler Geometry and Invariants of Three-Manifolds” (영어). arXiv:hep-th/9612216. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]