위상수학에서 도널드슨 불변량(Donaldson不變量, 영어: Donaldson invariant)은 4차원 매끄러운 다양체의 불변량의 하나로, 게이지 이론의 순간자 모듈라이 공간의 성질을 나타낸다.[1][2][3][4][5][6][7] 도널드슨 불변량은 더 계산하기 쉬운 자이베르그-위튼 불변량과 동치인 것으로 추측된다. 도널드슨 불변량을 연구하는 위상수학의 분야를 도널드슨 이론(Donaldson理論, 영어: Donaldson theory)이라고 한다.
도널드슨 불변량은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체
의 불변량이며, 대수적 위상수학 또는 초대칭 위상 양자장론을 통해 정의할 수 있다.
수학적 정의[편집]
푸앵카레 쌍대성과 합곱을 사용해 2차 코호몰로지
위에 다음과 같은 교차 형식(영어: intersection form)을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle I\colon \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Q} )\times \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {Q} )\to \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83961de477251a161561125c97bacc963afcac14)
![{\displaystyle I(\alpha ,\beta )=[M]\frown (\alpha \smile \beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22d65aefeb963f0886fe3086df53c112655dfe0b)
여기서
은
의 기본류다. 이 형식의 양의 고윳값의 수를
, 음의 고윳값의 수를
이라고 하자. 물론
![{\displaystyle b_{2}^{+}(M)+b_{2}^{-}(M)=b_{2}f(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a53b7e5900a6463591d6521cc93bbe2281355bf)
은
의 2차 베티 수이다. 앞으로,
이라고 가정하자.
에 임의의 리만 계량
와 SU(2) 벡터다발
을 부여하자. 이 경우,
의 SU(2) 양-밀스 순간자들의 모듈라이 공간
를 생각할 수 있다. 이는 일반적으로 오비폴드를 이루고, 그 차원은 다음과 같다.[5]:(2), (3)
![{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{E}={\begin{cases}-8c_{2}(E)-3(1-b_{1}(M)+b_{2}^{-}(M))&c_{2}(E)<0\\8c_{2}(E)-3(1-b_{1}(M)+b_{2}^{+}(M))&c_{2}(E)>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291daa6c8a4a85d4d6a86e05d66db452b7055329)
으로 주어진다. (만약 이 수가 음수라면
는 공집합이다.) 여기서
는
의 2차 천 수이고,
은
의
차 베티 수이다. (게이지 군이 SU(2)이므로, 1차 천 특성류는 항상 0이다.)
가
위에 존재하는 모든 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈라이 공간이라고 하자. 이는 무한 차원 공간이다. 이 경우, 전자는 후자의 자연스러운 부분공간을 이룬다.
![{\displaystyle {\mathcal {M}}_{E,g}\hookrightarrow {\mathcal {C}}_{E}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/255153cd4a2ca50e81ca2d0a2c8ee1398e8f6b0f)
는 물론 리만 계량
에 의존하지만,
이라면 호몰로지류
는
에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다. 따라서
![{\displaystyle [{\mathcal {M}}_{E}]\in \operatorname {H} _{\bullet }({\mathcal {C}}_{E})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195ececd3b1a84cf43e5dd9576cbe3f53035c61d)
를 정의할 수 있다. 이는 리만 계량에 의존하지 않지만,
의 미분 구조에 의존한다. 즉, 이는 위상동형(위상다양체로서 동형)이지만 미분동형(매끄러운 다양체로서 동형)이지 않은 다양체들을 구분할 수 있다.
스펙트럼 열을 사용하여, 다음과 같은 군 준동형을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \mu \colon \operatorname {H} _{k}(M;\mathbb {Q} )\to H^{4-k}({\mathcal {C}}_{E};\mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b13916882433471383fadeb8153b1090ccfeef)
은 4차원 연결 단일 연결 매끄러운 다양체라고 가정하였으므로,
의 (유리수 계수) 호몰로지는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {H} _{0}(M;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dea89829659092e68958214ffdf0e9da38deb9f)
![{\displaystyle \operatorname {H} _{1}(M;\mathbb {Q} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25f5b4481de4dc2d5ffa5622960563007a299f9)
![{\displaystyle \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{b_{2}}=\operatorname {span} \{\gamma _{1},\dots ,\gamma _{b_{2}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc44a89035c53cde91a7629f9bc55354c185f62)
![{\displaystyle \operatorname {H} _{3}(M;\mathbb {Q} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad71cc82b5af352ecc974eb41576033a07d1561)
![{\displaystyle \operatorname {H} _{4}(M;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d7a6a0e4612d518e474aa046b9a85cc6243b5b)
여기서
는 임의로 잡은
의 기저다. 그렇다면 다음을 보일 수 있다.
![{\displaystyle \mu (\operatorname {H} _{4}(M;\mathbb {Q} ))=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060f431a818feb7e0bb81f9111a2c82f4673ec05)
의 코호몰로지 환
는
에 의하여 다항식환
와 표준적(canonical)으로 동형이다. 여기서
는
에 대응하는 생성원이다.
이제, 도널드슨 다항식(Donaldson多項式, 영어: Donaldson polynomial)
은 다음과 같은 사상이다.
![{\displaystyle Q_{E}(p)=[{\mathcal {M}}_{E}]\frown p\left(\mu (x),\mu (\gamma _{1}),\dots ,\mu (\gamma _{b_{2}})\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/710453fb75dfa4b2b300541b2b64b998655aa87e)
물리학적 정의[편집]
4차원 다양체
의 도널드슨 다항식 불변량은
위에 존재하는
초대칭 게이지 이론의 상관 함수로 정의할 수 있다.
위에 임의의 리만 계량을 부여하고, 그 위에 게이지 군이 콤팩트 반단순 리 군
인
초대칭 양-밀스 이론을 생각하자. 이 이론은 로런츠 대칭과 R대칭을 갖는데, 로런츠 군
![{\displaystyle \operatorname {SU} (2)_{\text{left}}\times \operatorname {SU} (2)_{\text{right}}\cong \operatorname {Spin} (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe83ab5683285d3e711cde16794ad8c9c9cb6b46)
는 4차원 스핀 군이고,
R대칭군은 SU(2)R이다. 이제 새 로런츠 부분군
을
와
의 대각 성분으로 정의하여, 위상 뒤틀림(영어: topological twist)을 가한다. 그렇다면 이론의 장들은 다음과 같다.
기호 |
설명 |
뒤틀기 전 군 표현 SU(2)left×SU(2)right×SU(2)R×U(1)R |
뒤튼 뒤 군 표현 SU(2)left×SU(2)right×U(1)R |
뒤튼 뒤 설명
|
![{\displaystyle Q_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c68576946e605b1b13d141d6b20d591d5cccb5) |
왼쪽 초전하 |
(½, 0, ½)−1 |
(½, ½)−1 |
|
|
오른쪽 초전하
|
(0, ½, ½)+1 |
(0,0)+1 |
BRST 연산자
|
(0, 1)+1 |
|
![{\displaystyle A_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9277f5286335ab99c040c9c9151ab752d3bedc49) |
게이지 보손 |
(½, ½, 0)0 |
(½,½)0 |
게이지 보손
|
![{\displaystyle \psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e5789e5d9c8f7c79744f43ecaaf8ba42a8553a) |
왼손 게이지노 |
(½, 0, ½)+1 |
(½,½)+1 |
유령
|
|
오른손 게이지노
|
(0, ½, ½)−1 |
(0,1)−1 |
반유령 ( 제약에 대응)
|
(0,0)−1 |
반유령
|
![{\displaystyle \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4) |
스게이지노(영어: sgaugino) |
(0, 0, 0)+2 |
(0,0)+2 |
(게이지 변환 매개변수)
|
![{\displaystyle \phi ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a84bd45d960c6cb6ac361fca0bf84250794f0c8) |
반스게이지노(영어: antisgaugino) |
(0, 0, 0)−2 |
(0,0)−2 |
유령
|
따라서, 뒤튼 뒤에는 두 개의 스칼라장과 두 개의 벡터장만이 존재한다. 이 경우,
,
는
에 대한 초다중항을 이룬다.
는
제약에 대응하며,
는 게이지 변환의 매개변수에 대응한다.
이제, 초대칭 연산자
를 BRST 대칭으로 생각하여, 모든 관측가능량을
에 의한 코호몰로지에 닫혀 있게 한다. 그렇다면 이 이론은 위튼형 위상 양자장론을 이룬다.
이제, 다음과 같은 게이지 불변,
-닫힌 연산자를 생각하자.
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{0}={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\operatorname {tr} \phi ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1564eaf6ad5ffdde75e2b159446fbf817b2df80e)
이제 다음과 같은 일련의 연산자들을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle d{\mathcal {O}}_{0}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{1}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6338300de3adb2a06f50fefae1a3777874237718)
![{\displaystyle d{\mathcal {O}}_{1}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{2}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afceb0389d43eab947dd86b2c953c0bc6692a091)
![{\displaystyle d{\mathcal {O}}_{2}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{3}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea0b1879b8a1185b1bea5293ceacbe2bde82ac97)
![{\displaystyle d{\mathcal {O}}_{3}=i\{Q,{\mathcal {O}}_{4}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f63dadb22b50805d2fa5e90f2ab3f92cc78b1cd)
![{\displaystyle d{\mathcal {O}}_{4}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a0ed3dd43616a670c34976e742dd555ea4bbe9)
는
차 코호몰로지류이다. 따라서, 임의의
차 호몰로지류
들에 대하여, 다음과 같은 상관 함수를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \left\langle \int _{\Sigma _{1}}{\mathcal {O}}_{k_{1}}\cdots \int _{\Sigma _{i}}{\mathcal {O}}_{k_{i}}\cdots \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94bf62278c79fcdf57942e540aec8b15537e5982)
이 경우,
는 CP 위반항이므로,
![{\displaystyle \int _{M}{\mathcal {O}}_{4}\sim \int _{M}F\wedge F=[M]\frown c_{2}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3edd7bf608d4cd48668ced1524e55b8f798bfaa)
는 단순히 순간자수(게이지 주다발의 2차 천 특성류)이다. 따라서
의 삽입은 상관 함수를 특별히 변화시키지 않는다. 2차 호몰로지 류
및 0차 호몰로지 류
를 사용하여, 상관 함수
![{\displaystyle \left\langle \int {\mathcal {O}}_{0}(x_{1})\cdots \int _{\Sigma _{1}}{\mathcal {O}}_{2}\cdots \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518398c40b0a240688043e9678ba1198de309c3d)
를 정의할 수 있다. 이를 도널드슨 다항식이라고 하며, 이는 위상수학으로 정의한 도널드슨 다항식과 일치함을 보일 수 있다.
크론하이머-므로카 기본류[편집]
게이지 군
가 SU(2)일 경우를 생각하자. 4차원 매끄러운 다양체
가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 단순형 다양체(영어: manifold of simple type)라고 하자.
![{\displaystyle Q_{8+\deg p}(x^{2}p(x,{\vec {\gamma }}))=4Q_{\deg p}(p(x,{\vec {\gamma }}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd363c6ff9ba513cea7d4daff6bf0bf9206609b)
여기서
이며,
는
를 차수 4,
를 차수 2로 하여 센 다항식의 차수이다.
이 경우, 도널드슨 불변량은 다음과 같은 생성 함수로 완전히 결정된다.
![{\displaystyle D({\vec {\gamma }})=\sum _{n}\left({\frac {Q_{2n}(\gamma ^{d})}{d!}}+{\frac {Q_{2n+4}(x\gamma ^{d})}{2d!}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b12ce995a0b7146d87737433b58f56d333ec5a1)
![{\displaystyle \mathbb {D} ({\vec {\gamma }})=D(0,{\vec {\gamma }})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}D(0,{\vec {\gamma }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd9201ca8b711958ea8fd8bf672531390eb885b)
이 생성 함수는 다음과 같은 간단한 형태로 나타내어진다.
![{\displaystyle \mathbb {D} (\gamma )=\exp(\gamma .\gamma /2)\sum _{x\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )}\exp(x\cdot \gamma )n_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd6f3868e927ad75ae83d60ba5e873a31a6295d)
여기서
인 2차 코호몰로지 원소들을 크론하이머-므로카 기본류(영어: Kronheimer–Mrowka basic class)라고 하며, 이러한 기본류들의 수는 유한하다. 이
들은 자이베르그-위튼 불변량과 같다고 추측된다.
사이먼 도널드슨이 1983년에 도입하였다.[8] 이후 에드워드 위튼이 1994년에 이를 초대칭 게이지 이론의 위상 양자장론으로 정의할 수 있음을 보였다.[9]
피터 크론하이머와 토머스 므로카(영어: Thomasz S. Mrowka)가 1994년에 도널드슨 불변량을 크론하이머-므로카 기본류에 대한 합으로 나타낼 수 있음을 보였다.[10][11] 같은 해에 에드워드 위튼은 자이베르그-위튼 이론을 기반으로 자이베르그-위튼 불변량을 도입하였으며, 이들의 크론하이머-므로카 기본류와의 관계를 제시하였다.[12][13]
같이 보기[편집]
- ↑ Donaldson, Simon K.; Kronheimer, P. B. (1997년 8월 28일). 《The geometry of four-manifolds》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850269-2.
- ↑ Freed, Daniel S.; Uhlenbeck, Karen K. (1991). 《Instantons and four-manifolds》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 1 2판. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-9703-8. ISBN 978-1-4613-9705-2. ISSN 0940-4740. Zbl 0559.57001.
- ↑ Scorpan, Alexandru (2005). 《The wild world of 4-manifolds》 (영어). Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3749-8. Zbl 1075.57001.
- ↑ Dijkgraaf, Robbert (1996년 2월). “Lectures on four-manifolds and topological gauge theories”. 《Nuclear Physics B Proceedings Supplements》 (영어) 45 (2–3): 29–45. doi:10.1016/0920-5632(95)00627-3. ISSN 0920-5632. Zbl 0957.57504.
- ↑ 가 나 Iga, Kevin (2002년 12월 10일). “What do topologists want from Seiberg–Witten theory?”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 17 (30): 4463–4514. arXiv:hep-th/0207271. Bibcode:2002IJMPA..17.4463I. doi:10.1142/S0217751X0201217X. ISSN 0217-751X. MR 1941517. Zbl 1038.81057.
- ↑ Kotschick, D. (1995년 3월). “Gauge theory is dead!—long live gauge theory!” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 42 (3): 335–338. ISSN 0002-9920. Zbl 0816.53047.
- ↑ Dijkgraaf, Robbert (1996년 2월). “Lectures on four-manifolds and topological gauge theories”. 《Nuclear Physics B - Proceedings Supplements》 (영어) 45 (2–3): 29–45. doi:10.1016/0920-5632(95)00627-3.
- ↑ Donaldson, Simon K. (1983). “An application of gauge theory to four dimensional topology”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 18 (2): 279–315. ISSN 0022-040X. MR 710056. Zbl 0507.57010.
- ↑ Witten, Edward (1994년 10월). “Supersymmetric Yang–Mills theory on a four-manifold”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 35 (10): 5101–5135. arXiv:hep-th/9403195. Bibcode:1994JMP....35.5101W. doi:10.1063/1.530745. ISSN 0022-2488.
- ↑ Kronheimer, P. B.; Mrowka, Tomasz S. (1994년 4월). “Recurrence relations and asymptotics for four-manifold invariants”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 30 (2): 215–221. doi:10.1090/S0273-0979-1994-00492-6. ISSN 0273-0979. MR 1246469.
- ↑ Kronheimer, P. B.; Mrowka, Tomasz S. (1995). “Embedded surfaces and the structure of Donaldson’s polynomial invariants” (PDF). 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 41 (3): 573–734. ISSN 0022-040X. MR 1338483. Zbl 0842.57022.
- ↑ Witten, Edward (1994). “Monopoles and Four-Manifolds”. 《Mathematical Research Letters》 (영어) 1 (6): 769-796. arXiv:hep-th/9411102. doi:10.4310/MRL.1994.v1.n6.a13. ISSN 1073-2780.
- ↑ Moore, Gregory; Witten, Edward (1998). “Integration over the u-plane in Donaldson theory”. 《Advances in Theoretical and Mathematical Physics》 (영어) 1 (2): 298-387. arXiv:hep-th/9709193. Bibcode:1997hep.th....9193M. ISSN 1095-0761. Zbl 0899.57021.
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