디리클레 가역원 정리

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대수적 수론에서, 디리클레 가역원 정리(Dirichlet可逆元定理, 영어: Dirichlet unit theorem)는 대수적 수체대수적 정수환의 크기에 대한 정리다.

정의[편집]

대수적 수체 K의 실수 위치(real place)의 수를 r_1, 복소 위치(complex place)의 수를 r_2라고 하자. 이에 따라서, K의 차수는

\deg K=r_1+2r_2

이다.

디리클레 가역원 정리에 따르면, K대수적 정수환 \mathcal O_K가역원군은 유한생성 아벨 군이며, 그 계수

\operatorname{rank}\mathcal O_K^\times=r_1+r_2-1

이다. 또한, 대수적 정수환의 꼬임 부분군1의 거듭제곱근들로 구성된다. 즉, 가역 정수군은 다음과 같다.

\mathcal O_K^\times=\mathbb Z^{r_1+r_2-1}\oplus\{x\in K|\exists n\colon x^n=1\}

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수체 가역 정수군 실수 위치 수 복소 위치 수 가역 정수군의 계수 차수
\mathbb Q \{\pm1\} 1 0 0 0
\mathbb Q(\sqrt d) (d는 양의 무제곱 정수) 2 0 1 2
\mathbb Q(\sqrt{-d}) (d는 양의 무제곱 정수) 0 1 0 2
\mathbb Q(i) (가우스 정수) \{\pm1,\pm i\} 0 1 0 2
\mathbb Q(\omega)/(\omega^2+\omega+1) (아이젠슈타인 정수) \{\pm1,\pm \omega,\pm\omega^2\} 0 1 0 2