거울 대칭

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끈 이론호몰로지 대수학에서, 거울 대칭(영어: mirror symmetry)은 서로 다른 두 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 끈 이론이 서로 동형인 현상이다.[1][2][3]:411–415 T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

정의[편집]

초끈 이론은 10차원에서 존재하는 이론이다. 4차원에서의 초대칭을 보존하려면 이론을 6차원 칼라비-야우 다양체축소화하여야 한다.

거울 대칭에 따르면, (거의) 모든 칼라비-야우 다양체 M에 대하여, 이에 대응하는 공간 W가 존재한다. 이들의 돌보 코호몰로지 H^{p,q}는 다음 관계를 만족한다.

H^{p,q}(M)=H^{3-p,q}(W).

이에 따라, M축소화한 IIA형 초끈 이론은 W축소화한 IIB형 초끈 이론과 동형이다.

2차원 게이지 선형 시그마 모형[편집]

거울 대칭의 대표적인 예는 N=(2,2) 게이지 선형 시그마 모형이다. 게이지 선형 시그마 모형은 게이지 보손을 포함하는 초다중항(vector supermultiplet)과 물질을 포함하는 손지기 초다중항(chiral supermultiplet), 그리고 비틀린 손지기 초다중항(twisted chiral supermultplet)을 이루는 장세기(field strength)의 페예-일리오풀로스 항을 가진다. 거울 대칭은 손지기 초다중항과 비틀린 손지기 초다중항을 서로 맞바꾼다. 호리 겐타로(일본어: 堀 健太朗 (ほり けんたろう))와 캄란 바파는 2차원 게이지 선형 시그마 모형에 대하여 거울 대칭을 증명하였다.[1]:463–479[4]

이에 따라, 과녁 공간이 2차원 인 비선형 시그마 모형사인-고든 모형과 대응하고, 보다 일반적으로 과녁 공간이 복소 사영 공간인 비선형 시그마 모형은 아핀 도다 모형(affine Toda model)에 대응한다.

일반적으로, 칼라비-야우 다양체 위의 2차원 \mathcal N=(2,2) 초대칭 비선형 시그마 모형 (또는 란다우-긴즈부르크 모형)은 두 가지로 위상적 뒤틀림을 가해 위튼형 위상 양자장론을 이룰 수 있다. 이를 각각 A모형(영어: A-model)과 B모형(영어: B-model)이라고 한다.[5] 거울 대칭은 A모형과 B모형을 관계짓는다. 이 때, 이 두 시그마 모형의 과녁 공간은 일반적으로 다르다. 즉, 거울 대칭은 서로 다른 칼라비-야우 다양체를 관계짓는다.

이들 위상 시그마 모형을 세계면 이론으로 하는 끈 이론위상 끈 이론이라고 한다. 거울 대칭은 위상 끈 이론으로 확장된다.

3차원 게이지 이론[편집]

3차원 \mathcal N=4 (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론에서의 거울 대칭은 케네스 인트릴리가토어(영어: Kenneth Intriligator)와 나탄 자이베르그가 1996년에 제안하였다.[6] 이에 따라, 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간의 쿨롱 가지(Coulomb branch)는 이에 대응하는 모형의 모듈러스 공간의 힉스 가지(Higgs branch)에 대응한다. 즉, 대응은 다음과 같다.

대상 쌍대 대상
Spin(3)=SU(2) 로런츠 군 SU(2) R대칭
쿨롱 가지 진공 모듈러스 힉스 가지 진공 모듈러스
라그랑지언의 질량항 페예-일리오풀로스 D항

이는 낮은 에너지 극한에서 적용된다. 즉, 이들은 3차원 초등각 장론으로서 서로 동형이다.

아미하이 하나니(히브리어: עמיחי חנני)와 에드워드 위튼은 곧 이는 IIB종 끈 이론S-이중성에서 비롯된다는 사실을 보였다.[7] 이 과정에서 하나니와 위튼은 하나니-위튼 전이를 발견하였으며, 이는 3차원 초대칭 게이지 이론 거울 대칭에 중요한 역할을 한다.

스트로민저-야우-재슬로 가설[편집]

스트로민저-야우-재슬로(SYZ) 가설(영어: Strominger–Yau–Zaslow conjecture)은 거울 대칭 짝을 T-이중성으로 해석하는 가설이다.[8][9][10][11][12] SYZ 가설에 따르면, 거울 대칭 짝을 가지는 모든 복소 n차원 칼라비-야우 다양체는 Tn (실수 n차원 원환면) 올화(영어: fibration)를 가지며, 이 올들은 특수 라그랑지언 부분다양체(special Lagrangian submanifold)를 이룬다. 거울 대칭쌍 X,Y는 같은 공간 B 위의 원환면 올다발 \pi_X\colon X\to B, \pi_Y\colon Y\to B를 이루며, 임의의 올 b\in B에 대하여 X_b=\pi_X^{-1}(b)Y_b=\pi_Y^{-1}(b)

X_b=H^1(Y_b;\mathbb R/\mathbb Z)
Y_b=H^1(X_b;\mathbb R/\mathbb Z)

의 관계를 가진다. 이는 n차원 원환면 올에 T-이중성을 가하는 것으로 해석할 수 있다.

SYZ 가설(보다 일반적으로, 거울 대칭 자체)은 임의의 칼라비-야우 다양체에 대하여 성립하지 않고, 오직 칼라비-야우 다양체의 족(family)의 특정한 극한에서만 성립한다.[11][13] 이는 큰 복소 구조 극한(영어: large complex structure limit)인데, 이는 부피를 고정시키고 복소 구조 모듈러스 공간의 경계로 극한을 취하는 것이다. 예를 들어, 복소 구조와 켈러 구조를 갖춘 실수2차원 원환면(타원 곡선) \mathbb C/(0\sim 1\sim\tau)의 경우, 원환면의 넓이를 고정시키며 복소 구조 \tau의 극한 \tau\to i\infty를 취하면 원환면은 길쭉하고 가는 직선으로 수렴하게 된다. 거울 대칭은 복소 구조와 켈러 구조를 맞바꾸므로, 큰 복소 구조 극한은 큰 부피 극한(영어: large volume limit)에 대응한다.

물리학적으로, SYZ 가설은 IIB종 초끈 이론의 BPS D3-막의 모듈러스 공간을 사용하여 유도된다. D3-막이 BPS이려면, 막은 3차원 특수 라그랑지언 부분다양체를 이루어야 한다. 따라서, D3-막의 모듈러스 공간은 D3-막의 가능한 위치들의 공간 B와, 주어진 위치에서 D3-막의 순수 게이지 윌슨 고리들의 공간으로 이루어진다. 후자는 수학적으로 평탄한 U(1) 접속들의 집합이며, D3-막의 모양이 X_b라면 코호몰로지 H^1(X_b;\mathbb R/\mathbb Z)에 의하여 주어진다. X에 축소화한 IIB종 초끈 이론의 D3-막은 거울 대칭을 통해 Y에 축소화한 IIA종 초끈 이론의 D0-막과 같아야 한다. 즉, X에서의 D3-막의 모듈러스 공간은 Y에서의 D0-막의 모듈러스 공간과 같아야 한다. 그러나 후자는 Y이다. 즉, Y올다발 Y\to B 구조를 가지며, 그 올은 Y_b=H^1(X_b;\mathbb R/\mathbb Z)가 된다.

SYZ 가설은 1996년에 앤드루 스트로민저야우싱퉁, 에릭 재슬로(Eric Zaslow)가 발표하였다.[14]

호몰로지 거울 대칭[편집]

막심 콘체비치호몰로지 대수학을 사용하여 거울 대칭을 수학적으로 엄밀하게 정의하였다. 이를 호몰로지 거울 대칭(영어: homological mirror symmetry)[15][16] 이 공로로 콘체비치는 기본물리학상을 2012년 수상하였다.[17]

호몰로지 거울 대칭의 여러 특수한 경우가 증명되었다.

  • 타원곡선의 경우는 1998년에 증명되었다.[18]
  • 4차 곡면(quartic surface)의 경우는 2003년에 증명되었다.[19]

하지만 호몰로지 거울 대칭의 일반적인 증명은 아직 존재하지 않는다.

호몰로지 거울 대칭에 따르면, 거울 대칭 쌍 (M,W) 사이에 다음과 같은 관계가 존재한다.

M연접층의 범주의 유도 범주(derived category) = W후카야 범주(Fukaya category)의 유도 범주

여기서 양변은 다음과 같다.

  • 후카야 범주는 특수 라그랑주 부분다양체(special Lagrangian submanifold)를 대상으로 하고, 플뢰어 사슬을 사상으로 하는 범주로, A-모형(영어: A-model)을 나타낸다. 3차원 칼라비-야우의 경우, BPS(초대칭) D3-막은 특수 라그랑주 부분다양체를 감는다.
  • 연접층의 범주는 B-모형(영어: B-model)을 나타낸다.[20][21]

이 A/B-모형은 위상 끈 이론의 두 종류로, 끈 이론의 위상수학적인 부분만을 나타내는 장난감 모형이다.

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타원 곡선[편집]

거울 대칭의 가장 기본적인 경우는 (복소) 타원 곡선이다. 타원 곡선 E는 위상수학적으로 2차원 원환면이다. 그 복소 구조의 모듈러스 공간은

\mathbb H/PSL(2,\mathbb Z)

이다. 여기서 \mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}열린 상반평면이며, \operatorname{PSL}(2,\mathbb Z)모듈러 군이다. 만약 타원 곡선 대신 이 주어진 타원 곡선을 고려하면, 모듈러 군의 두 생성원

S\colon z\mapsto-1/z
T\colon z\mapsto z+1

가운데 T만이 허용되고, 따라서 복소 모듈러스 공간은

\mathbb H/\mathbb Z

이다.

반면, 그 켈러 구조는 켈러 형식 K\in H^2(E;\mathbb R)\cong\mathbb R에 의하여 결정된다. 그 모듈러스 공간은 타원 곡선의 넓이

\langle[E],K\rangle\in\mathbb R^+

으로 나타낼 수 있다. (여기서 [E]는 타원 곡선의 기본류이다.) 켈러 구조 K끈 이론에서 등장하는 캘브-라몽 장 B\in H^2(E;\mathbb R/2\pi\mathbb Z)를 더하여 다음과 같은 복소화 켈러 구조(영어: complexified Kähler structure) \mathcal K를 생각할 수 있다.

\mathcal K=iK+B/2\pi\in H^2(E;\mathbb C)/H^2(E;\mathbb Z)

복소화 켈러 구조의 모듈러스 공간은 타원 곡선의 "복소화 넓이"에 의하여 분류된다.

\langle[E],\mathcal K\rangle\in\mathbb H/\mathbb Z

즉, 복소화 켈러 구조의 모듈러스 공간(복소화 켈러 뿔 영어: complexified Kähler cone)은 \mathbb H/\mathbb Z이다. 따라서 유향 타원 곡선의 복소 구조 모듈러스 공간과 복소화 켈러 구조 모듈러스 공간이 \mathbb H/\mathbb Z로 일치함을 알 수 있다.

물리학적으로 한 타원 곡선 위에 축소화한 IIA종 초끈 이론이, 그 복소 구조와 복소화 켈러 구조 모듈러스를 맞바꾼 타원 곡선 위에 축소화한 IIB종 초끈 이론과 동형이다. 이 경우의 거울 대칭은 단순히 T-이중성의 특수한 경우이다.

K3 곡면[편집]

대표적인 예로, K3 곡면 위의 IIA종 끈 이론을 생각하자.[3]:425 K3 곡면의 모듈러스 공간은 총 58차원이다. 이 가운데 h^{1,1}(K3)=20개는 켈러 모듈러스, 나머지 38개는 복소 구조 모듈러스에 해당한다. 여기에, 캘브-라몽 장에 의하여

b_2(K3)=h^{1,1}(K3)+2=22

개의 모듈러스가 추가된다. 이 가운데 h^{1,1}=20개의 모듈러스는 K3 곡면 켈러 모듈러스와 함께 복소 20차원(실수 40차원)의 모듈러스를 이룬다. 나머지 40개의 모듈러스들은 (일반화) 복소구조 모듈러스로 간주한다. 이 밖에도, 딜라톤에 의한 하나의 모듈러스가 더 있다. 즉, 총 40+40+1=81개의 모듈러스가 존재한다.

거울 대칭은 40개의 (일반화) 복소구조 모듈러스를 40개의 (일반화) 켈러 구조 모듈러스와 맞바꾼다. 즉, K3 곡면에 축소화한 IIA종 끈 이론은, 복소 구조와 켈러 구조 모듈러스를 맞바꾼 K3 곡면에 축소화한 IIA종 끈 이론과 동형이다. 딜라톤 모듈러스는 바뀌지 않는다.

역사[편집]

1990년대 초에 T-이중성을 확장하기 위하여 제안되었다.[22][23]

참고 문헌[편집]

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  2. Douglas, Michael R.; Gross, Mark; Aspinwall, Paul S.; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Kapustin, Anton; Moore, Gregory W.; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, P.M.H. (2009). 《Dirichlet Branes and Mirror Symmetry》. Clay Mathematical Monographs 4. American Mathematical Society/Clay Mathematical Institute. ISBN 0-8218-3848-2. Zbl 1188.14026. 
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  23. Candelas, Philip; Xenia C. de la Ossa, Paul S. Green, Linda Parkes (1991년 7월 29일). “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”. 《Nuclear Physics B》 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359...21C. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6. 

바깥 고리[편집]

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