기하학에서, 힐베르트 다양체(Hilbert多樣體, 영어: Hilbert manifold)는 국소적으로 힐베르트 공간과 동형인 위상 공간이다.[1]
힐베르트 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 분해 가능 하우스도르프 공간
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- 분해 가능 무한 차원 실수 힐베르트 공간
![{\displaystyle {\mathcal {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f)
- 열린 덮개
![{\displaystyle (U_{i})_{i\in I}\subseteq \operatorname {Open} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fba9fe156095776d8506401e466d5d0bbd8a097d)
- 각
에 대하여, 단사 연속 함수
. 또한, 이는
와
사이의 위상 동형을 정의한다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 임의의
에 대하여, 만약
이라면,
는 매끄러운 함수이다.
여기서, 함수
,
가 ‘매끄러운 함수’라는 것은 임의의
에 대하여
![{\displaystyle f(x+\Delta x)=f(x)+D_{1}(\Delta x)+D_{2}(\Delta x,\Delta x)+\dotsb +D_{k}(\Delta x,\dotsc ,\Delta x)+o(\|\Delta x\|^{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7df48b59487c02973ba360b9da84055f1d2b7f39)
가 되는 유계 작용소들
![{\displaystyle D_{i}\colon {\mathcal {H}}^{\oplus i}\to {\mathcal {H}}\qquad (1\leq i\leq k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ad634063d433eb71ae6ca6ca1abbf491b0aa54)
이 존재함을 뜻한다.
모든 위상 힐베르트 공간 위에는 유일한 매끄러움 구조가 존재한다. 즉, 주어진 위상 공간 위의 매끄러운 힐베르트 공간 구조는 만약 존재한다면 유일하다.
두 힐베르트 다양체
,
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
또한, 두 힐베르트 다양체 사이의 임의의 위상 동형은 (위상 동형을 통하여) 미분 동형과 아이소토픽하다. 서로 호모토픽한 두 위상 동형은 아이소토픽하다.
임의의 힐베르트 다양체
는
의 열린집합과 미분 동형이다.
분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간의 임의의 열린집합
는 힐베르트 다양체이다.
사상 공간[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- (유한 차원) 콤팩트 리만 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- (유한 차원) 매끄러운 다양체
![{\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
이제, 소볼레프 공간
을 생각하자. 즉, 그 원소의
차 미분의 L2 노름이 유한하다고 하자. 만약
![{\displaystyle 2n>\dim M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449d76c3488c8848e5caf48aafb05c893630861d)
이라면, 이는 (매끄러운) 힐베르트 다양체를 이룬다.[1]:781
특히, 이 경우 만약 매끄러운 함수
에 대하여
의 접공간은 표준적으로 힐베르트 공간인 소볼레프 공간
![{\displaystyle \operatorname {W} ^{n,2}(f^{*}\mathrm {T} N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87fb0aa92f4416968cb0cde9690c7cf44237300)
이다.
예를 들어,
이 원이라고 하자. 그렇다면, 힐베르트 다양체를 이루는 고리 공간
![{\displaystyle \operatorname {W} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7d281bd470a8cce66f930bba30c8b1a331e98d)
을 생각할 수 있다. 이 경우, 소볼레프 조건은 고리
의 에너지
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\oint {\dot {\gamma }}^{2}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1cf2aa8847d5ca7db5fa38a9254c594c95ca16)
가 유한함을 뜻한다.
참고 문헌[편집]
- Biliotti, Leonardo; Mercuri, Francesco (2017). 〈Riemannian Hilbert manifolds〉. 《Hermitian–Grassmannian Submanifolds》. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics (영어) 203. Springer-Verlag. arXiv:1610.01527. doi:10.1007/978-981-10-5556-0_22.
외부 링크[편집]