감마함수

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실수축 상에서 감마함수의 그래프
미적분학
v  d  e  h

수학에서, 감마함수(Γ函數, 영어: gamma function)는 계승의 개념을 실수복소수로까지 확장시킨 함수이다. 감마함수는 복소수 z의 실수부가 양수일 때, 아래와 같은 적분으로 정의된다.

\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

위 정의는 z가 양이 아닌 정수를 제외한 임의의 복소수로 확장할 수 있다.

특별히 z자연수(z = n) 인 경우, 감마함수를 계승으로 쓸 수 있다.

\Gamma \left(n\right) = (n-1)!

감마함수는 확률분포를 비롯한 여러 확률통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.

정의[편집]

감마함수의 절대값을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 발산하는 부분이 있음을 볼 수 있다.
복소평면에서의 감마함수

감마함수의 정의에는 크게 3가지가 있는데, 모두 동등함을 보일 수 있다.

적분을 통한 정의[편집]

다음 정의는 적분을 사용하여 정의된 감마함수로, 오일러 적분이라고도 불린다.

 \Gamma(z) = \int _0 ^\infty t^{z-1} \, e^{-t} \, dt\,, \qquad \mathrm{Re}\, z > 0

위 적분은 \mathrm{Re}\, z > 0 인 영역에서 절대수렴한다.

여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마함수라 부른다.

극한을 통한 정의 (오일러)[편집]

\begin{align}

\Gamma(z) &=\lim_{n \rightarrow \infty}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \over z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}n^z \\

(z &\ne 0, \, -1,\, -2 ,\, -3 ,\, \cdots)

\end{align}

이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태라고도 불리기도 한다.

무한곱을 통한 정의 (바이어슈트라스)[편집]

\Gamma(z) = {e^{-\gamma z} \over z} \prod_{n=1}^\infty \left(1+ {z \over n} \right) ^{-1} e^{z \over n}

여기서 γ는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다.

계승의 일반화에서 주의점[편집]

만약 감마함수를 자연수 n에 대해

\Gamma \left(n\right) = (n-1) !.

을 만족하는 함수로 정의하면 감마함수는 유일하지 않다. 예를 들어

f(x) = \Gamma (x) \cos^2 \pi x \;

또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마함수는 이중 유일하게 \ln \Gamma (z) 가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.

성질[편집]

감마함수는 복소평면에서 유리형함수이며, 양이 아닌 정수 z=0,-1,-2,\ldots에서 단순극을 가진다. 단순극 -n에서 유수의 값은 \textstyle {(-1)^n \over n!}이다.[1] 감마함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 1/\Gamma(z)전해석함수이다.

정칙성에 따라서, 다음이 성립한다.

\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\bar z)

함수방정식[편집]

감마함수는 다음과 같은 함수방정식을 만족한다.

\Gamma (z+1) = z \Gamma (z)
\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}}

두 번째 공식은 오일러 반사 공식(영어: Euler’s reflection formula)이라고 불린다.

곱의 정리
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz). \,\!

특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.

\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)

미분과 적분[편집]

감마함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마함수 ψ0(z)로 주어진다.

\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z)

특별히, 양수 m에서의 감마함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.

\Gamma'(m+1) = m!\cdot\left(  - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)

일반적으로, 감마함수의 n차 미분은 다음과 같다.

{d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln^{n} t\,dt

감마함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다.

\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}

특별한 값[편집]

반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 n에 대하여,

\Gamma(1/2+n)=\frac{(2n)!}{4^nn!}\sqrt\pi
\Gamma(1/2-n)=\frac{(-4n)^nn!}{(2n)!}\sqrt\pi

이 공식들은 \Gamma(1/2)=\sqrt\pi로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다.

몇몇 경우의 감마함수의 값은 다음과 같다.


\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}

응용[편집]

초구의 부피[편집]

반지름이 Rn차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.

V_n={\pi^\frac{n}{2}\over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} R^n ={C_n R^n}

감마분포[편집]

감마함수의 피적분함수를 감마함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률밀도함수 f(x)는 다음과 같다.

f(x) =
\begin{cases}
 {1 \over \beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-{x \over \beta}}, & \mbox{if } x \ge 0 \\
 0, & \mbox{otherwise} 
\end{cases}

여기서 \alpha, \beta는 감마함수의 매개변수로 양수이다.

참고 문헌[편집]

  1. George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Foreword by James R. Newman)

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]