리 준군

미분기하학에서, 리 준군(Lie準群, 영어: Lie groupoid)은 대상과 사상의 공간이 각각 매끄러운 다양체를 이루는 준군이다. (이산) 준군과 리 군의 공통적인 일반화이다.

정의

리 준군은 매끄러운 다양체의 범주 속의 준군 대상이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 다양체 $X_{0}$, $X_{1}$
• 매끄러운 함수 $\operatorname {dom} \colon X_{1}\to X_{0}$, $\operatorname {codom} \colon X_{1}\to X_{0}$. 이들은 사상의 정의역과 공역을 나타낸다.
• 사상의 합성 $\{(f,g)\in X_{1}\times X_{1}\colon \operatorname {codom} f=\operatorname {dom} g\}\to X_{1}$
• 매끄러운 함수 $\operatorname {id} \colon X_{0}\to X_{1}$. 이는 항등 사상을 나타낸다.

이 데이터는 준군의 공리들을 만족시켜야 한다.

마찬가지로, 리 2-준군(영어: Lie 2-groupoid), 리 3-준군(영어: Lie 3-groupoid) 등등을 정의할 수 있다. 예를 들어, 리 2-준군은 2-범주 가운데, 모든 1-사상과 2-사상이 가역원을 가지며, 또한 0-사상, 1-사상, 2-사상들이 각각 매끄러운 다양체 $X_{0}$, $X_{1}$, $X_{2}$를 이루며, 정의에 등장하는 모든 사상들이 매끄러운 함수가 되는 경우이다.

예

분류 공간

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리 군 $G$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 하나의 대상만을 갖는 자명한 준군으로 여길 수 있으며, 이는 리 준군을 이룬다. 이를 $G$와 구별하기 위하여 $\operatorname {B} (G)$로 쓴다. (이에 대응하는 슈발레-에일렌베르크 대수를 설리번 대수로 여기면, 이에 대응하는 위상 공간은 $G$의 분류 공간이다.)

만약 $G$가 아벨 리 군일 때는, 마찬가지로 $\operatorname {B} ^{2}(G)=\operatorname {B} (\operatorname {B} (G))$, $\operatorname {B} ^{3}(G)=\operatorname {B} (\operatorname {B} (\operatorname {B} (G)))$ 등등을 정의할 수 있다. 즉, $\operatorname {B} ^{k}(G)$는 하나의 0-사상, 1-사상, ……, 하나의 $k-2$-사상을 가지며, 그 $(k-1)$-사상의 매끄러운 다양체는 $G$이다.

만약 $G$가 아벨 군이 아니라면, 고차에서의 구성에서, 수평 합성이 수직 합성과 아래와 같이 가환해야 한다는 조건이 성립하지 못한다.

	=		=		$\circ _{0}$
$\circ _{1}$

체흐 준군

매끄러운 다양체 $X$의 열린 덮개 ${\mathcal {U}}=(U_{i})_{i\in I}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\mathcal {U}}$의 체흐 준군(영어: Čech groupoid) $\operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})$은 다음과 같은 리 준군이다.

• $\operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})$의 대상들의 매끄러운 다양체는 $\textstyle \bigsqcup _{i\in I}U_{i}$이다. 즉, 그 대상은 $x\in U_{i}$가 되는 순서쌍 $(x,U_{i})$이다.
• $\operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})$의 사상들의 매끄러운 다양체는 $\textstyle \bigsqcup _{i,j\in I}U_{i}\cap U_{j}$이다. 즉, 사상 $(x,U_{i})\to (x,U_{j})$은 순서쌍 $(x,U_{i},U_{j})$이다.
• 두 사상의 합성은 단순히 $(x,U_{j},U_{k})\circ (x,U_{i},U_{j})=(x,U_{i},U_{k})$이다.
• 항등 사상은 단순히 $(x,U_{i},U_{i})$의 꼴의 사상이다.

그렇다면, 다음과 같은 함자가 존재한다.

$\operatorname {\check {C}} ({\mathcal {U}})\to X$

$(x,U_{i})\mapsto x$

$(x,U_{i},U_{j})\mapsto \operatorname {id} _{x}$

(이 함자의 공역은 모든 사상이 항등 사상인 자명한 리 준군이다.)

보다 일반적으로, 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 체흐 $n$-준군을 정의할 수 있다. 이 경우, $k$-사상의 매끄러운 다양체는

$\bigsqcup _{i_{1},\dotsc ,i_{k}\in I}U_{i_{1}}\cap \dotsb \cap U_{i_{k}}$

이다.

순서쌍 리 군

임의의 매끄러운 다양체 $M$에 대하여, 다음과 같은 순서쌍 리 준군(영어: pair Lie groupoid)을 정의할 수 있다.

• 그 대상(0-사상)의 매끄러운 다양체는 $M$이다.
• 1-사상의 매끄러운 다양체는 $M\times M$이다.
• 1-사상 $(x,y)$, $(y,z)$의 합성은 $(x,z)$이다.

이에 대응하는 리 준대수는 $M$ 위의 벡터장들의 리 준대수 $\mathrm {T} M$이다.

참고 문헌

• Weinstein, Alan (1996년 7월). “Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 43 (7): 744–752. arXiv:math/9602220.  재출판 Weinstein, Alan (2001). 〈Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples〉. 《Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics》 (PDF). American Mathematical Society. 1–19쪽. doi:10.1090/conm/282/04675. ISBN 978-0-8218-2042-1. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie groupoid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Lie groupoid”. 《nLab》 (영어).