11차원 초중력

이론물리학에서 11차원 초중력(十一次元超重力, 영어: eleven-dimensional supergravity)은 (10,1)차원에 정의되는 초중력 이론이다. 이 이상의 차원에서는 초대칭이 존재할 수 없으며, 11차원 초중력은 M이론의 무질량 입자 유효 이론이다.

정의

11차원은 초대칭이 존재할 수 있는 (로런츠 계량 부호수) 최다(最多) 차원이다. 이는 12차원 이상인 경우에는 스핀이 2를 초과하는 입자들이 존재하게 되어, 상호작용하는 양자장론을 정의할 수 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 (3차 이상 도함수항을 제외하면) 유일하며, 이 이론을 11차원 초중력이라고 한다.

성질

대칭

이 이론은 32개의 초전하(supercharge)를 가지며, 이는 ${\mathcal {N}}=1$ 초대칭에 해당한다. 그 초대칭은 리 초대수

${\mathfrak {osp}}(1|32)$

에 의하여 주어진다. 그 가환 성분, 즉 R대칭군은 리 대수

${\mathfrak {o}}(32)$

이다. 11차원에서, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, R대칭은 이 위에 회전군으로 작용한다.

특히, 이 경우 그래비티노 초대칭 변환은

$\delta _{\epsilon }\psi _{M}=D_{M}\epsilon -{\frac {1}{12\cdot 4!}}F_{NPQR}(\Gamma ^{NPQR}{}_{M}-8\delta _{M}^{N}\Gamma ^{PQR})\epsilon$

의 꼴이다.^:411:(3.10) 여기서

$D_{\mu }\epsilon =\partial _{\mu }+\omega _{\mu }$

는 스핀 접속을 포함하는, 스피너 공변 미분이다.

$\delta _{\epsilon }=0$은 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다.

장

11차원 초중력은 중력장 $G_{MN}$과 마요라나 그래비티노 $\psi _{M}$, 또 3차 미분형식 게이지장 $C_{MNP}$를 포함한다. 이들은 다음과 같다.

이름	기호	푸앵카레 대칭 표현	게이지 대칭
중력장	$G_{MN}$	대칭 텐서	미분 동형
그래비티노	$\psi _{M}$	벡터-마요라나 스피너	국소 초대칭 변환
게이지장	$C_{MNP}$	3차 미분 형식	$C_{MNP}\mapsto C_{MNP}+\mathrm {d} _{[M}B_{NP]}$

작용

11차원 초중력의 작용은 다음과 같다.

${\begin{array}{rcl}{\mathcal {L}}&=&+{\frac {1}{2\kappa ^{2}}}eR-{\frac {1}{2}}e{\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNP}D_{N}[{\frac {1}{2}}(\omega -{\overline {\omega }})]\psi _{P}\\&&+{\frac {1}{2\cdot 4!}}eF_{MNPQ}^{2}+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{16\cdot 4!}}e({\overline {\psi }}_{M}\Gamma ^{MNPQRS}\psi _{S}+12{\overline {\psi }}^{N}\Gamma ^{PQ}\psi ^{R})(F+{\overline {F}})_{NPQR}\\&&+{\frac {{\sqrt {2}}\kappa }{4!\cdot 4!\cdot 3!}}\varepsilon ^{M_{1}\dots M_{11}}F_{M_{1}\dots M_{4}}F_{M_{5}\dots M_{8}}C_{M_{9}M_{10}M_{11}}\end{array}}$

여기서

• $M,N,\dotsc$는 11차원 굽은 공간 지표이다.
• $A,B,\dotsc$는 필바인(11차원 민코프스키 공간) 지표이다.
• $R$는 리치 스칼라이다.
• $e_{M}^{A}$은 필바인이며, $\eta _{AB}e_{M}^{A}e_{N}^{B}=G_{MN}$이 11차원 계량 텐서이다.
  • $e=|\det(e_{M}^{A})|={\sqrt {|\det g_{MN}|}}$은 부피 형식이다.
  • $\omega$는 필바인으로 정의되는 스핀 접속이다.
• $F_{MNPQ}=\partial _{[M}C_{NPQ]}$는 $C$의 4차 미분 형식 장세기이다.
• $\epsilon ^{M_{1}\dotsc M_{11}}$은 (천-사이먼스 꼴의 항을 적기 위한) 11차원 레비치비타 기호이다.
• $\kappa =8\pi G$는 중력 상수의 8π배이다.

L∞-대수를 통한 구성

다음과 같은 슈발레-에일렌베르크 대수를 갖는, $\mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2$ 등급의 (즉, 초벡터 공간 범주에서 정의된) L∞-대수를 생각하자.^:(3.2)

이름	기호	$\mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2$ 등급	미분
필바인	$e^{a}$	(1,+)	$\mathrm {d} e^{a}=\omega ^{a}{}_{b}\wedge e^{b}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} {\bar {\psi }}\gamma ^{a}\psi$
스핀 접속	$\omega ^{ab}$	(1,+)	$\mathrm {d} \omega ^{a}{}_{c}=\omega ^{a}{}_{b}\wedge \omega ^{b}{}_{c}$
그래비티노	$\psi$	(1,−)	${\tfrac {1}{4}}\omega ^{a}{}_{b}\gamma _{a}{}^{b}\psi$
3차 미분 형식 (전기) 게이지 장	$C_{3}$	(3,+)	${\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}\gamma _{ab}\wedge \psi \wedge e^{a}\wedge e^{b}$
6차 미분 형식 (자기) 게이지 장	$C_{6}$	(6,+)	$\mathrm {d} C_{6}=-{\tfrac {1}{2}}{\bar {\psi }}\wedge \gamma _{a_{1}\dotso a_{5}}\wedge e^{a_{1}}\wedge \dotsb \wedge e^{a_{5}}-{\tfrac {13}{2}}{\bar {\psi }}\gamma _{ab}\wedge e^{a}\wedge e^{b}\wedge C_{3}$

이 L∞-대수 ${\mathfrak {sugra}}$를 초중력 L∞-대수라고 한다. 이 가운데, $\psi$와 $C_{3}$, $C_{6}$를 생략하면, 푸앵카레 리 대수 ${\mathfrak {io}}(10,1)$을 얻는다.

이제, 그 베유 대수(영어: Weil algebra)

$\operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})=\bigvee ({\mathfrak {g}}^{*}\oplus {\mathfrak {g}}[1])$

를 정의할 수 있다. 이는 $\mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} /2$-등급 미분 등급 대수이다.

시공간이 매끄러운 다양체 $M$이라고 할 때, 그 위의 초중력 장들은 다음과 같다.

$\operatorname {W} ({\mathfrak {sugra}})\to \Omega (M)$

이제, 베유 대수에서 다음과 같은 장세기들을 정의할 수 있다.

$\mathrm {d} _{\mathrm {W} }e^{a}$ (비틀림 텐서)

$\mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3}$

$\mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{6}+15(\mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3})\wedge C_{3}$

$\mathrm {d} _{\mathrm {W} }\psi$

$\mathrm {d} _{\mathrm {W} }\omega ^{ab}$ (리치 곡률 텐서의 일반화)

11차원 초중력의 (고전적) 장방정식들이 만족시켜질 필요 충분 조건은

1. 이 대상들이 $e^{a}$와 $\psi$로 생성되는 아이디얼에 속하며,
2. $\psi$를 포함하는 항들의 (미분 형식) 계수는 $e$만을 포함하는 항의 계수의 (쐐기곱에 대한) 다항식이어야 한다.

즉, 예를 들어, $C_{3}$의 경우, 다음과 같은 4차 미분 형식 $G_{4}\in \Omega ^{4}(M;\mathbb {R} )$이 존재하여야 한다.

$\mathrm {d} _{\mathrm {W} }C_{3}=(G_{4})_{abcd}e^{a}\wedge e^{b}\wedge e^{c}\wedge e^{d}$

이러한 꼴의 조건을 리오노미(영어: rheonomy)라고 한다.

차원 축소

11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소를 가하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다.

차원	이론
11	11차원 초중력
10	ⅡA형 (${\mathcal {N}}=(1,1)$) 초중력
9	${\mathcal {N}}=2$ 초중력
8	${\mathcal {N}}=2$ 초중력
7	${\mathcal {N}}=2$ 초중력
6	${\mathcal {N}}=(2,2)$ 초중력
5	${\mathcal {N}}=4$ 초중력
4	${\mathcal {N}}=8$ 초중력

E₇과의 관계

11차원 초중력을

$\mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{3,1}\times \mathbb {R} ^{7}$

$z^{M}=(x^{\mu },y^{m})$

위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장 (계량 텐서 $G$와 게이지 장 $C$)은 다음과 같이 분해된다.

$G_{MN}={\begin{pmatrix}G_{\mu \nu }&G_{m\mu }\\G_{m\mu }&G_{mn}\end{pmatrix}}$

$A_{MNP}=\left(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho }\right)$

이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.

(10,1)차원	(3,1)+7차원	(3,1)차원 (유사)스칼라장의 수	(3,1)차원 벡터장의 수	(3,1)차원 텐서장의 수
$G_{MN}$	$G_{\mu \nu }$	—	—	1
	$G_{\mu m}$	—	7	—
	$G_{mn}$	28	—	—
$C_{MNP}$	$C_{\mu \nu \rho }$	—	—	—
	$C_{m\mu \nu }$	7	—	—
	$C_{mn\mu }$	—	21	—
	$C_{mnp}$	35	—	—
계		70	28	1

이제, 위 장들 가운데, 38+35개의 스칼라장 $(G_{mn},C_{mnp})$ 및

$\partial _{\mu }\phi _{m}=\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\nu }C_{\rho \sigma m}$

에 의하여 정의되는 7개의 스칼라장 $\phi _{m}$을 생각하자. 이들은 총 70개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간

$\operatorname {E} _{7(7)}/\operatorname {SU} (8)$

의 좌표를 이룬다. 여기서 $\operatorname {E} _{7(7)}$은 리 군 E₇의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군이다.

스칼라장과 유사스칼라장

28개의 스칼라장 $(G_{m,n})_{1\leq m,n\leq 7}$과 $C_{mn\mu }$를 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장 $\phi _{m}$을 생각하자.

이제, 다음과 같은 8×8 정사각 행렬을 정의하자.^:(4.4)

$S=\Delta ^{-3/4}{\begin{pmatrix}\Delta G^{mn}-\phi ^{m}i\phi ^{n}&\phi ^{n}\\\phi ^{m}&-1\end{pmatrix}}_{}\qquad (i,j\in \{1,2,\dotsc ,7\})\in \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )$

$\Delta =|\det(g_{mn})_{1\leq m,n\leq 7}|$

이는 동차 공간 $\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (8;\mathbb {R} )$의 원소로 간주된다. (이 동차 공간은 $63-28=35$차원이므로, 올바른 수의 성분을 갖는다.) 즉, 이는 게이지 변환

$S\mapsto MSM^{-1}\qquad (M\in \operatorname {SO} (8;\mathbb {R} ))$

을 겪는다. 게이지 변환 가운데 $\operatorname {SO} (7;\mathbb {R} )$ 부분은 7개의 내부 차원의 회전군이다.

이 35개의 스칼라장 말고도, 35개의 유사스칼라 $C_{mnp}$가 존재한다. 군론에서, 다음과 같은 가환 그림이 주어진다.

${\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} _{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}$

$\operatorname {SU} (8)\cap \operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )=\operatorname {SO} (8)$

이에 따라, $S$에 35개의 유사스칼라장 성분을 추가하여, $\operatorname {E} _{7(7)}$의 원소로 확장할 수 있다. 다만, $\operatorname {E} _{7(7)}$의 가장 작은 충실한 표현이 54차원이므로, 그 구체적 표기는 복잡하다.^:(4.24)

벡터장

이 이론은 28개의 게이지 보손을 갖는다. 우선, 스칼라장의 $\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (8)$ 대칭에 대하여, 이 보손들은 $\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )$ 및 $\operatorname {SO} (8)$의 28차원 표현으로 변환한다. (이 표현은 8×8 반대칭 행렬로 구성된다.) 즉, 이는 8차원 실수 내적 공간 위의 쌍선형 형식을 이룬다.

4차원에서는 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 2차 미분 형식이다. 이에 따라, 28개의 게이지 보손 장세기와 그 28개의 쌍대 장세기들을 생각하자. 이들은 $\operatorname {E} _{7(7)}$의 56차원 실수 기본 표현을 이룬다. 이는 $\operatorname {E} _{7(7)}$의 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.

${\begin{matrix}\mathbf {28} _{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} _{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {56} _{\mathbb {R} }\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbf {28} _{\mathbb {R} }\oplus \mathbf {28} _{\mathbb {R} }&\to &\mathbf {28} _{\mathbb {C} }\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}\operatorname {SL} (8;\mathbb {R} )&\to &\operatorname {E} _{7(7)}\\\uparrow &&\uparrow \\\operatorname {SO} (8)&\to &\operatorname {SU} (8)\end{matrix}}$

여기서 $\operatorname {SU} (8)$의 표현은 8×8 복소수 반대칭 행렬로 구성된다.

페르미온

11차원 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이는 4차원에서 4개의 디랙 스피너를 이룬다. 11차원 마요라나 그래비티노는 10×32 =320개의 실수 성분을 갖는다.

4차원에서, 이는 28개의 디랙 스피너 및 8개의 마요라나 그래비티노(즉, 4개의 디랙 그래비티노)를 이룬다.

$\mathbf {320} \to 28\times \left((0,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},0)\right)\oplus 4\times \left((1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)\right)$

$320=28\times 8+4\times 24$

28개의 디랙 스피너는 게이지 군 SU(8)의 복소수 28차원 (실수 56차원) 표현을 이룬다^{:170, §6} (8×8 반대칭 행렬). 8개의 마요라나 그래비티노는 SU(8)의 8차원 복소수 표현을 이룬다.^{:170, §6}

페르미온들은 대역적 대칭 $\operatorname {E} _{7(7)}$에 대하여 변환하지 않는다. 이는 일반 상대성 이론에서 페르미온이 필바인의 대칭 $\operatorname {Spin} (1,3)$의 표현을 이루지만 $\operatorname {GL} (4)$의 표현을 이루지 않는 것과 마찬가지다.

E₆과의 관계

11차원 초중력을

$\mathbb {R} ^{10,1}=\mathbb {R} ^{5,1}\times \mathbb {R} ^{6}$

$z^{M}=(x^{\mu },y^{m})$

위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장(계량 텐서 $G$와 게이지 장 $C$)은 다음과 같이 분해된다.

$G_{MN}={\begin{pmatrix}G_{\mu \nu }&G_{m\mu }\\G_{m\mu }&G_{mn}\end{pmatrix}}$

$A_{MNP}=\left(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho }\right)$

이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.

(10,1)차원	(4,1)+6차원	(4,1)차원 (유사)스칼라장의 수	(4,1)차원 벡터장의 수	(4,1)차원 대칭 텐서장의 수
$G_{MN}$	$G_{\mu \nu }$	—	—	1
	$G_{\mu m}$	—	6	—
	$G_{mn}$	$\textstyle {\binom {6+1}{2}}=21$	—	—
$C_{MNP}$	$C_{\mu \nu \rho }$	1	—	—
	$C_{m\mu \nu }$	—	6	—
	$C_{mn\mu }$	—	$\textstyle {\binom {6}{2}}=15$	—
	$C_{mnp}$	$\textstyle {\binom {6}{3}}=20$	—	—
계		42	27	1

이제, 위 장들 가운데, 21+20개의 스칼라장 $(G_{mn},C_{mnp})$ 및

$\partial _{\mu }\phi =\epsilon _{\mu }{}^{\nu \rho \sigma \tau }\partial _{\nu }C_{\rho \sigma \tau }$

에 의하여 정의되는 스칼라장 $\phi$를 생각하자. 이들은 총 42개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간

$\operatorname {E} _{6(6)}/\operatorname {USp} (8)$

의 좌표를 이룬다. 여기서 $\operatorname {E} _{6(6)}$은 단순 리 군 E₆의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군이다.

마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E₆의 27차원 기본 표현을 이룬다.

응용

끈 이론에서, 11차원 초중력은 M이론의 낮은 에너지 눈금 유효 이론이다.

역사

11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르(프랑스어: Eugène Cremmer)와 베르나르 쥘리아(프랑스어: Bernard Julia), 조엘 셰르크가 증명하였다.

외부 링크

• “D=11 N=1 supergravity”. 《nLab》 (영어). 
• “Exceptional generalized geometry”. 《nLab》 (영어). 
• “D'Auria-Fre formulation of supergravity”. 《nLab》 (영어). 
• “Supergravity Lie 6-algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Supergravity Lie 3-algebra”. 《nLab》 (영어).