초켈러 다양체

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미분기하학에서, 초켈러 다양체(超Kähler多樣體, 영어: hyper-Kähler manifold)는 그 접공간사원수의 좌표를 가진 공간의 구조를 가지는 리만 다양체이다.

정의[편집]

매끄러운 다양체 M 위의 초켈러 구조(超Kähler構造, 영어: hyper-Kähler structure)는 세 개의 서로 선형독립 복소 구조 J^i리만 계량 g로 이루어진다. 계량에 대하여, J^1, J^2, J^3 각각이 켈러 구조를 이루어야 한다. 이에 따라, 임의의 단위벡터 \mathbf x\in S^2\subset\mathbb R^4 xa^2+b^2+c^2=1을 만족하는 세 실수 \mathbf x(x,y,z)\in\mathbb R^3가 주어지면, x^iJ^i도 마찬가지로 복수 구조를 이룬다. 즉, 2차원 의 각 점에 복소 구조가 대응하게 된다. 초켈러 다양체는 초켈러 구조를 갖춘 매끄러운 다양체이다.

즉, 초켈러 구조는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.[1]:§2.1

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시킨다.

이들 데이터로부터 세 개의 심플렉틱 구조

\omega_{\mu\nu}^i=J^{\mu'i}_\mu g_{\mu'\nu}

를 정의할 수 있다.

성질[편집]

초켈러 다양체의 (실수) 차원은 항상 4의 배수이다. 이는 켈러 다양체의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것과 마찬가지다.

4n차원 초켈러 다양체의 홀로노미\operatorname{USp}(4n)의 부분군이다. 이에 따라, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이자 사원수 켈러 다양체(quaternion-Kähler manifold)이다. (칼라비-야우 다양체는 홀로노미가 \operatorname{SU}(n)의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가 \operatorname{USp}(4n)\times\operatorname{USp}(4)인 경우다. \operatorname{USp}(4n)\subset\operatorname{SU}(4n)이다.)

위상수학적 성질[편집]

4n차원 콤팩트 초켈러 다양체의 베티 수 b_k오일러 지표 \chi(M)에 대하여, 다음이 성립한다.[2]

\sum_{k=0}^{4n}(-1)^k(6k^2-2n(12n+1))b_i=0
b_{2k}\ge\binom{k+2}2\qquad(k\le n)
4\mid b_{2k+1}\forall k
12\mid n\chi(M)

8차원 콤팩트 초켈러 다양체의 가능한 베티 수에 대해서는 많은 정보가 알려져 있다.[3]

호지 이론적 성질[편집]

4n차원 콤팩트 초켈러 다양체의 호지 수 h^{p,q}에 대하여, 다음이 성립한다.[2]

h^{p,q}=h^{q,p}=h^{2n-p,2n-q}=h^{2n-q,2n-p}=h^{2n-p,q}=h^{2n-q,p}\qquad\forall 0\le p,q\le 2n
h^{p,q}\ge h^{p+1,q-1}\forall p\ge q

응용[편집]

초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서 \mathcal N=2)를 가진 초대칭 게이지 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 중력이 없을 경우, 16개의 초전하를 가진 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다.[1][4] 마찬가지로, 초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형\mathcal N=(4,4) 초등각 장론을 이룬다.

역사[편집]

에우제니오 칼라비가 1979년에 도입하였다.[5]

참고 문헌[편집]

  1. Antoniadis, I.; B. Pioline (1997년 10월 30일). “Higgs Branch, Hyper-Kähler quotient and duality in SUSY N=2 Yang–Mills theories” (영어). 《International Journal of Modern Physics A》 12 (27): 4907–4931. arXiv:hep-th/9607058. Bibcode:1997IJMPA..12.4907A. doi:10.1142/S0217751X97002620. ISSN 0217-751X. 
  2. Kurnosov, Nikon (2014). “The second Betti number of hyperkähler manifolds” (영어). arXiv:1401.0510. 
  3. Guan, Daniel (2001). “On the Betti numbers of irreducible compact hyperkähler manifolds of complex dimension four” (영어). 《Mathematical Research Letters》 8: 663–669. 
  4. Hitchin, Nigel J.; A. Karlhede, U. Lindström, M. Roček (1987년 12월). “Hyperkähler metrics and supersymmetry” (영어). 《Communications in Mathematical Physics》 108 (4): 535–589. Bibcode:1987CMaPh.108..535H. doi:10.1007/BF01214418. ISSN 0010-3616. MR 0877637. Zbl 0612.53043. 
  5. Calabi, E. (1979). “Métriques kähleriennes et fibrés holomorphes” (프랑스어). 《Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure (quatrième série)》 12 (2): 269–294. ISSN 0012-9593. MR 543218. Zbl 0431.53056. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]