미분 형식

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미분기하학에서, 미분 형식(微分形式, 영어: differential form)은 매끄러운 다양체여접다발외승단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 , 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, 차원의 다양체에서는 -형식을 자연스럽게 적분할 수 있다.

정의[편집]

차원 매끄러운 다양체 위의 공변접다발 차원 벡터 다발이다. 여기에, 각 올에 대하여 외대수를 취하면 차원 벡터 다발

을 얻는다. 외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다.

위의 미분 형식의 매끄러운 단면이다. 차 미분 형식의 매끄러운 단면이다.

지표 표기법[편집]

미분 형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다. 차원 다양체에 국소적 좌표계 를 잡으면,

는 1차 미분 형식들의 기저를 이룬다. 따라서, 임의의 차 미분 형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)

이에 따라서, 예를 들어 리만 계량 에 의한 부피 형식은

이므로,

이 된다.

연산[편집]

미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

쐐기곱[편집]

미분 형식의 쐐기곱(영어: wedge product)은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 , 에 대하여,

  • (분배법칙)
  • (반대칭성)

성분으로 적으면 다음과 같다.

여기서 는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식 , 의 쐐기곱은

이다.

외미분[편집]

미분 형식의 외미분(外微分, 영어: exterior derivative)은

은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다.

  • 외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다.
  • 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉, 에 대하여, 이다.
  • 모든 0차 형식에 대해, 이다.
  • 임의의 , 에 대하여 이다.

성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의 차 미분 형식

에 대하여,

이다. 즉,

이다. 여기서 는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우

이고, 2차 형식의 경우

이다.

적분[편집]

차원 매끄러운 다양체 위에 방향차 미분 형식 가 주어졌다면, 적분

을 정의할 수 있다. 구체적으로, 의 좌표근방계 및 이에 종속되는 단위 분할 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김 으로서 각 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의 차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형

을 정의할 수 있다. 그렇다면

이다. 여기서 차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다.

내적[편집]

만약 차원 매끄러운 다양체 위에 (유사) 리만 계량 가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 내적 을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.

  • 서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다.
  • 내적은 쌍선형이다.
  • 임의의 개의 1차 형식 , 에 대하여,
이다.

즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)

이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.

.

호지 쌍대[편집]

차원 유향 (유사) 리만 다양체 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호지 쌍대 연산자를 정의할 수 있다.

이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.

성분으로 쓰면 다음과 같다.

예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는

이다.

역사[편집]

미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다.

응용[편집]

다변수 미적분학미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]