일반 상대성 이론 에서 토브-너트 공간 (-空間, 영어 : Taub–NUT space [tɔːb nʌt speɪs] )은 아인슈타인 방정식 의 4차원 진공해이며, 특히 4차원 초켈러 다양체 이자 점근 국소 평탄 공간 이다. 이 해는 여러 매우 특이한 성질들을 가진다.[ 1]
토브-너트 공간은 4차원 비콤팩트 초켈러 다양체 이며,
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
미분 동형 이다.[ 2] :§2.3
그 위의 계량은 기번스-호킹 가설 풀이 로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표
τ
∈
R
/
(
4
π
Z
)
{\displaystyle \tau \in \mathbb {R} /(4\pi \mathbb {Z} )}
r
→
∈
R
3
{\displaystyle {\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{3}}
를 정의하자. 그렇다면, 토브-너트 공간의 계량은 다음과 같다.
d
s
2
=
V
(
|
r
→
|
)
d
r
→
2
+
1
V
(
|
r
→
|
)
(
d
τ
+
ω
)
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=V(|{\vec {r}}|)\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+{\frac {1}{V(|{\vec {r}}|)}}(\mathrm {d} \tau +\omega )^{2}}
V
(
|
r
→
|
)
=
L
+
1
2
|
r
→
|
{\displaystyle V(|{\vec {r}}|)=L+{\frac {1}{2|{\vec {r}}|}}}
여기서
ω
=
ω
→
⋅
d
r
→
∈
Ω
1
(
R
3
)
{\displaystyle \omega ={\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{3})}
는
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
1차 미분 형식 가운데
d
ω
=
⋆
d
V
{\displaystyle \mathrm {d} \omega =\star \mathrm {d} V}
인 것이다. 이는 사실
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
1차 미분 형식 으로 확장될 수 있다.
L
{\displaystyle L}
M
{\displaystyle M}
L
{\displaystyle L}
4
π
/
L
{\displaystyle 4\pi /{\sqrt {L}}}
일반 상대성 이론 에서는 이 해를 로런츠 계량 부호수 −+++로 해석적 연속 을 취할 수 있다. 이는
τ
↦
i
t
{\displaystyle \tau \mapsto \mathrm {i} t}
보다 일반적으로,
V
{\displaystyle V}
V
(
r
→
)
=
L
+
∑
i
=
1
N
1
2
|
r
→
−
R
→
i
|
{\displaystyle V({\vec {r}})=L+\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2|{\vec {r}}-{\vec {R}}_{i}|}}}
로 치환한다면, 여러 개의 토브-너트들이 공존하는 다중 토브-너트 공간 (영어 : multi-Taub–NUT space )을 얻는다. 이는 A형 점근 국소 평탄 공간 에 해당한다.
토브-너트 공간은 심플렉틱 몫공간 연산을 통해 정의할 수 있다.[ 3] [ 2] :§2.5
구체적으로, 초켈러 공간
R
4
×
R
3
×
R
β
Z
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{3}\times {\frac {\mathbb {R} }{\beta \mathbb {Z} }}}
위에서 U(1) 의 작용을 생각하자. 구체적으로, 평탄한 유클리드 공간
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
(
r
→
=
(
r
1
,
r
2
,
r
3
)
,
ψ
)
{\displaystyle ({\vec {r}}=(r_{1},r_{2},r_{3}),\,\psi )}
기번스-호킹 가설 풀이 로 다음과 같다.
d
s
2
=
1
|
r
→
|
d
r
→
2
+
|
r
→
|
(
d
ψ
+
ω
→
⋅
d
→
r
)
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {1}{|{\vec {r}}|}}\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+|{\vec {r}}|\left(\mathrm {d} \psi +{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\mathrm {d} }}r\right)}
여기서
ψ
∼
ψ
+
4
π
{\displaystyle \psi \sim \psi +4\pi }
ω
→
=
(
ω
1
,
ω
2
,
ω
3
)
{\displaystyle {\vec {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})}
은
ϵ
i
j
k
∂
j
ω
k
=
∂
i
1
|
r
→
|
{\displaystyle \epsilon _{i}{}^{jk}\partial _{j}\omega _{k}=\partial _{i}{\frac {1}{|{\vec {r}}|}}}
을 따른다. 즉, 미분 형식 표기법으로는
ω
=
ω
i
d
r
i
{\displaystyle \omega =\omega _{i}\mathrm {d} r^{i}}
⋆
d
ω
=
d
1
|
r
→
|
{\displaystyle \star \mathrm {d} \omega =\mathrm {d} {\frac {1}{|{\vec {r}}|}}}
이다. 마찬가지로,
R
3
×
S
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}}
(
x
→
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
,
θ
)
{\displaystyle ({\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3}),\,\theta )}
리만 계량 은
d
s
2
=
L
d
x
→
2
+
L
−
1
d
θ
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=L\mathrm {d} {\vec {x}}^{2}+L^{-1}\mathrm {d} \theta ^{2}}
β
=
4
π
L
−
1
/
2
{\displaystyle \beta =4\pi L^{-1/2}}
이며,
θ
∼
θ
+
4
π
{\displaystyle \theta \sim \theta +4\pi }
exp
(
i
t
)
:
(
ψ
,
θ
)
↦
(
ψ
+
t
,
θ
+
t
)
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} t)\colon (\psi ,\theta )\mapsto (\psi +t,\theta +t)}
이며, 초켈러 운동량 사상은
μ
→
=
r
→
+
x
→
{\displaystyle {\vec {\mu }}={\vec {r}}+{\vec {x}}}
이다.
초켈러 운동량 사상에 대한 0의 원상 은
r
→
=
−
x
→
{\displaystyle {\vec {r}}=-{\vec {x}}}
χ
=
ψ
−
θ
{\displaystyle \chi =\psi -\theta }
d
s
2
=
V
(
r
→
)
d
r
→
2
+
V
(
r
→
)
−
1
(
d
χ
+
ω
→
⋅
d
r
→
)
2
+
(
r
+
λ
2
)
(
d
θ
+
|
r
→
|
|
r
→
|
+
L
−
1
(
d
χ
+
ω
→
⋅
d
r
→
)
)
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=V({\vec {r}})\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+V({\vec {r}})^{-1}(\mathrm {d} \chi +{\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}})^{2}+(r+\lambda ^{2})\left(\mathrm {d} \theta +{\frac {|{\vec {r}}|}{|{\vec {r}}|+L^{-1}}}\left(\mathrm {d} \chi +{\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\right)\right)^{2}}
V
(
r
→
)
=
1
|
r
→
|
+
L
{\displaystyle V({\vec {r}})={\frac {1}{|{\vec {r}}|}}+L}
이다. U(1) 게이지 변환에 대한 동치류를 취하려면, 킬링 벡터장
∂
/
∂
θ
{\displaystyle \partial /\partial \theta }
d
s
2
=
V
(
r
→
)
d
r
→
2
+
V
(
r
→
)
−
1
(
d
χ
+
ω
→
⋅
d
r
→
)
2
+
(
r
+
λ
2
)
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=V({\vec {r}})\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+V({\vec {r}})^{-1}(\mathrm {d} \chi +{\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}})^{2}+(r+\lambda ^{2})}
을 얻는다.
토브-너트 공간을 정의하는 활 그림(영어 : bow diagram ) 토브-너트 공간은 활 그림(영어 : bow diagram )으로 구성할 수 있다.[ 4] :§3
하나의 구간과 하나의 변으로 구성된다.
구간의 길이는
L
{\displaystyle L}
기번스-호킹 가설 풀이 에서 퍼텐셜의 상수항)이다.
구간 위의 벡터 다발 의 차원은 1이다. (즉, 선다발 이다.) 즉, 그 해는 남 방정식
T
0
,
T
1
,
T
2
,
T
3
:
[
−
L
/
2
,
L
/
2
]
→
R
{\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3}\colon [-L/2,L/2]\to \mathbb {R} }
(
d
d
s
−
i
T
0
)
T
→
(
s
)
=
0
{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}-\mathrm {i} T_{0}\right){\vec {T}}(s)=0}
및 복소수
B
0
,
B
1
∈
C
{\displaystyle B_{0},B_{1}\in \mathbb {C} }
로 정의된다.
B
0
,
B
1
{\displaystyle B_{0},B_{1}}
선다발 의, 구간 양끝의 올 사이의 (쌍방향의) 선형 변환 에 해당한다.
이 위에는 게이지 군
C
∞
(
[
−
L
/
2
,
L
/
2
]
,
U
(
1
)
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }([-L/2,L/2],\operatorname {U} (1))}
이 작용한다. 게이지 군의 원소
g
:
[
−
L
/
2
,
L
/
2
]
→
U
(
1
)
{\displaystyle g\colon [-L/2,L/2]\to \operatorname {U} (1)}
는 다음과 같이 작용한다.
T
0
↦
g
−
1
T
0
g
+
i
g
−
1
g
˙
{\displaystyle T_{0}\mapsto g^{-1}T_{0}g+\mathrm {i} g^{-1}{\dot {g}}}
T
i
↦
g
−
1
T
i
g
{\displaystyle T_{i}\mapsto g^{-1}T_{i}g}
B
0
↦
g
−
1
(
−
L
/
2
)
B
0
g
(
l
/
2
)
{\displaystyle B_{0}\mapsto g^{-1}(-L/2)B_{0}g(l/2)}
B
1
↦
g
−
1
(
L
/
2
)
B
0
g
(
−
l
/
2
)
{\displaystyle B_{1}\mapsto g^{-1}(L/2)B_{0}g(-l/2)}
이를 사용하여, 게이지 퍼텐셜
T
0
{\displaystyle T_{0}}
상수 함수 로 놓을 수 있다. 그렇다면, 남 방정식 에 따라서
T
1
,
T
2
,
T
3
{\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3}}
상수 함수 가 된다.
S
1
×
R
3
⏟
(
T
0
,
T
1
,
T
2
,
T
3
)
×
R
4
⏟
B
0
,
B
1
/
/
/
U
(
1
)
{\displaystyle \underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{3}} _{(T_{0},T_{1},T_{2},T_{3})}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{4}} _{B_{0},B_{1}}/\!/\!/\operatorname {U} (1)}
즉, 이는
R
4
×
R
3
×
S
1
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}}
토브-너트 계량은 점근 국소 평탄 공간 이다. 즉,
|
r
→
|
→
∞
{\displaystyle |{\vec {r}}|\to \infty }
S
1
×
R
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{3}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
S
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}
호프 올뭉치 의 꼴을 하며, 따라서 등각 무한의 위상은 사실
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
S
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}
다중 토브-너트 공간도 마찬가지로 점근 국소 평탄 공간 을 이루며, 이 경우 일반적으로 등각 무한은
S
3
/
Cyc
(
n
)
=
{
(
z
,
w
)
∈
C
2
:
|
z
|
2
+
|
w
|
2
=
1
}
(
z
,
w
)
∼
(
t
z
,
t
w
)
(
t
n
=
1
)
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\operatorname {Cyc} (n)={\frac {\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z|^{2}+|w|^{2}=1\}}{(z,w)\sim (tz,tw)\quad (t^{n}=1)}}}
의 꼴이다. 이들은 역시 올다발
S
1
↪
S
3
/
Cyc
(
n
)
↠
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}/\operatorname {Cyc} (n)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}}
[
(
z
,
w
)
]
↦
(
|
z
|
2
−
|
w
|
2
,
2
z
w
¯
)
{\displaystyle [(z,w)]\mapsto (|z|^{2}-|w|^{2},2z{\bar {w}})}
를 구성한다.
L
→
0
{\displaystyle L\to 0}
점근 국소 유클리드 공간 을 이룬다. 이 경우 마찬가지로 ALE 분류가 존재하며, 가장 간단한 경우는 에구치-핸슨 공간 이다.
토브-너트 공간의 등거리 대칭군은
U
(
2
)
≅
U
(
1
)
×
SU
(
2
)
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {U} (2)\cong {\frac {\operatorname {U} (1)\times \operatorname {SU} (2)}{\operatorname {Cyc} (2)}}}
이다.[ 5] :296, §3
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
SO
(
4
)
=
SU
(
2
)
×
SU
(
2
)
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (4)={\frac {\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}{\operatorname {Cyc} (2)}}}
의 한 부분군 이며, 구체적으로
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
SO(4) 회전 가운데
ω
{\displaystyle \omega }
킬링 벡터장 을 갖는다.
이 대칭군은 토브-너트 공간 위에 추이적 작용 을 가지므로, 토브-너트 공간은 동질 공간(영어 : homogeneous space )이다. 즉, 모든 점이 다 똑같이 보인다. 그러나 토브-너트 공간은 등방적(isotropic )이지 못하다. 즉, 주어진 점에서부터 서로 다른 방향들이 다르게 보인다.
SO(2) 대칭 아래서, 토브-너트 공간은 하나의 고정점을 가지며, 이는 고정점의 분류에서 (1,1)차 너트 에 해당한다.[ 5] 볼트 는 존재하지 않는다.
일반적 다중 토브-너트 공간의 대칭군은
N
≥
3
{\displaystyle N\geq 3}
너트 이다. 이는 기번스-호킹 가설 풀이 의 퍼텐셜의
N
{\displaystyle N}
N
=
2
{\displaystyle N=2}
에이브러햄 토브 (1968년 사진) 에이브러햄 해스켈 토브(영어 : Abraham Haskel Taub , 1911〜1999)가 1951년에 발견하였다.[ 6] :§7 [ 7] 영어 : Ezra Theodore Newman , 1929〜)과 루이스 탐부리노(영어 : Louis A. Tamburino ), 시어도어 운티(영어 : Theodore Unti )가 1963년에 토브의 해를 특이점을 넘겨 연장시켰다.[ 8]
로런츠 부호수의 토브-너트 공간은 여러 기묘한 성질을 보이며, 이 때문에 찰스 미스너(영어 : Charles W. Misner , 1932〜)는 “토브-너트 공간은 거의 모든 명제에 대한 예외”라는 제목의 논문을 쓰기도 했다.[ 9]
다중 토브-너트 공간은 스티븐 호킹 이 1977년에 발견하였다.[ 10] [ 11]
토브-너트 공간은 초켈러 다양체 이므로, 끈 이론 에서 매우 중요한 역할을 한다. 특히, M이론 에서 D6-막 은 토브-너트 공간으로 표현된다. 구체적으로, ⅡA종 초끈 이론에서, 어떤 7차원 준 리만 다양체
M
{\displaystyle M}
M
×
R
3
{\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{3}}
M
{\displaystyle M}
D6-막 을 감은 상태는 M이론 을
M
×
TN
{\displaystyle M\times \operatorname {TN} }
축소화 한 것에 해당한다.[ 2] :§3.4.3
로런츠 계량 부호수의 토브-너트 공간은 일반 상대성 이론 의 해로 간주할 수 있다. 이 경우, 이 해는 여러 기묘한 성질을 가진다.[ 12] :567–568 [ 9]
↑ Clarkson, Richard (2005). 《Taub-NUT Spacetime in the(A)dS/CFT and M-Theory》 (영어). 박사 학위 논문. University of Waterloo. Bibcode :2005PhDT........18C . ↑ 가 나 다 Witten, Edward (2009). “Branes, instantons, and Taub-NUT spaces”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2009 (6): 67. arXiv :0902.0948 . Bibcode :2009JHEP...06..067W . doi :10.1088/1126-6708/2009/06/067 . ISSN 1029-8479 . ↑ Gaeta, G.; M. A. Rodríguez (2012). “Hyperkähler structure of the Taub–NUT metric”. 《Journal of Nonlinear Mathematical Physics》 19 (2): 226–235. doi :10.1142/S1402925112500143 . ↑ Cherkis, Sergey A. “Instantons on the Taub–NUT space” (영어). arXiv :0902.4724 . ↑ 가 나 Gibbons, Gary W. ; Hawking, Stephen (1979년 10월). “Classification of gravitational instanton symmetries” . 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 66 (3): 291–310. doi :10.1007/BF01197189 . MR 535152 . ↑ Taub, Abraham Haskel (1951년 5월). “Empty space-times admitting a three parameter group of motions”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 53 : 472–490. doi :10.2307/1969567 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1969567 . MR 0041565 . Zbl 1063.83525 . ↑ MacCallum, M. (2004년 12월). “Editor's Note: Empty Space-Times Admitting a Three Parameter Group of Motions, by A. H. Taub”. 《General Relativity and Gravitation》 36 (12): 2689–2697. Bibcode :2004GReGr..36.2689M . doi :10.1023/B:GERG.0000048983.98096.30 . ISSN 0001-7701 . Zbl 1063.83523 . ↑ Newman, Ezra Theodore; Tamburino, Louis A.; Unti, Theodore (1963년 7월). “Empty-space generalization of the Schwarzschild metric”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 4 (7): 915–923. Bibcode :1963JMP.....4..915N . doi :10.1063/1.1704018 . ISSN 0022-2488 . MR 0152345 . Zbl 115.43305 . ↑ 가 나 Misner, Charles W. (1965년 11월). 《Taub–NUT space as a counterexample to almost anything》 (PDF) . Technical Report (영어) 529 . University of Maryland. ↑ Hawking, Stephen W. (1977년 2월 7일). “Gravitational instantons”. 《Physics Letters A》 (영어) 60 (2): 81–83. doi :10.1016/0375-9601(77)90386-3 . ↑ Gibbons, Gary W. ; Hawking, Stephen W. (1978년 10월 9일). “Gravitational multi-instantons”. 《Physics Letters B》 (영어) 78 (4): 430–432. doi :10.1016/0370-2693(78)90478-1 . ↑ Bonnor, W. B. (1992년 5월). “Physical interpretation of vacuum solutions of Einstein’s equations. Part Ⅰ. Time-independent solutions”. 《General Relativity and Gravitation》 24 (5): 551–574. Bibcode :1992GReGr..24..551B . doi :10.1007/BF00760137 . ISSN 0001-7701 .
![{\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3}\colon [-L/2,L/2]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c758cf02aea79f13ceab830c1311573d86652955)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }([-L/2,L/2],\operatorname {U} (1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c30d2b5b92b73bf9a9106d6a4d649d8fe4a19a)
![{\displaystyle g\colon [-L/2,L/2]\to \operatorname {U} (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83002f196c87cd717fe1fbe7a9b0a47684f89510)
![{\displaystyle [(z,w)]\mapsto (|z|^{2}-|w|^{2},2z{\bar {w}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/304385d93298b44c40ad0d8e0e38708a14c29806)
