타원곡선

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타원곡선 y^2=x^3+ax+b들의 그래프. (a=b=0인 경우는 x=y=0이 특이점이므로 타원곡선이 아니다.)

대수기하학에서, 타원곡선(橢圓曲線, 영어: elliptic curve)은 간단히 말해 y^2=x^3+ax+b 형태의 방정식으로 정의되는 대수곡선으로서 첨점이나 교차점 등의 특이점이 없는 것이다. (계수체(coefficient field)의 표수가 2나 3인 경우 이 정의는 모든 비특이 3차 곡선들의 동형류를 포함하지 않는다.) 이는 대수기하학수론의 중요한 연구 대상이다.

중근을 갖지 않는 임의의 3차 혹은 4차 다항식 P에 대해 y2 = P(x)는 종수(genus) 1의 비특이 평면 곡선의 방정식이며, 이 식으로 정의되는 곡선 또한 타원곡선이라 한다. 보다 일반적으로는 종수가 1인 임의의 비특이 대수곡선을 타원곡선이라 한다.

복소수체 상의 타원곡선은 원환면복소 사영공간에 묻은 것에 대응된다. 이는 임의의 로 일반화할 수 있으며, 각 체 상의 타원곡선의 점들은 아벨 군을 이룬다. 즉, 타원곡선은 1차원 아벨 다양체이다.

역사와 어원[편집]

타원적분(elliptic integral)에서 그 이름을 땄다. 이름과는 달리, 타원과 직접적인 관련이 없다. 특히, 타원은 곡선으로서 타원곡선이 아니다.

오늘날 타원곡선으로 불리는 대상은 디오판토스가 최초로 다뤘다.[1] 디오판토스는

y(a-y)=x^3-x

꼴의 타원곡선에 대하여 기술하였다. 이후 피에르 드 페르마아이작 뉴턴, 카를 구스타프 야코프 야코비, 카를 바이어슈트라스, 앙리 푸앵카레 등이 타원곡선에 대하여 연구하였다.

존 테이트 등이 타원곡선론을 수론과 연관지었다. 앤드루 와일스는 타원곡선에 대한 모듈러성 정리(의 상당 부분)을 증명하여, 이를 통해 페르마의 마지막 정리를 증명하였다. 또한, 오늘날 유한체에 대한 타원곡선은 암호론에서 타원곡선 암호를 정의하는 데 사용된다.

정의[편집]

k라고 하자. 타원곡선은 다음 조건들을 만족시키는, 원점이 주어진, k에 대한 사영 대수 곡선이다.

  • 특이점(singular point)을 가지지 않는다.
  • 종수(영어: genus)가 1이다. (즉, 복소수체의 경우 위상수학적으로 원환면이다.)
  • 적어도 하나의 유리점(영어: rational point)을 가진다. 즉, 대수 곡선을 정의하는 식을 만족시키는 점 (x,y)\in k^2가 적어도 하나 존재한다. (이 점은 무한대에 있을 수도 있다.)

여기서 원점이 주어진 대수 곡선이란 순서쌍 (M,x_0) (x_0\in M, M대수 곡선)을 의미한다.

임의의 체의 표수에서, 타원곡선은 일반적으로 다음과 같은 같은 꼴의 식의 해의 집합으로 나타낼 수 있다.

y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6

만약 체의 표수가 2나 3이 아닌 경우, 타원곡선은 다음과 같은 꼴의 식의 해의 집합으로 나타낼 수 있다.

y^2=x^3-px-q

여기서 (1,x,y)는 2차원 사영공간동차좌표이다. 이렇게 나타낸 경우, 원점은 (0,0,1)이 된다. 이 점은 (x,y) 평면에서의 무한대에 해당한다. 즉, (x,y) 평면에 무한대를 추가하여 사영공간을 취한 뒤, 타원곡선을 사영공간 속의 곡선으로 간주한다.

만약 체의 표수가 3인 경우, 일반적인 타원곡선은 다음과 같은 꼴의 식의 해의 집합으로 나타낼 수 있다.

y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6

체의 표수가 2인 경우는 위의 일반적인 표현을 사용하여야 한다.

대표적인 체에 대한 타원곡선[편집]

실수체 상의 타원곡선[편집]

실수체 상에서, 타원곡선은 실수 a와 b에 대해 방정식

y2 = x3 + a x + b

로 정의되는 평면곡선이다. 1이 아닌 3차항의 계수와 0이 아닌 2차항의 계수는 x,y를 다시 정의함으로써 흡수시킬 수 있기 때문에, 우변이 임의의 x의 3차식이면 언제나 이 형태로 만들 수 있다. 이런 형태의 식을 바이어슈트라스 방정식이라고 한다.

예를 들어, 다음의 그림들은 방정식 y2 = x3xy2 = x3x + 1로 정의된 실수체 상의 타원곡선의 그래프이다.

ECClines-3.svg

타원곡선의 정의에는 이 곡선이 비특이하다(특이점을 갖지 않는다)는 조건이 포함된다. 기하학적으로 말하자면 이는 곡선의 그래프가 첨점이나 교차점이 없다는 뜻이다. 또한, 이는 판별식

Δ = −16(4a3 + 27b2)

이 0이 아니라는 대수적인 조건과 동치이다. (이 판별식 표현에서 −16이라는 것이 아무 의미가 없는 것처럼 보일 수 있으나, 타원곡선을 깊이 공부하다보면 아주 중요한 역할을 하게 된다.)

비특이 대수곡선은 판별식이 양수일 경우 두개의 연결성분을 가지고, 음수일 경우에는 하나의 연결성분만을 가진다. 예를 들자면, 위의 그래프에서 첫 번째 곡선의 판별식은 64, 두 번째 곡선의 판별식은 −368이다.

복소수체 상의 타원곡선[편집]

복소수체에서의 타원곡선은 1차원 아벨 다양체이다. 종수가 1이므로, 기하학적으로 이는 원환면의 모양을 하고 있다.

임의의 타원곡선

y^2=4x^3-px-q

가 주어졌다면, 이를 다음과 같이 원환면으로 여길 수 있다. 복소 구조를 갖춘 원환면은 격자

\Lambda\subset\mathbb C

에 대한 몫공간

\mathbb C/\Lambda

으로 여길 수 있다. 그렇다면 이 원환면에서 타원곡선으로 바이어슈트라스 타원함수 \wp(z;\Lambda)를 사용해 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.

z\in \mathbb C/\Lambda
z\mapsto(x,y)=(\wp(z;\Lambda),\wp'(z;\Lambda))

바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 항등식을 만족시킨다.

\wp'(z;\Lambda)^2=4\wp(z;\Lambda)^2-g_2(\Lambda)\wp(z)-g_3(\Lambda)

따라서 이는

(p,q)=(g_2(\Lambda),g_3(\Lambda))

인 타원곡선과의 동형사상이다.

수체 상의 타원곡선[편집]

유리수체를 비롯한 다른 대수적 수체에 대한 타원곡선은 수론에서 중요한 위치를 차지한다. 이 경우, 수체에 대한 타원곡선의 점들은 보통 유리점(영어: rational point)이라고 한다. (이는 유리수체가 아닌 다른 수체에도 사용된다.) 주어진 수체 K에 대하여, 타원곡선 EK-유리점들의 집합 E(K)아벨 군을 이룬다.

모델-베유 정리에 따라서, 타원곡선의 유리점군 E(K)는 항상 유한생성 아벨 군이며, 따라서 그 계수꼬임 부분군에 의해 주어진다. 유리점군의 계수버치-스위너턴다이어 추측에 의하여 이에 대응하는 하세-베유 L-함수의 영점의 차수에 의하여 주어진다고 믿어지나, 아직 이는 증명되지 않았다.

유리수체의 경우, 유리점군의 꼬임 부분군메이저 꼬임 정리에 따라 15가지의 가능한 군 가운데 하나이다. 다른 수체의 경우에도 메이저 꼬임 정리와 유사한, 가능한 꼬임 부분군 목록들이 존재한다.

유한체 상의 타원곡선[편집]

유한체 \mathbb F_q에 대한 타원곡선은 유한개의 점들로 이루어지며, 이들은 유한군을 이룬다. 이 경우, 점의 개수를 세는 것은 일반적으로 매우 어려운 문제이며, 수론의 주요 연구 분야 가운데 하나이다. 하세 정리(영어: Hasse’s theorem)에 따라서, 그 수는 다음과 같다. \mathbb F_q 위의 타원곡선 E에 대하여, 그 점의 수 \#E(\mathbb F_q)는 다음과 같은 상계 및 하계를 가진다.

q+1-2\sqrt q\le\#E(\mathbb F_q)\le q+1+2\sqrt q

유한체에 대한 타원곡선의 점들이 이루는 유한군은 항상 두 순환군의 곱이다. 예를 들어, 유한체 \mathbb F_{71}에 대한 타원곡선 y^2=x^3-x은 72개의 점 (71개의 아핀 점과 무한대에서의 점)을 갖고, 그 군 구조는 2차 순환군과 36차 순환군의 곱이다.

(\mathbb Z/2\mathbb Z)\times(\mathbb Z/36\mathbb Z)

유한체에 대한 타원곡선은 타원곡선 암호를 정의하는 데 사용된다.

응용[편집]

타원곡선은 수론에 등장한다. 예를 들어, 타원곡선에 대한 정리인 모듈러성 정리페르마의 마지막 정리를 증명하는데 사용되었다. 또한, 유한체에 대한 타원곡선은 암호론에 응용된다. 이를 타원곡선 암호라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Brown, Ezra, Bruce T. Myers (2002년 8월). Elliptic curves from Mordell to Diophantus and back. 《The American Mathematical Monthly》 109 (7): 639–649. doi:10.2307/3072428. Zbl 1083.11037. ISSN 0002-9890.

수론 및 암호학 중심[편집]

바깥 고리[편집]