BF 모형

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이론물리학에서, BF 모형(영어: BF model)은 시바르츠형 위상 양자장론의 간단한 예이다. 게이지 이론의 매우 간단한 형태이다.

정의[편집]

Md차원 위상다양체이고, 그 위에 올이 리 군 G주다발 P\twoheadrightarrow M이라고 하자. 또한, G리 대수 \mathfrak g 위에 비퇴화 이중선형형식 K\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathbb R이 존재한다고 하자. (보통 킬링 형식을 사용한다.)

BF 모형은 다음과 같은 두 장으로 구성되는 양자장론이다.

  • AP의 접속(connection)이다. 즉, 게이지 보손에 해당한다.
  • B\in\Omega^2(M;\mathfrak g)M 위에 정의된, 리 대수 \mathfrak g에 값을 갖는 (d-2)미분형식이다.

두 장 모두 게이지 대칭을 가진다.

A\mapsto A+d\alpha
B\mapsto B+d\Lambda

즉, B미분형식 전기역학에서의 퍼텐셜과 유사한 게이지 대칭을 가진다.

BF 모형의 작용은 다음과 같다.

S=\int_MK(B\wedge F)

여기서 F=d_AAA곡률 (장세기)이다.

이 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

  • F=0
  • d_AB=0

따라서, 고전적으로 A는 평탄한 접속(flat connection)이고, B닫힌 미분형식이다.

양-밀스 이론과의 관계[편집]

BF 모형은 부피가 0인 다양체 위의 양-밀스 이론으로 생각할 수 있다.[1]

양-밀스 이론의 작용은

S_\text{YM}=\int_M\frac1{g^2}K(F\wedge*F)

이다. 여기서 g^2결합 상수이고, *호지 쌍대이다. 여기에 보조장 B를 도입하자. 그렇다면, 양-밀스 이론은 다음과 같이 동등하게 나타낼 수 있다.

S_\text{YM}'=\int_M(K(B\wedge F)+\frac12g^2K(B\wedge*B))

이제, 결합 상수를 0으로 보내자.

g^2\to0

그렇다면

\lim_{g^2\to0}S_\text{YM}'=\int_MK(B\wedge F)=S_{BF}

가 되어, BF 모형이 됨을 알 수 있다.

호지 쌍대 *를 대신 부피 형식 \omega와 내적

\langle X,Y\rangle\omega=K(X\wedge*Y)

로 쓰자. 그렇다면

S_\text{YM}'=\int_M(K(B\wedge F)+\frac12g^2\omega\langle B,B\rangle)

이 된다. 이는

\omega'=g^2\omega

에만 의존하게 된다. 이는 다양체 M의 "부피"

\operatorname{vol}(M)=\int_M\omega'=\int_Mg^2\omega

로 생각할 수 있다. 그렇다면 BF 모형의 극한은 \omega'로 측정한 부피가 0으로 가는 극한으로 생각할 수 있다.

초대칭 BF 모형[편집]

BF 모형에 초대칭을 추가하여 초대칭 BF 모형(영어: supersymmetric BF model)을 정의할 수 있다. 이 경우, 장들은 다음과 같다. 모든 장은 G딸림 표현을 따른다.

  • 게이지 초장 (A,\psi). 여기서 A는 U(1) 게이지 보손이며, \psi는 벡터 페르미온이다. 이 경우 QA=\psi이다.
  • 라그랑주 승수 초장 (\chi,B). 여기서 B(d-2)차 미분 형식인 보손이며, \chi 역시 (d-2)차 미분 형식인 페르미온이다. 이 경우 Q\chi=B이다.
  • 유령 초장 (\bar\phi,\eta). Q\bar\phi=\eta이며 Q\eta=[\bar\phi,\phi]이다.

이에 따라, 작용은 다음과 같다.[2]:§4.1

S=Q\int(\chi F+\bar\phi d*\psi)=\int \left(BF+(-1)^d\chi d\psi+\eta d*\psi+\bar\phi[\psi,*\psi]-\bar\phi d*d\phi\right)

초대칭이 없는 경우와 마찬가지로, 이 경우 이론은 M 위의 평탄 G-접속들의 모듈러스 공간의 특성을 계산한다.

만약 시공간이 3차원일 경우 (d=3), 이 이론은 추가로 \mathcal N_T=2 위상 초대칭을 갖는다.[3]:238[2]:§4.1 즉, 두 개의 스칼라 초전하(BRST 연산자)를 가지며, 이 둘을 섞는 SU(2) R대칭이 존재하며, 이 아래 (\chi,\psi)는 SU(2)의 2차원 기본 표현을 따른다. 이 이론은 3차원 \mathcal N=4 게이지 이론의 A-뒤틂과 같으며, 이는 도널드슨 이론을 3차원으로 축소화한 것과 같다.[2]:§4.3

참고 문헌[편집]

  1. Blau, Matthias; George Thompson (1993). “Lectures on 2d gauge theories: topological aspects and path integral techniques” (영어). arXiv:hep-th/9310144. Bibcode:1993dgtt.rept.....B. 
  2. Blau, Matthias; Thompson. “Aspects of N_T\ge2 topological gauge theories and D-branes” (영어). arXiv:hep-th/9612143. 
  3. Birmingham, Danny; Blau, Matthias; Rakowski, Mark; Thompson, George (1991년 12월). “Topological field theory” (영어). 《Physics Reports》 209 (4–5): 129-340. Bibcode:1991PhR...209..129B. doi:10.1016/0370-1573(91)90117-5. ISSN 0370-1573. 

바깥 고리[편집]