M이론

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이론물리학에서, M이론(-理論, 영어: M-theory)은 11차원의 시공간에서 존재하는 물리 이론이다.[1] 아직 M이론을 일반적으로 어떻게 비섭동적으로 정의할 수 있는지는 알려져 있지 않지만, 다양한 극한을 취하면 이미 알려져 있는 이론들과 다음과 같이 연관돼 있다.

또한, M이론에 존재하는 M-막(영어: M-brane)이라는 개체들과 그 다양한 성질들이 알려져 있다.

역사와 어원[편집]

1990년대 초기에는 총 5개의 초끈 이론들이 알려져 있었다. 이들은 10차원에 존재하는, 을 포함하는 이론이며, 이들 사이에는 T-이중성S-이중성 등 여러 관계가 존재한다. 1995년에 에드워드 위튼은 이들 5개의 초끈 이론들을 끈을 포함하지 않고, 11차원에 존재하는 어떤 "M이론"을 통해 얻을 수 있다는 증거를 제시하였다.[2] 즉, 5개의 초끈 이론은 하나의 M이론의 다양한 극한(모듈러스 공간의 귀퉁이)에 해당한다. 이 사건을 제2차 초끈 혁명(영어: the Second Superstring Revolution)이라고 한다.

위튼에 따르면, M이론의 ‘M’은 영어: magic 매직[*], 영어: mystery 미스터리[*], 또는 영어: membrane 멤브레인[*]의 머릿자라고 한다.[3][4][5] 영어: membrane 멤브레인[*]은 막을 뜻하는 단어인데, 이는 M이론이 끈을 포함하지 않고, 대신 2차원 및 5차원 막을 포함하기 때문이다.

1996년에 톰 뱅크스(영어: Tom Banks)와 빌리 피스흘러르(네덜란드어: Willy Fischler), 스티븐 솅커(Stephen Hart Shenker)와 레너드 서스킨드가 축소화하지 않은 M이론을 행렬 변수에 대한 양자역학의 특정한 극한으로 정의하였다.[6] 이를 행렬 이론(M(atrix) theory)이라고 한다. 영어명 "M(atrix)"는 행렬을 뜻하는 영어: matrix 메이트릭스[*]의 머릿글자가 M이론과 같은 "M"임을 농으로 딴 것이다.

1997년에 후안 말다세나AdS/CFT 대응성을 발표하면서, AdS3×S7 또는 AdS7×S3에 축소화한 M이론을, 겹친 M2-막 또는 M5-막의 세계부피 이론으로 비섭동적으로 정의할 수 있음을 보였다. 그러나 보다 더 잘 알려진 D3-막의 경우와 달리 M-막의 세계부피 이론은 오랫동안 알려지지 않았다. M2-막의 세계부피 이론은 2008년에 발견되었으나, 아직 M5-막의 세계부피 이론은 알려지지 않고 있다.

전개[편집]

IIA종 초끈 이론과 E8×E8 잡종 끈 이론에서 닫힌 끈 결합 상수 g_\text{s}가 매우 큰 극한을 취하면, 이는 축소화한 M이론에 대응되게 된다. 여기서 원래 결합 상수 g_\text{s}는 대략 축소화한 차원의 크기에 비례하게 된다.

M이론은 로런츠 계량 부호수를 가진 11차원 시공간에 존재한다. 축소화하지 않은 M이론의 낮은 에너지 유효 작용은 11차원 초중력이다.

M이론에서 다루는 대상은 2차원의 막인 M2-막(M2-brane)과 5차원의 막인 M5-막(M5-brane)이다. M이론은 (1차원 막)을 포함하지 않으므로, 엄밀히 말해서 끈 이론이 아니다. (다만, M이론을 축소화하여 다양한 끈 이론을 얻을 수 있다.)

끈 이론과의 관계[편집]

M이론을 축소화하여 IIA종 초끈 이론과 E8×E8 잡종 끈 이론을 얻을 수 있다. 다른 초끈 이론들(IIB종, I종, SO(32) 잡종)은 이들로부터 S-이중성T-이중성을 가하여 얻을 수 있다.

IIA종 끈 이론[편집]

11차원 초중력을 원 (\mathbb S^1) 위에 축소화하면 10차원 IIA형 초중력을 얻는다. 이에 따라, M이론을 원 위에 축소화하면 IIA형 초끈 이론을 얻을 것이라고 예상할 수 있다. IIA종 초끈 이론에 존재하는 여러 안정한(BPS) 물체들은 M이론에서 다음과 같이 나타난다.

IIA종 끈 이론 M이론
D0-막 11차원 초중력 초다중항의 가장 가벼운 유질량 칼루차-클라인 들뜬 상태
F1-끈 축소화한 차원에 감긴 M2-막
D2-막 감기지 않은 M2-막
D4-막 축소화한 차원에 감긴 M5-막
NS5-막 감기지 않은 M5-막
D6-막 11차원 초중력 초다중항칼루차-클라인 들뜬 5차원 막
D8-막 세계끝 9-막 안의 윌슨 고리의 모듈러스

이 밖에도, IIA종 끈 이론과 M이론은 다음과 같이 대응한다.

M이론 IIA종 끈 이론
11번째 차원의 반지름 R_{11} g_\text{s}\ell_\text{s}
11차원 시공간 플랑크 길이 \ell_\text{p} g_\text{s}^{1/3}\ell_\text{s}
11차원 시공간 중력 상수와 11번째 차원 크기의 비 16\pi G_{11}/(2\pi R_{11})=(2\pi)^8\ell_\text{p}^9/(2\pi R_{11}) 10차원 중력 상수 16\pi G_{10}=(2\pi)^7g_\text{s}^2\ell_\text{s}^8
11번째 차원에 대한 n번째 칼루차-클라인 모드의 질량 n/R_{11} n개의 D0-막의 결합 상태의 질량 nT_\text{D0}=n/(\ell_\text{s}g_\text{s})
11번째 차원을 감는 M2-막의 장력 2\pi R_{11}T_\text{M2}=R_{11}/(2\pi\ell_\text{p}^3) 기본 끈의 장력 T_\text{F1}=1/(2\pi\ell_\text{s}^2)
M2-막의 장력 T_\text{M2}=(2\pi)^{-2}\ell_\text{p}^{-3} D2-막의 장력 T_\text{D2}=(2\pi)^{-2}g_\text{s}^{-1}\ell_\text{s}^{-3}
11번째 차원을 감는 M5-막의 장력 2\pi R_{11}T_\text{M5}=(2\pi)^{-2}R_{11}\ell_\text{p}^{-6} D4-막의 장력 T_\text{D4}=(2\pi)^{-4}g_\text{s}^{-1}\ell_\text{s}^{-5}
M5-막의 장력 T_\text{M5}=(2\pi)^{-5}\ell_\text{p}^{-6} NS5-막의 장력 T_\text{NS5}=(2\pi)^{-5}g_\text{s}^{-2}\ell_\text{s}^{-6}

여기서 \ell_\text{s}=\sqrt{\alpha'}은 끈 길이(영어: string length)이며, g_\text{s}=\exp(\langle\Phi\rangle)는 닫힌 끈 결합 상수다. 위 표에서, 끈 이론에서의 장력들은 끈 프레임(영어: string frame)의 계량 텐서를 사용한다. 즉, 끈 프레임으로 계산한 단위 초부피당 작용이다.

E8×E8 잡종 끈 이론[편집]

M이론을 선분 (\mathbb S^1/\mathbb Z_2) 위에 축소화하면 E8×E8 잡종 끈 이론을 얻는다. 이는 T-이중성S-이중성을 사용하여 다음과 같이 해석할 수 있다.

E8×E8 잡종 ⇔ (T-이중성) SO(32) 잡종 ⇔ (S-이중성) I종 ⇐ (오리엔티폴드) IIB종 ⇔ (T-이중성) IIA종 ⇐ (축소화) M이론

따라서, E8×E8 잡종 끈 이론은 (T-이중 변환을 짝수번 가하였으므로) M이론을 축소화하여 얻을 수 있음을 알 수 있다. \mathbb Z_2 오비폴드는 I종 끈 이론을 얻기 위하여 가한 오리엔티폴드 사영에 의한 것이다. 즉, I종 이론의 T-이중 이론(I′종 이론)은 IIA종 이론을 \mathbb S^1/\mathbb Z_2 위에 축소화한 이론이기 때문이다.

오비폴드에 의하여, 선분 \mathbb S^1/\mathbb Z_2의 양끝에는 세계끈 9-막(end-of-the-world 9-brane)이 존재하고, 각각 E8 게이지 전하를 가진다.

이 축소화는 페트르 호르자바(체코어: Petr Hořava)와 에드워드 위튼이 1996년 발견하였다.[7][8] 따라서 이를 호르자바-위튼 이론(Hořava–Witten theory)라고도 하고, 세계끈 9-막을 호르자바-위튼 벽(Hořava–Witten domain wall)이라고 한다.

M-막[편집]

11차원 초중력은 오직 2차 미분형식 게이지 퍼텐셜 C_2만을 포함한다. 따라서, C_2에 대한 전기 홀극인 M2-막(M2-brane)과 자기 홀극M5-막(M5-brane)이 존재한다.

M2-막[편집]

1995년 폴 타운젠드(Paul K. Townsend)가 M2-막이 IIA종 초끈 이론기본 끈과 관련되어 있다고 제안하였다.[9]

2007년 조너선 배거(영어: Jonathan Bagger)와 닐 램버트(영어: Neil Lambert), 안드레아스 구스타브손(스웨덴어: Andreas Gustavsson)이 M2-막 세계부피 이론의 작용을 발견하였다.[10][11][12] 이를 발견자의 머릿글자를 따 BLG 모형(BLG model)이라고 한다.[13] 이 모형은 리 괄호를 일반화한 "3-대수" [\cdot,\cdot,\cdot]라는 수학적 구조를 사용하는데, BLG 모형과 동등하지만 특수한 수학적 구조를 사용하지 않는 ABJM 모형[14]도 알려져 있다.

정적 게이지(영어: static gauge)에서, 하나의 M2-막에 존재하는 장들은 \mathcal N=8 초등각대칭에 따라 결정되며, 다음과 같다.

기호 푸앵카레 표현 개수 질량 껍질 위 총 자유도
\phi^i 실수 스칼라장 8 8
\psi^i 마요라나 스피너 8 8

여기서 \phi^i는 M2-막의 3차원 세계부피에 수직인 11-3=8개의 방향들과 대응한다.

M2-막의 장력은

T_\text{M2}=\frac1{(2\pi)^2\ell_\text{p}^3}

이다. 여기서 \ell_\text{p}는 11차원 시공간의 플랑크 길이다.

M5-막[편집]

M5-막은 M2-막보다 덜 알려져 있다.[15] M5-막의 세계부피 이론은 \mathcal N=(2,0) 초대칭을 가지는 등각 장론이다. M5-막이 겹치지 않은 경우에는 그 세계부피 작용이 일려져 있지만, 여러 M5-막이 겹친 경우에는 알려져 있지 않고, 아마 국소적인 라그랑지언이 존재하지 않는 이론일 것이라 추측된다.

정적 게이지(영어: static gauge)에서, 하나의 M5-막에 존재하는 장들은 \mathcal N=(2,0) 초등각대칭에 따라 결정되며, 다음과 같다.

기호 푸앵카레 표현 개수 질량 껍질 위 총 자유도
\phi^i 실수 스칼라장 5 5
B^-_{\mu\nu} 반자기쌍대(反自己雙對, ASD, 영어: anti-self-dual) 2차 미분형식 게이지장 1 3
\psi^I 바일 스피너 2 8

여기서 \phi^i는 M5-막의 6차원 세계부피에 수직인 11-6=5개의 방향들과 대응한다.

M5-막의 장력은 다음과 같다.

T_\text{M5}=\frac1{(2\pi)^5\ell_\text{p}^6}

이는 IIA종 끈 이론으로 환산하면 NS5-막의 장력과 같은데, 이는 NS5-막이 감기지 않은 M5-막이기 때문이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Katrin Becker, Melanie Becker, John H. Schwarz (2006년 12월). 《String Theory and M-Theory: A Modern Introduction》. Cambridge University Press. doi:10.2277/0511254865. Bibcode2007stmt.book.....B. ISBN 978-0511254864
  2. (영어) Witten, Edward (1995년 6월 5일). String theory dynamics in various dimensions. 《Nuclear Physics B》 443 (1–2): 85–126. arXiv:hep-th/9503124. doi:10.1016/0550-3213(95)00158-O. Bibcode1995NuPhB.443...85W.
  3. (영어) Witten, Edward (1998년 10월). Magic, mystery, and matrix. 《Notices of the American Mathematical Society》 45 (9): 1124–1129.
  4. (영어) Duff, Michael J. (1999년). 〈A layman’s guide to M-theory〉, 《The Abdus Salam Memorial Meeting》. World Scientific. arXiv:hep-th/9805177. Bibcode1999asmm.conf..184D. ISBN 978-9810236199
  5. (영어) Duff, Michael J. (1998년 2월). The theory formerly known as strings. 《Scientific American》 278 (2): 64–69. doi:10.1038/scientificamerican0298-64. Bibcode1998SciAm.278b..64D. ISSN 0036-8733.
  6. Banks, T., W. Fischler, S.H. Shenker, L. Susskind (1997년 4월). M Theory As A Matrix Model: A Conjecture. 《Physical Review D》 55: 5112–5128. doi:10.1103/PhysRevD.55.5112. arXiv:hep-th/9610043. Bibcode1997PhRvD..55.5112B.
  7. (영어) Hořava, Petr, Edward Witten (1996년 2월 12일). Heterotic and Type I String Dynamics from Eleven Dimensions. 《Nuclear Physics B》 460 (3): 506–524. arXiv:hep-th/9510209. doi:10.1016/0550-3213(95)00621-4. Bibcode1996NuPhB.460..506H.
  8. (영어) Hořava, Petr, Edward Witten (1996년 9월 9일). Eleven-dimensional supergravity on a manifold with boundary. 《Nuclear Physics B》 475 (1–2): 94–114. arXiv:hep-th/9603142. doi:10.1016/0550-3213(96)00308-2. Bibcode1996NuPhB.475...94H.
  9. (영어) Townsend, P. K. (1995년 5월 11일). The eleven-dimensional supermembrane revisited. 《Physics Letters B》 350 (2): 184–188. arXiv:hep-th/9501068. doi:10.1016/0370-2693(95)00397-4. Bibcode1995PhLB..350..184T. ISSN 0370-2693.
  10. (영어) Bagger, J., N. Lambert (2007년 2월). Modeling multiple M2’s. 《Phys. Rev. D》 75 (4): 5020–5026. arXiv:hep-th/0611108. doi:10.1103/PhysRevD.75.045020. Bibcode2007PhRvD..75d5020B.
  11. (영어) Gustavsson, A. (2009년). Algebraic structures on parallel M2-branes. 《Nuclear Physics B》 811 (1–2): 66–76. arXiv:0709.1260. doi:10.1016/j.nuclphysb.2008.11.014. Bibcode2009NuPhB.811...66G.
  12. (영어) Schnabel, Jim (2012년 2월). Can you wrap your head around M2-branes?. 《Arts and Sciences: The Online Magazine of Johns Hopkins》.
  13. Bagger, Jonathan, Neil Lambert, Sunil Mukhi, Constantinos Papageorgakis. Multiple membranes in M-theory. arXiv:1203.3546. Bibcode2012arXiv1203.3546B.
  14. Aharony, Ofer, Oren Bergman, Daniel Louis Jafferis, Juan Maldacena (2008년 10월 23일). \mathcal N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals. 《Journal of High Energy Physics》 2008 (10): 91. arXiv:0806.1218. doi:10.1088/1126-6708/2008/10/091. Bibcode2008JHEP...10..091A.
  15. Schwarz, John H. (1997년 5월). The M theory five-brane. arXiv:hep-th/9706197. Bibcode1997hep.th....6197S.