의존적 선택 공리

집합론에서, 의존적 선택 공리(依存的選擇公理, 영어: axiom of dependent choice, 약자 DC)는 이전의 선택에 의존할 수 있는 새 선택을 가산 무한 번 허용하는, 선택 공리의 약한 형태이다.

정의

임의의 집합 $S$ 및 이항 관계 $R\subset S^2$가 주어졌고, 또한 이들이 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.

• $S\ne\varnothing$
• 임의의 $s\in S$에 대하여, $s\mathrel{R}t$인 $t\in S$가 존재한다.

그렇다면, 의존적 선택 공리에 따르면 다음 성질을 만족시키는 열

$s\colon\mathbb N\to S$

$i\mapsto s_i$

이 존재한다.

• 임의의 $i\in\mathbb N$에 대하여, $s_i\mathrel{R}s_{i+1}$

성질

체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하면, 의존적 선택 공리는 선택 공리에 의하여 함의되며, 또한 가산 선택 공리를 함의한다. 그러나 그 반대 함의는 불가능하다.

선택 공리와 달리, 의존적 선택 공리는 르베그 가측 집합이 아닌 실수 집합의 존재를 증명할 수 없다.