사상류군

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위상수학에서, 사상류군(寫像類群, 영어: mapping class group)은 어떤 위상 공간자기 위상 동형들의 호모토피류들로 구성된 이다.

정의[편집]

위상 공간 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위상 동형 사상 들의 집합은 함수의 합성에 대하여 을 이루며, 이 위에 콤팩트-열린집합 위상을 부여하면 이는 위상군 을 이룬다. 항등원을 포함하는 연결 성분은 그 정규 부분군 를 이룬다. 이에 따라, 짧은 완전열

이 존재한다. 이 몫군

사상류군이라고 하며, 그 원소를 사상류라고 한다.

방향 보존 사상류군[편집]

만약 가향 다양체라고 할 때, 방향을 보존하는 위상 동형 사상들의 부분군

이 존재한다. 이에 따라, 마찬가지로 사상류군의 부분군

을 정의할 수 있으며, 이를 방향 보존 사상류군(영어: orientation-preserving mapping class group)이라고 한다.

토렐리 군[편집]

특이 호몰로지함자성에 따라, 사상류 는 호몰로지 군 위에 작용한다.

이 작용이 자명한 사상류, 즉 모든 호몰로지류를 보존하는 사상류들로 구성된 부분군을 토렐리 군(영어: Torelli group) 이라고 한다.

성질[편집]

닐센-서스턴 분류에 따르면, 임의의 콤팩트 연결 리만 곡면 의 방향 사상류 에 대하여, 다음 세 조건 가운데 하나 이상이 성립한다.

  • 유한 차수이다. 즉, 인 양의 정수 가 존재한다.
  • 의 작용에 의하여 보존되는 서로소 폐곡선들이 존재한다.
  • 유사 아노소프 사상(영어: pseudo-Anosov map)이다.

덴-닐센-베르 정리(영어: Dehn–Nielsen–Baer theorem)에 따르면, 임의의 콤팩트 연결 리만 곡면 에 대하여, 다음 두 군이 서로 표준적으로 동형이다.

여기서 기본군이며, 은 어떤 군의 외부자기동형군이다.

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이산 공간[편집]

이산 공간 위의 자기 위상 동형은 순열 과 같으며, 그 위의 콤팩트-열린집합 위상 역시 이산 공간이다. 즉, 의 사상류군은 대칭군과 같다.

이 경우, (0차) 특이 호몰로지

이며, 이에 따라 토렐리 군은 자명군이다.

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의 경우,

이다. 특히, 토렐리 군은 자명군이다.

역사[편집]

닐센-서스턴 정리는 야코브 닐센(덴마크어: Jakob Nielsen)과 윌리엄 서스턴이 증명하였다. 덴-닐센-베르 정리는 막스 덴과 야코브 닐센과 라인홀트 베르(독일어: Reinhold Baer)가 증명하였다.

외부 링크[편집]