토브-너트 공간

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일반 상대성 이론에서, 토브-너트 공간(-空間, 영어: Taub–NUT space [tɔːb nʌt speɪs])은 아인슈타인 방정식의 4차원 진공해이며, 특히 4차원 초켈러 다양체이자 점근 국소 평탄 공간이다. 이 해는 여러 매우 특이한 성질들을 가진다.[1]

정의[편집]

토브-너트 공간은 4차원 비콤팩트 초켈러 다양체이며, 미분 동형이다.[2]:§2.3 이는 다양한 방법으로 구성할 수 있다.

기번스-호킹 가설 풀이를 통한 구성[편집]

그 위의 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표

를 정의하자. 그렇다면, 토브-너트 공간의 계량은 다음과 같다.

여기서

위의 1차 미분 형식 가운데

인 것이다. 이는 사실 위의 1차 미분 형식으로 확장될 수 있다. 은 상수이다. 여기서 은 무한대에서 호프 원다발의 올의 크기 를 결정하는 상수이다.

일반 상대성 이론에서는 이 해를 로런츠 계량 부호수 −+++로 해석적 연속을 취할 수 있다. 이는 의 치환에 해당한다.

보다 일반적으로,

로 치환한다면, 여러 개의 토브-너트들이 공존하는 다중 토브-너트 공간(영어: multi-Taub–NUT space)을 얻는다. 이는 A형 점근 국소 평탄 공간에 해당한다.

초켈러 축소를 통한 구성[편집]

토브-너트 공간은 심플렉틱 몫공간 연산을 통해 정의할 수 있다.[3][2]:§2.5

구체적으로, 초켈러 공간

위에서 U(1)의 작용을 생각하자. 구체적으로, 평탄한 유클리드 공간 위의 적절한 좌표계 에서 평탄한 리만 계량은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같다.

여기서 이며,

을 따른다. 즉, 미분 형식 표기법으로는

이다. 마찬가지로, 위의 좌표를 라고 하자. 그 위의 리만 계량

이며, 이다. 이 위에 U(1)의 작용은

이며, 초켈러 운동량 사상은

이다.

초켈러 운동량 사상에 대한 0의 원상에 해당한다. 즉, 게이지 불변 좌표 를 정의하며 원상의 좌표는

이다. U(1) 게이지 변환에 대한 동치류를 취하려면, 킬링 벡터장 에 대한 직교 성분을 취해야 하므로, 마지막 항을 생략하는 것에 해당한다. 즉, 구체적 계량

을 얻는다.

남 방정식을 통한 구성[편집]

토브-너트 공간을 정의하는 활 그림(영어: bow diagram)

토브-너트 공간은 활 그림(영어: bow diagram)으로 구성할 수 있다.[4]:§3 구체적으로, 이에 대응되는 활은 다음과 같다.

즉, 그 해는 남 방정식

및 복소수

로 정의된다. 선다발의, 구간 양끝의 올 사이의 (쌍방향의) 선형 변환에 해당한다.

이 위에는 게이지 군

이 작용한다. 게이지 군의 원소

는 다음과 같이 작용한다.

이를 사용하여, 게이지 퍼텐셜 상수 함수로 놓을 수 있다. 그렇다면, 남 방정식에 따라서 역시 상수 함수가 된다.

즉, 이는 의 초켈러 축소로 귀결된다.

성질[편집]

점근적 형태[편집]

토브-너트 계량은 점근 국소 평탄 공간이다. 즉, 극한에서, 토브-너트 계량은 의 꼴을 가진다. 의 무한인 위에서, 호프 올뭉치의 꼴을 하며, 따라서 등각 무한의 위상은 사실 가 된다. 이 경우, 은 무한대에서 유한한 크기를 갖는다.

다중 토브-너트 공간도 마찬가지로 점근 국소 평탄 공간을 이루며, 이 경우 일반적으로 등각 무한은

의 꼴이다. 이들은 역시 올다발

를 구성한다.

극한[편집]

극한을 취하면, 이 해들은 점근 국소 유클리드 공간을 이룬다. 이 경우 마찬가지로 ALE 분류가 존재하며, 가장 간단한 경우는 에구치-핸슨 공간이다.

대칭[편집]

토브-너트 공간의 등거리 대칭군은

이다.[5]:296, §3 여기서

의 한 부분군이며, 구체적으로 SO(4) 회전 가운데 를 보존하는 것들이다. 즉, 토브-너트 공간은 4개의 킬링 벡터장을 갖는다.

이 대칭군은 토브-너트 공간 위에 추이적 작용을 가지므로, 토브-너트 공간은 동질 공간(영어: homogeneous space)이다. 즉, 모든 점이 다 똑같이 보인다. 그러나 토브-너트 공간은 등방적(isotropic)이지 못하다. 즉, 주어진 점에서부터 서로 다른 방향들이 다르게 보인다.

SO(2) 대칭 아래서, 토브-너트 공간은 하나의 고정점을 가지며, 이는 고정점의 분류에서 (1,1)차 너트에 해당한다.[5] 반대로, 볼트는 존재하지 않는다.

일반적 다중 토브-너트 공간의 대칭군은 일 때 O(2)이며, 이에 대한 고정점들은 모두 너트이다. 이는 기번스-호킹 가설 풀이의 퍼텐셜의 개의 특이점들에 해당한다. 일 때는 대칭군은 U(1)×U(1)이며, 둘째 U(1)은 두 너트를 통과하는 축을 중심으로 하는 회전이다.

역사[편집]

에이브러햄 토브 (1968년 사진)

에이브러햄 해스켈 토브(영어: Abraham Haskel Taub, 1911〜1999)가 1951년에 발견하였다.[6]:§7[7] 에즈라 시어도어 뉴먼(영어: Ezra Theodore Newman, 1929〜)과 루이스 탐부리노(영어: Louis A. Tamburino), 시어도어 운티(영어: Theodore Unti)가 1963년에 토브의 해를 특이점을 넘겨 연장시켰다.[8]

로런츠 부호수의 토브-너트 공간은 여러 기묘한 성질을 보이며, 이 때문에 찰스 미스너(영어: Charles W. Misner, 1932〜)는 “토브-너트 공간은 거의 모든 명제에 대한 예외”라는 제목의 논문을 쓰기도 했다.[9]

다중 토브-너트 공간은 스티븐 호킹이 1977년에 발견하였다.[10][11]

응용[편집]

토브-너트 공간은 초켈러 다양체이므로, 끈 이론에서 매우 중요한 역할을 한다. 특히, M이론에서 D6-막은 토브-너트 공간으로 표현된다. 구체적으로, ⅡA종 초끈 이론에서, 어떤 7차원 준 리만 다양체 이 주어졌을 때, 에서 에 1개의 D6-막을 감은 상태는 M이론 위에 축소화한 것에 해당한다.[2]:§3.4.3 (여기서 TN은 토브-너트 공간을 뜻한다.) 여러 개의 D6-막을 감은 상태는 다중 토브-너트 공간에 해당한다.

로런츠 계량 부호수의 토브-너트 공간은 일반 상대성 이론의 해로 간주할 수 있다. 이 경우, 이 해는 여러 기묘한 성질을 가진다.[12]:567–568[9]

참고 문헌[편집]

  1. Clarkson, Richard (2005). 《Taub-NUT Spacetime in the(A)dS/CFT and M-Theory》 (영어). 박사 학위 논문. University of Waterloo. Bibcode:2005PhDT........18C. 
  2. Witten, Edward (2009). “Branes, instantons, and Taub-NUT spaces”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2009 (6): 67. arXiv:0902.0948. Bibcode:2009JHEP...06..067W. doi:10.1088/1126-6708/2009/06/067. ISSN 1029-8479. 
  3. Gaeta, G.; M. A. Rodríguez (2012). “Hyperkähler structure of the Taub–NUT metric”. 《Journal of Nonlinear Mathematical Physics》 19 (2): 226–235. doi:10.1142/S1402925112500143. 
  4. Cherkis, Sergey A. “Instantons on the Taub–NUT space” (영어). arXiv:0902.4724. 
  5. Gibbons, Gary W.; Hawking, Stephen (1979년 10월). “Classification of gravitational instanton symmetries”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 66 (3): 291–310. doi:10.1007/BF01197189. MR 535152. 
  6. Taub, Abraham Haskel (1951년 5월). “Empty space-times admitting a three parameter group of motions”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 53: 472–490. doi:10.2307/1969567. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969567. MR 0041565. Zbl 1063.83525. 
  7. MacCallum, M. (2004년 12월). “Editor's Note: Empty Space-Times Admitting a Three Parameter Group of Motions, by A. H. Taub”. 《General Relativity and Gravitation》 36 (12): 2689–2697. Bibcode:2004GReGr..36.2689M. doi:10.1023/B:GERG.0000048983.98096.30. ISSN 0001-7701. Zbl 1063.83523. 
  8. Newman, Ezra Theodore; Tamburino, Louis A.; Unti, Theodore (1963년 7월). “Empty-space generalization of the Schwarzschild metric”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 4 (7): 915–923. Bibcode:1963JMP.....4..915N. doi:10.1063/1.1704018. ISSN 0022-2488. MR 0152345. Zbl 115.43305. 
  9. Misner, Charles W. (1965년 11월). 《Taub–NUT space as a counterexample to almost anything》 (PDF). Technical Report (영어) 529. University of Maryland. 
  10. Hawking, Stephen W. (1977년 2월 7일). “Gravitational instantons”. 《Physics Letters A》 (영어) 60 (2): 81–83. doi:10.1016/0375-9601(77)90386-3. 
  11. Gibbons, Gary W.; Hawking, Stephen W. (1978년 10월 9일). “Gravitational multi-instantons”. 《Physics Letters B》 (영어) 78 (4): 430–432. doi:10.1016/0370-2693(78)90478-1. 
  12. Bonnor, W. B. (1992년 5월). “Physical interpretation of vacuum solutions of Einstein’s equations. Part Ⅰ. Time-independent solutions”. 《General Relativity and Gravitation》 24 (5): 551–574. Bibcode:1992GReGr..24..551B. doi:10.1007/BF00760137. ISSN 0001-7701. 

외부 링크[편집]