보형 형식

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수학에서, 보형 형식(保型形式, 영어: automorphic form)은 고전적인 모듈러 형식을 임의의 리 군 및 그 이산 부분군으로 일반화시킨 개념이다. 즉, 어떤 이산 부분군의 작용에 대하여 불변인 해석 함수이다. 보형 형식의 이론은 랭글랜즈 프로그램을 통해 현대 수론의 핵심적인 부분을 차지한다.

정의[편집]

임의의 리 군 이와사와 분해(영어: Iwasawa decomposition)를 통해 멱영군 , 아벨 군 , 콤팩트 반단순 군 로 분해될 수 있다. 즉, 임의의 원소 는 이와사와 분해에 따라

와 같이 나타낼 수 있다.

리 군 이산 부분군 를 갖는다고 하자. 위의, 에 대한 보형 형식 는 다음 네 조건들을 만족시키는 매끄러운 함수이다.

  • 모든 , 에 대하여,
  • (-유한성) 의 원소에 대하여 (우측) 병진이동시켜 얻은 함수들의 벡터 공간이 유한 차원이다.
  • (-유한성) 리 대수 보편 포락 대수 의 중심이라고 하자. 그렇다면, 를 상쇄시키는,의 유한 여차원 아이디얼 이 존재한다.
  • (첨점에서의 완만한 성장 영어: moderate growth at cusp) 첨점 근처에서, 가 존재한다.

이 네 조건 가운데, 첫 번째를 제외하고 나머지는 기술적인 조건이다.

고전적 정의와의 관계[편집]

고전적으로, 보형 형식은 복소 공간 위의 유리형 함수로 정의되었고, 이 경우 변환 법칙에 보형 인자(영어: factor of automorphy) 라는 인자가 포함되었다. 즉,

의 꼴이다. 예를 들어, 고전적 모듈러 형식상반평면 위에, 모듈러 군 에 대하여 변환하는 함수이다.

현대적으로, 이는 의 부분군 에 대한 잉여류 공간

위의 함수로 재해석된다.

역사[편집]

보형 형식은 고전적인 개념인 모듈러 형식의 일반화이다. 고전적인 모듈러 형식은 힐베르트 모듈러 형식·지겔 모듈러 형식 등으로 일반화되었다. 일반적인 리 군에 대한 오늘날의 추상적인 정의는 일리야 퍄테츠키샤피로 등에 의하여 1960년대에 완성되었다. 이후 로버트 랭글랜즈랭글랜즈 프로그램을 통해 이를 대수적 수론갈루아 군과 연결시키면서, 현재까지 수론의 주요 연구 대상이 되고 있다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]