데데킨트 제타 함수

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대수적 수론에서, 데데킨트 제타 함수(Dedekind ζ 函數, 영어: Dedekind zeta function)는 임의의 대수적 수체에 대하여 정의되는 유리형함수이다. 이는 리만 제타 함수의 일반화이다. 구체적으로, 리만 제타 함수는 유리수체에 대한 데데킨트 제타 함수이다.

데데킨트 제타 함수는 L-함수의 대표적인 예이다.

역사[편집]

페터 구스타프 르죈 디리클레가 쓴 수론 교재 《수론 강의》(독일어: Vorlesungen über Zahlentheorie)에서, 리하르트 데데킨트가 쓴 부록에 처음 등장하였다.

정의[편집]

대수적 수체 K가 주어졌고, 또한 s\in\mathbb C\operatorname{Re}(s)>1이라고 하자. 그렇다면 수체 K데데킨트 제타 함수 \zeta_K(s)는 다음과 같은 디리클레 급수로 정의된다.

\zeta_K (s) = \sum_{I \subseteq \mathcal O_K} \frac1{N_{K/\mathbb Q}(I)^s}

여기서

일반적인 s\in\mathbb C에 대해서는 이 함수를 해석적 연속을 통해 복소 평면 전체로 유리형함수로 확장시킬 수 있다. 이 경우, 유일한 극점은 s=1이다. 이 극점에서의 유수유수 공식으로 주어지며, 수체 K의 수론적인 불변량들로 주어진다.

성질[편집]

데데킨트 제타 함수는 다른 L-함수와 마찬가지로 오일러 곱(Euler product)과 함수 방정식(functional equation)을 갖는다.

오일러 곱[편집]

데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 오일러 곱을 갖는다. 모든 \operatorname{Re}s>1s\in\mathbb C에 대하여,

\zeta_K (s) = \prod_{P \subseteq \mathcal O_K} \frac{1}{1 - N_{K/\mathbb Q}(P)^{-s}}

여기서

이는 수체의 대수적 정수환데데킨트 정역이고, 데데킨트 정역에서는 아이디얼이 소 아이디얼로의 유일 소인수분해가 성립하기 때문이다.

함수 방정식[편집]

데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 갖는다. 감마 인자(gamma factor)를 다음과 같이 정의하자.

\Gamma_{\mathbb R}(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)
\Gamma_{\mathbb C}(s)=2(2\pi)^{-s}\Gamma(s)

여기서 Γ(s)는 감마 함수이다. 그렇다면 다음을 정의하자.

\Lambda_K(s)=\left|\Delta_K\right|^{s/2}\Gamma_{\mathbb R}(s)^{r_{\mathbb R}}\Gamma_{\mathbb C}(s)^{r_{\mathbb C}}\zeta_K(s)

여기서

  • r_{\mathbb R}K의 실 위치(real place)의 수이다.
  • r_{\mathbb C}K의 복소 위치(complex place)의 수이다.
  • \Delta_KK판별식이다.

그렇다면 다음과 같은 함수 방정식이 성립한다. 모든 s\in\mathbb C에 대하여,

\Lambda_K(s)=\Lambda_K(1-s)

참고 문헌[편집]

  • (영어) Narkiewicz, Władysław (2004). 《Elementary and analytic theory of algebraic numbers》, Springer Monographs in Mathematics, 3, Berlin: Springer-Verlag. MR2078267. ISBN 978-3-540-21902-6

바깥 고리[편집]