절대수렴

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수학에서, 무한급수의 항들의 절댓값들을 구하여 이의 합이 수렴할 때, 이 무한급수가 절대수렴(絕對收斂, 영어: absolute convergence)한다고 한다. 다시 말해, 어떤 실수 L에 대해서 \textstyle\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| = L가 성립할 경우 복소 급수 \sum_{n=0}^\infty a_n를 절대수렴급수라고 한다. 이와 유사하게는 이상적분 \textstyle\int_0^\infty f(x)\,dx에 대해서도 \textstyle\int_0^\infty \left|f(x)\right|dx = L가 성립할 때 이가 절대수렴한다고 표현한다.

절대수렴은 모든 수렴 급수들이 갖지는 못하는 부분합에 대한 특성들을 가질 정도로 강력하면서도 여러 급수에서 빈번히 나타날 정도로 넓은 정의를 가졌기에 무한급수에 대한 연구에서 중요한 역할을 한다.

배경[편집]

모든 a_n아벨 위상군에 속하는  \sum_{n=0}^{\infty} a_n 을 생각해보면, 절대수렴에 대한 엄밀한 접근을 위해 노름이라 하는 함수 \|\cdot\|: G \to \mathbb{R} 가 필요하다. (G는 항등원 0이 포함된 아벨 군이다.) 이 함수는 아래의 성질을 만족한다.

  1. G의 항등원의 노름값은 0이다. 곧, \|0\| = 0.
  2. G의 모든 원소 x에 대해 \|x\| = 0는 x=0을 의미한다.
  3. G의 모든 원소 x에 대해 \|-x\| = \|x\|. 
  4. G의 모든 원소 x, y에 대해  \|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|.

이 경우, 함수 d(x,y) = \|x-y\| 는 G 상에 하나의 거리 공간을 형성한다. 그렇다면 우리는 이 G 상의 급수 \textstyle\sum_{n=0}^\infty a_n \sum_{n=0}^{\infty} \|a_n\| < \infty<를 만족하는 급수가 절대수렴한다고 정의해도 무방할 것이다.

이 노름이라는 함수 중 대표적인 것은 절댓값 함수 |x|로, 이하 서술에서 이를 사용하도록 하겠다.

수렴과의 연관성[편집]

만약 G가 거리함수 d에 대한 완비 거리 공간이라면 모든 절대 수렴 급수는 수렴한다. 이에 대한 증명은 완비성을 통해 코시 판정법을 이용한 후 삼각 부등식을 적용함으로써 간단히 보일 수 있다.

만약 급수가 수렴하지만 절대수렴하지는 않는다면, 이 급수는 조건수렴한다고 한다. 이런 급수에는 부호가 교대로 변하는 조화급수가 있다. 

비판정법이나 근판정법을 비롯한 많은 수렴-발산 판정법들은 절대수렴 여부를 증명하는데에도 그대로 쓰인다. 이는 멱급수가 수렴반경 내에서 절대수렴이기 때문이다.

증명[편집]

복소 급수의 수열의 수렴은 급수의 실수부와 허수부가 동시에 수렴하는 경우에만 성립하므로 모든 항이 실수라고 일반화하여 생각하여도 무방할 것이다.

\sum |a_{n}|가 수렴한다고 가정하자. 그럼 당연하게도 2\sum |a_n| 역시 수렴한다.

0 \le a_n + |a_n| \le 2|a_n| 이므로 0 \le \sum_{n = 1}^m (a_n + |a_n|) \le \sum_{n = 1}^m 2|a_n|\le \sum_{n = 1}^\infty 2|a_n|이다. 따라서, \sum_{n = 1}^m (a_n + |a_n|) 는 유계인 단조급수이므로 수렴한다.

\sum a_n = \sum(a_n+|a_n|) - \sum |a_n| 로 두 수렴하는 급수의 차로 원래의 급수를 표현할 수 있다. 그러므로 원래의 급수 역시 수렴한다.