연속 함수: 두 판 사이의 차이

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2015년 2월 8일 (일) 15:10 판

위상수학과 해석학에서, 연속 함수(連續函數, 문화어: 련속함수, 영어: continuous function)는 정의역의 점의 "작은 변화"에 대하여, 치역의 값 역시 작게 변화하는 함수이다.

정의

위상 공간 $X$ 및 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 및 점 $x\in X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$ 가 점 $x$ 에서 연속 함수이다(continuous at the point x)라고 한다.

임의의 점 $x\in X$ 및 근방 $V\ni f(x)$ 에 대하여, $f(U)\subseteq V$ 인 $x$ 의 근방 $U\ni x$ 가 존재한다.
임의의 그물 $x_{\alpha }\in X$ 에 대하여, 만약 $x_{\alpha }\to x$ 라면 $f(x_{\alpha })\to f(x)$ 이다.

위상 공간 $X$ 및 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 연속 함수라고 한다.

임의의 열린 집합 $U\subseteq Y$ 에 대하여, 원상 $f^{-1}(Y)\subseteq X$ 는 열린 집합이다.
임의의 닫힌 집합 $C\subseteq Y$ 에 대하여, 원상 $f^{-1}(C)\subseteq X$ 는 닫힌 집합이다.
$f$ 는 $X$ 의 모든 점에서 연속 함수이다.
임의의 부분 집합 $A\subseteq X$ 에 대하여, 항상 $f(\operatorname {cl} (A))\subseteq \operatorname {cl} (f(A))$ 이다. 여기서 $\operatorname {cl}$ 은 폐포를 일컫는다.

위상 공간 $X$ 및 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$ 를 점렬 연속 함수(點列連續函數, 영어: sequentially continuous function)라고 한다.

임의의 점렬 $x_{i}\in X$ 및 점 $x\in X$ 에 대하여, 만약 $x_{i}\to x$ 라면 $f(x_{i})\to f(x)$ 이다.

좌·우 연속성

어떤 구간 $I\subset \mathbb {R}$ 및 위상 공간 $Y$ 사이의 함수 $f\colon I\to Y$ 및 실수 $r\in I$ 에 대하여, 다음을 정의하자.

만약 $\lim _{x\to r^{+}}f(x)=f(c)$ 라면, $f$ 는 $c$ 에서 우연속 함수(영어: right-continuous function)이다.
만약 $\lim _{x\to r^{-}}f(x)=f(c)$ 라면, $f$ 는 $c$ 에서 좌연속 함수(영어: left-continuous function)이다.

성질

연속함수는 위상 공간의 몇가지 성질을 보존하기 때문에 매우 유용하다.

f : X → Y 와 g : Y → Z 가 연속 함수이면 합성 함수 g o f : X → Z 도 연속 함수이다.
f : X → Y 가 연속 함수이면
- X 가 콤팩트 공간이라면, f(X) 도 콤팩트 공간이다.
- X 가 연결 공간이라면, f(X) 도 연결 공간이다.
- X 가 경로 연결 공간이라면, f(X) 도 경로 연결 공간이다.

임의의 두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 점렬 연속 함수는 항상 연속 함수이다. 만약 $X$ 가 제1 가산 공간이라면, $X$ 와 $Y$ 사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 동치이다.

거리 공간에서의 연속 함수

두 거리 공간 $(X,d_{X})$ 및 $(Y,d_{Y})$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 및 점 $x\in X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$f\colon X\to Y$ 는 $x$ 에서 연속 함수이다.
임의의 양의 실수 $\epsilon >0$ $\epsilon >0$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 $\delta _{\epsilon }$ $\delta _{\epsilon }$ 이 존재한다.
- 임의의 $x'\in X$ 에 대하여, 만약 $d_{X}(x,x')<\delta _{\epsilon }$ 라면, $d_{Y}(f(x),f(x'))<\epsilon$ 이다.
$f$ 는 $x$ 에서 점렬 연속 함수이다. 즉, 임의의 점열 $x_{i}\in X$ 에 대하여, 만약 $x_{i}\to x$ 라면 $f(x_{i})\to f(x)$ 이다.

실수값 연속 함수

임의의 위상 공간 $X$ 위의 두 연속 함수

f,g\colon X\to \mathbb {R}

에 대하여, 다음이 성립한다.

$f+g\colon X\to \mathbb {R}$ 는 연속 함수이다.
$fg\colon X\to \mathbb {R}$ $fg\colon X\to \mathbb {R}$ 는 연속 함수이다.
- 상수 함수는 연속 함수이므로, 만약 $g$ 가 임의의 실수 $r$ 라면, $rf\colon X\to \mathbb {R}$ 는 연속 함수이다.
만약 모든 $x\in X$ 에 대하여 $f(x)\neq 0$ 이라면, $1/f$ 는 연속 함수이다.

실수 위의 함수

실수 구간 $I\subset \mathbb {R}$ 으로부터 위상 공간 $Y$ 로 가는 함수 $f\colon I\to \mathbb {R}$ 및 임의의 실수 $r\in I$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

$f$ 는 $r$ 에서 좌연속 함수이며 우연속 함수이다.
$f$ 는 $r$ 에서 연속 함수이다.

예

실수선에 표준적인 위상을 정의하였을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다.

모든 다항식 $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$
지수 함수 $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$
사인 $\sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$
코사인 $\cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$
절댓값 $|\cdot |\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

다음 함수는 연속 함수가 아니다.

부호 함수 $\operatorname {sgn} \colon x\mapsto {\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}$

참고 문헌

Munkres, James R. (2000). 《Topology》 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

바깥 고리

“Continuous function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Continuous mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Continuous function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Continuous map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Piecewise continuous”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

같이 보기

@@ 29번째 줄: / 29번째 줄: @@
 ** ''X'' 가 [[연결 공간]]이라면, ''f''(''X'') 도 [[연결 공간]]이다.
 ** ''X'' 가 [[경로 연결 공간]]이라면, ''f''(''X'') 도 [[경로 연결 공간]]이다.
 임의의 두 위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 점렬 연속 함수는 항상 연속 함수이다. 만약 <math>X</math>가 [[제1 가산 공간]]이라면, <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 [[동치]]이다.
@@ 35번째 줄: / 34번째 줄: @@
 {{참고|엡실론-델타 논법}}
 두 [[거리 공간]] <math>(X,d_X)</math> 및 <math>(Y,d_Y)</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
-* <math>f\colon X\to Y</math>는 <math>x</math>에서 [[연속 함수]]이다.
+* <math>f\colon X\to Y</math>는 <math>x</math>에서 연속 함수이다.
 * 임의의 양의 [[실수]] <math>\epsilon>0</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 [[실수]] <math>\delta_\epsilon</math>이 존재한다.
 ** 임의의 <math>x'\in X</math>에 대하여, 만약 <math>d_X(x,x')<\delta_\epsilon</math>라면, <math>d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon</math>이다.
-* 임의의 [[수열|점열]] <math>x_i\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x_i\to x</math>라면 <math>f(x_i)\to f(x)</math>이다.
+* <math>f</math>는 <math>x</math>에서 점렬 연속 함수이다. 즉, 임의의 [[수열|점열]] <math>x_i\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x_i\to x</math>라면 <math>f(x_i)\to f(x)</math>이다.
 === 실수값 연속 함수 ===