구조 다양체

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미분기하학에서 구조 다양체(영어: -structure manifold)는 그 접다발이 어떤 리 군작용을 갖춘 매끄러운 다양체이다.

정의[편집]

리 군 의 충실한 유한 차원 실수 표현

이 주어졌다고 하자. -구조 다발은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 와 같은 차원의 매끄러운 벡터 다발
  • 의 틀다발 의 부분 다발인 -주다발

즉, 각 점 에서, 특별한 틀

들의 집합이 존재하며, 이 틀들의 집합에는 추이적 오른쪽 -작용이 존재한다.

이는 사실 사이의 벡터 다발 동형 사상과 동치이다.

접다발-구조를 갖는 매끄러운 다양체-구조 다양체라고 한다. 이 경우, -구조는 어떤 1차 미분 형식

에 의하여 주어지는데, 이를 접착 형식(영어: solder form)이라고 한다.

호환 접속[편집]

-구조 벡터 다발 호환 접속(영어: compatible connection)은 코쥘 접속

가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.

  • 임의의 폐곡선 ()에 대하여, 에 대한 홀로노미 에 속한다.

위의 -호환 접속들의 공간은

위의 아핀 공간을 이룬다.

이 경우, 접속 의 곡률

은 다음과 같은 2차 미분 형식을 이룬다.

[편집]

다음과 같이, 다양한 미분기하학적 구조들은 -구조 다양체의 개념의 특수한 경우이다.

매끄러운 다양체
유향 다양체
개복소다양체
리만 다양체
유향 리만 다양체
부호수 준 리만 다양체
준 심플렉틱 다양체
G₂ 다양체

참고 문헌[편집]