미분기하학에서 점근 국소 평탄 공간(漸近局所平坦空間, 영어: asympotically locally flat [ALF] space)은 무한대에서 3차원 유클리드 공간의 오비폴드 위의 원군 주다발로 수렴하는 4차원 초켈러 다양체이다.
4차원 초켈러 다양체
가 완비 리만 다양체이며, 리만 곡률이 무한대에서 0으로 수렴하며, 다음 조건을 만족시킨다면, 점근 국소 평탄 공간이라고 한다.[1]:Definition 3.1
- 어떤 콤팩트 집합
및
및 유한군
및 원군 주다발
및 그 위의 주접속
에 대하여, 미분 동형
이 존재하며, 이 미분 동형 아래
의 리만 계량이 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle g=g_{\mathbb {R} ^{3}/\Gamma }+A^{2}+{\mathcal {O}}(r^{-t})\qquad (t>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3225bb7c497a2c3363a13ce8271f560a1e2caa4)
점근 국소 평탄 공간은 사용된 유한군
에 의하여 분류되며,
및
(2차 순환군)이 가능하다.
인 경우는 순환군형(循環群型, 영어: cyclic type) 또는 A형이라고 하며, A−1, A0, A1, …가 있다.
인 경우는 정이면체군형(正二面體群型, 영어: dihedral type0 또는 D형이라고 하며, D0, D1, …가 있다.
순환군형[편집]
순환군형은 기호로 An의 꼴이며, 여기서 n은 −1 이상의 정수이다.
일반적으로, 순환군형 점근 국소 평탄 공간은 기번스-호킹 가설 풀이로 구성된다. 일반적으로, 3차원 유클리드 공간 속에
개의 점 (너트의 위치)
![{\displaystyle {\vec {r}}_{0},\dotsc ,{\vec {r}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a46530bdadf88cf0db2f89a5d29e391d7c2c20)
을 골랐을 때, 퍼텐셜
![{\displaystyle V({\vec {x}})=l+\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{2\|{\vec {x}}-{\vec {r}}_{i}\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69da2e84113a723cf4e1eea6b78b451c43fd155)
을 사용하여 기번스-호킹 가설 풀이를 구성하면 An형의 점근 국소 평탄 공간을 얻는다. 여기서
은 U(1) 주다발의 올의 크기에 반비례하며, 리만 계량 전체에 적절한 상수를 곱하면 1로 놓을 수 있다.
즉, 그 모듈라이 공간은
![{\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbb {R} ^{+}\times {\frac {\operatorname {Conf} (n+1,\mathbb {R} ^{3})}{\operatorname {ISO} (3;\mathbb {R} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4edb0dba4de2f345b6b36828940766f150e476b9)
![{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{n}={\begin{cases}1&n\in \{-1,0\}\\2&n=1\\3(n-1)+1&n\geq 2\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70fa746dfaa29febc308303fa80a08a9e37f4180)
이다. 이는
개의 점 가운데, 유클리드 공간의 등거리 변환을 가한 것이다. 추가의 1차원은
에 해당하며, 리만 계량의 스칼라배에 해당한다.
정이면체군형[편집]
정이면체군형은 기호로 Dn의 꼴이며, 여기서 n은 음이 아닌 정수이다. 이 경우 여러 가지 구성이 존재한다. 특히, 퍼텐셜
![{\displaystyle V({\vec {x}})=l-{\frac {2}{\|{\vec {x}}\|}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2\|{\vec {r}}_{i}-{\vec {x}}\|}}+{\frac {1}{2\|{\vec {r}}_{i}+{\vec {x}}\|}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8116d0b8adede5fd2a9c29492ce4088472f64238)
을 통한 기번스-호킹 가설 풀이를 생각하자. 이는
인 경우 퍼텐셜이 음수가 돼 정의되지 않지만, 이 부분을 무시하면, 이는
에 대하여 대칭이므로
위의 기번스-호킹 가설 풀이를 정의한다. 만약
이 충분히 크다면, 가운데에 D0 공간을 이어붙이면 이는 Dn 점근 국소 평탄 공간을 근사하며, Dn이 되도록 변형할 수 있다.[1]:Remark 3.7
즉, 이 경우 마찬가지로 모듈라이 공간은
![{\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{n}={\begin{cases}1&n=0\\2&n=1\\3n-2&n\geq 2\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66723a9af4d6a169382941726ffbe8ee97d0ee2)
여기서 한 차원은
에 의한 것이며, 리만 계량에 상수를 곱한 것에 해당한다.
위상수학적 성질[편집]
점근 국소 평탄 공간의 위상수학적 성질은 다음과 같다.[1]:§3.2.1, §3.2.2
점근 국소 평탄 공간 |
기본군 ![{\displaystyle \pi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/542cbd3dacd0a061d666ed7fc4ed7ad15b47444b) |
베티 수
|
A−1 |
무한 순환군 Cyc(∞) |
(1,1,0,0,0)
|
An (n≥0) |
자명군 1 |
(1,0,n,0,0)
|
D0 |
2차 순환군 Cyc(2) |
(1,0,0,0,0)
|
Dn (n≥1) |
자명군 1 |
(1,0,n,0,0)
|
특히, A−1은
이므로, 원
과 호모토피 동치이다. 토브-너트 공간 A0은 유클리드 공간
과 미분 동형이다.
기하학적 성질[편집]
점근 국소 평탄 공간의 킬링 벡터장의 수는 다음과 같다.
점근 국소 평탄 공간 |
킬링 벡터장의 수
|
A−1 |
4
|
A0 |
4
|
A1 |
2
|
An (n≥2) |
1
|
D0 |
3
|
이는 ISO(3)의 군의 작용의 안정자군의 차원 + 원다발 올 방향의 킬링 벡터 1개로 계산할 수 있다.
- A−1형 점근 국소 평탄 공간은
이다.
- A0형 점근 국소 평탄 공간은 토브-너트 공간이다.
- D0형 점근 국소 평탄 공간은 아티야-히친 공간이다.
- D1형 점근 국소 평탄 공간의 모듈라이 공간은 (리만 계량에 상수를 곱하는 것을 제외하면) 3차원이다. 이 모듈라이 공간의 한 점은 아티야-히친 공간의 2겹 범피복 공간이다.
점근 국소 평탄 공간은 일반 상대성 이론과 끈 이론에 자주 등장한다. 이는 이들이 초켈러 다양체이므로, 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 공간이나 일반 상대성 이론의 해를 이루기 때문이다.