리 준대수

미분기하학에서 리 준대수(Lie準代數, 영어: Lie algebroid)는 (유한 차원) 실수 리 대수의 일반화이다. 리 대수와 리 준대수 사이의 관계는 리 군과 리 준군 사이의 관계와 같다.

정의

리 준대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• 매끄러운 단면 $\Gamma ^{\infty }(E)$ 위의 리 대수 구조 $[-,-]$
• 매끄러운 벡터 다발 사상 $\rho \colon E\to \mathrm {T} M$. 이를 닻(영어: anchor)이라고 한다.

이는 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.

$[s,ft]=(\nabla _{\rho (s)}f)t+f[s,t]\qquad \forall s,t\in \Gamma ^{\infty }(E),\;f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$

예

모든 유한 차원 실수 리 대수는 한원소 공간 $\{\bullet \}$ 위의 리 준대수이다.

매끄러운 주다발에는 아티야 리 준대수라는 표준적인 리 준대수가 대응된다.

벡터장

매끄러운 다양체 $M$ 위에서,

$E=\mathrm {T} M$

$\rho =\operatorname {id} _{\mathrm {T} M}$ (항등 함수)

$[X,Y]={\mathcal {L}}_{X}Y$ (리 미분)

를 부여하면, 이는 리 준대수를 이룬다.

보다 일반적으로, $\mathrm {T} M$의 적분 가능 부분 다발 (즉, $[E,E]\subseteq E$인 부분 벡터 다발 $E\subseteq \mathrm {T} M$)은 이 리 준대수의 부분 리 준대수를 이룬다.

아벨 리 준대수

임의의 매끄러운 다양체 $M$ 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$에 대하여

$\rho =0$

$[-,-]=0$

을 부여한다면, 이는 (자명하게) 리 준대수를 이룬다. 이는 아벨 리 대수의 일반화이다.

푸아송 다양체

 이 부분의 본문은 푸아송 다양체입니다.

푸아송 다양체 $(M,\{-,-\})$가 주어졌다고 하자. 정의에 따라, 항상

$\{f,g\}=\pi (\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)$

인 (2,0)차 반대칭 텐서 $\pi$를 정의할 수 있다. 이제,

$E=\mathrm {T} ^{*}M$

$\rho (\alpha )=\pi (\alpha ,-)\qquad (\alpha \in \Omega ^{1}(M))$

$[\alpha ,\beta ]={\mathcal {L}}_{\rho \alpha }\beta -{\mathcal {L}}_{\rho \beta }\alpha -\mathrm {d} (\pi (\alpha ,\beta ))\qquad (\alpha ,\beta \in \Omega ^{1}(M))$

로 놓으면, 이는 리 준대수를 이룬다.

이를 푸아송 리 준대수(영어: Poisson Lie algebroid)라고 한다.

역사

리 준대수의 개념은 1967년에 장 프라딘(프랑스어: Jean Pradines)이 도입하였다.

외부 링크

• “Lie algebroid”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie algebroid”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Lie algebroid”. 《nLab》 (영어). 
• “Tangent Lie algebroid”. 《nLab》 (영어).