힐베르트 다양체

기하학에서, 힐베르트 다양체(Hilbert多樣體, 영어: Hilbert manifold)는 국소적으로 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간이다.

정의

힐베르트 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 분해 가능 하우스도르프 공간 $X$
• 분해 가능 무한 차원 실수 힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$
• 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}\subseteq \operatorname {Open} (X)$
• 각 $i\in I$에 대하여, 단사 연속 함수 $\phi _{i}\colon U_{i}\to {\mathcal {H}}$. 또한, 이는 $U_{i}$와 $\phi _{i}(U_{i})$ 사이의 위상 동형을 정의한다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $i,j\in I$에 대하여, 만약 $U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing$이라면, $\phi _{j}\circ \phi _{i}^{-1}\colon \phi _{i}^{-1}(U_{i}\cap U_{j})\to {\mathcal {H}}$는 매끄러운 함수이다.

여기서, 함수 $f\colon U\to {\mathcal {H}}$, $U\subseteq {\mathcal {H}}$가 ‘매끄러운 함수’라는 것은 임의의 $k\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여

$f(x+\Delta x)=f(x)+D_{1}(\Delta x)+D_{2}(\Delta x,\Delta x)+\dotsb +D_{k}(\Delta x,\dotsc ,\Delta x)+o(\|\Delta x\|^{k})$

가 되는 유계 작용소들

$D_{i}\colon {\mathcal {H}}^{\oplus i}\to {\mathcal {H}}\qquad (1\leq i\leq k)$

이 존재함을 뜻한다.

분류

모든 위상 힐베르트 공간 위에는 유일한 매끄러움 구조가 존재한다. 즉, 주어진 위상 공간 위의 매끄러운 힐베르트 공간 구조는 만약 존재한다면 유일하다.

두 힐베르트 다양체 $X$, $Y$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 서로 호모토피 동치이다.
• 위상 동형이다.
• 미분 동형이다.

또한, 두 힐베르트 다양체 사이의 임의의 위상 동형은 (위상 동형을 통하여) 미분 동형과 아이소토픽하다. 서로 호모토픽한 두 위상 동형은 아이소토픽하다.

임의의 힐베르트 다양체 $X$는 ${\mathcal {H}}$의 열린집합과 미분 동형이다.

예

분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간의 임의의 열린집합 $U$는 힐베르트 다양체이다.

사상 공간

다음이 주어졌다고 하자.

• (유한 차원) 콤팩트 리만 다양체 $M$
• (유한 차원) 매끄러운 다양체 $N$

이제, 소볼레프 공간 $\operatorname {W} ^{n,2}(M,N)$을 생각하자. 즉, 그 원소의 $n$차 미분의 L² 노름이 유한하다고 하자. 만약

$2n>\dim M$

이라면, 이는 (매끄러운) 힐베르트 다양체를 이룬다.^:781

특히, 이 경우 만약 매끄러운 함수 $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,N)$에 대하여 $f$의 접공간은 표준적으로 힐베르트 공간인 소볼레프 공간

$\operatorname {W} ^{n,2}(f^{*}\mathrm {T} N)$

이다.

예를 들어, $M=\mathbb {S} ^{1}$이 원이라고 하자. 그렇다면, 힐베르트 다양체를 이루는 고리 공간

$\operatorname {W} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},N)$

을 생각할 수 있다. 이 경우, 소볼레프 조건은 고리 $\gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to N$의 에너지

${\frac {1}{2}}\oint {\dot {\gamma }}^{2}\,\mathrm {d} t$

가 유한함을 뜻한다.

참고 문헌

• Biliotti, Leonardo; Mercuri, Francesco (2017). 〈Riemannian Hilbert manifolds〉. 《Hermitian–Grassmannian Submanifolds》. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics (영어) 203. Springer-Verlag. arXiv:1610.01527. doi:10.1007/978-981-10-5556-0_22. 

외부 링크

• “Hilbert manifold”. 《nLab》 (영어). 
• Meier, Lennart (2010년 1월 26일). “A Hilbert space model for mapping spaces” (PDF) (영어).