하세-민코프스키 정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수론에서, 하세-민코프스키 정리(영어: Hasse–Minkowski theorem)는 수체에 대한 이차형식의 동치에 대한 정리다. 이 정리에 따르면, 수체에 대한 두 이차형식이 모든 곳에서 국소적으로 동치이면 대역적으로도 동치이다. 이는 수론에서의 국소-대역 원리(local–global principle)의 대표적인 예이다.

정의[편집]

대수적 수체 K에 대한 두 이차형식 p_1,p_2가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 두 명제는 서로 동치이다.

  • K에 대하여 p_1p_2는 동치이다.
  • K의 모든 완비화(실수, 복소수, p진수)에 대하여 p_1,p_2는 동치이다.

따라서, 일반적인 수체에 대한 이차형식의 분류는 완비체 실수·복소수·p진수(의 대수적 확대)에 대한 이차형식들의 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같다.

  • 실수 이차형식은 차원과 부호수(signature)에 따라 완전히 분류된다.
  • (비퇴화) 복소 이차형식은 차원에 따라 완전히 분류된다.
  • p진수(의 대수적 확대)에 대한 이차형식은 차원과 하세 불변량(Hasse invariant)에 따라 완전히 분류된다.

또한, 대수적 수체를 넘어서 일반적인 대역체에 대하여서도 하세-민코프스키 정리가 성립한다. 이 경우 함수체들의 완비화(국소체)에 대하여 이차형식들을 비교해야 한다.

역사[편집]

헤르만 민코프스키가 유리수체에 대한 경우를 증명하였고, 헬무트 하세가 이를 일반적인 대수적 수체에 대하여 확장하였다.

참고 문헌[편집]