실수x에 대한 ψ(n)(x)의 . 오렌지가 디 감마 함수, 노란 색이 트리 감마 함수, 녹색이 테트라 감마 함수, 빨강이 펜타 감마 함수, 파랑이 헥사 감마 함수에 대응한다xψ(n)(x)
복소 평면상에서의 디감마 함수입니다ψ(z)
복소평면상에서의 트리감마함수입니다.ψ(1)(z)
복소평면상에서의 테트라감마함수입니다.ψ(2)(z)
펜타감마 함수, 복소 평면 상에서의 펜타감마 함수입니다.ψ(3)(z)
감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수(polygamma function)
로 주어진다.
은
으로도 표기한다.
이것은 폴리감마 함수중 첫번째 함수인 디감마 함수이다.
![{\displaystyle {\psi _{n}(z)}={d^{n+1} \over {dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaaba219739810505002effbc75a5de0bb0c5d2b)
![{\displaystyle \;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}{{\Gamma '(z)} \over {\Gamma (z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034031dfcf857fe80bfda65151457d16d6965d8f)
![{\displaystyle \;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}\psi _{0}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6efe2b2095b931a28b3d7d9a9029d1c1a5715ab)
![{\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}\!\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7a01ce89a9f455bfa61069cf44f980613e8bc9)
![{\displaystyle \Gamma (z)={1 \over z}\prod _{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over k}\right)^{z}} \over {1+{z \over k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c935477bdaa7adb7f89187faf2d560e0e9ec85)
![{\displaystyle \therefore \;\Gamma '(z)=\psi _{0}(z)\Gamma (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8afabb5c52043d6d6f80c77b670938a09ede7551)
![{\displaystyle \psi _{0}(z)=\psi (z)={{\Gamma '(z)} \over {\Gamma (z)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd724860b43e3356202fc5676f0c93bad569c0ad)
![{\displaystyle -\Gamma '(1)=\gamma =-\psi _{0}(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93a7adf1b435103010a3dd50022607a66c4a8c0)
오일러-마스케로니 상수
리만 제타 함수 ![{\displaystyle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775c8f99fbc2db4ef20dd618a468f110bae7bd76)
에서 감마 함수의 미분
![{\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\cdot \left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{{1} \over {k}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e81046c5d35a4688bf8cbfbd94324d847bd543f)
![{\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }({\frac {1}{z}}-\log _{e}({\frac {z+1}{z}}))=\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d4703e33ea97a0446ae6c9a451b5a7044df968)
디감마 함수(Digamma function)[편집]
디감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의된다.
에서 ![{\displaystyle n=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26819344e55f5e671c76c07c18eb4291fcec85ae)
디감마 함수는 폴리감마 함수중 첫번째 함수로 주어진다.
![{\displaystyle {\psi _{0}(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b589edf9c2215dfd956a9776289e0dea25c4ec)
![{\displaystyle ={\psi _{}(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8a422ad9c2bdd287e34d11ea03ea97a27b8c54)
트리감마 함수(Trigamma function)[편집]
![{\displaystyle \psi _{n}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e96858afcc57bdfbab72447722c04d681b7c0a)
![{\displaystyle n=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425)
![{\displaystyle {\psi _{1}(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c161fd406856209c24c51d68ec53f91926ab655a)
![{\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe6efac2ec9cf4bf9438f6b0c0cea5990155312)
는 베르누이 수
감마 함수 미분의 급수 표현과 폴리감마 함수[편집]
![{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\,n!\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)^{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447689b37a4a1958b66f57365a4e43dac4b6a80c)
![{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=(-1)^{0+1}\,0!\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)^{0+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c771427884372a56176637e2e81444779e2d7e1)
![{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=-1\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4493c6109fb8ad59ede428660e6f4571096b930)
![{\displaystyle \psi ^{(0)}(1)=-1\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(1+k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e20bd4e24e1375287ddf4ac4d1bda48007bbbbdf)
![{\displaystyle \Gamma (z)={1 \over z}\prod _{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over k}\right)^{z}} \over {1+{z \over k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c935477bdaa7adb7f89187faf2d560e0e9ec85)
![{\displaystyle \Gamma (1)={1 \over 1}\prod _{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over 1}\right)^{1}} \over {1+{1 \over 1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cad9f6dfb732f664474164b72648ade4882ccdf)
![{\displaystyle \Gamma (1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8174f8669568437784ccef9f417d2954e3801147)
![{\displaystyle \therefore \;\Gamma '(z)=\psi _{0}(z)\Gamma (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8afabb5c52043d6d6f80c77b670938a09ede7551)
![{\displaystyle \;\Gamma '(1)=\psi _{0}(1)\Gamma (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ab99a1cc861c9abe78ddc39a5ac47c43ac288a)
![{\displaystyle \;\Gamma '(1)=\psi _{0}(1)\cdot 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b83cab32c45d56a0e203cfe0eeee04aa4996b45)
![{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\,n!\,\zeta (n+1,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ecad02a9056d51ad285ebf9c64ae873814ba708)
큐-폴리감마 함수(q-polygamma function)[편집]
큐-폴리감마 함수는 폴리감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.
![{\displaystyle \psi _{q}^{(n)}(z)={{\partial ^{n}\psi _{q}(z)} \over {\partial z^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c3ca5023a3b699e43e713da46ddb91a6904b3e)
![{\displaystyle \psi _{q}(z)={{\Gamma '_{q}(z)} \over {\Gamma _{q}(z)}}\;\;\;,z>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7308294daef959c0c1722543bb30b3af978d451)
![{\displaystyle f(x+1)={{1-q^{z}} \over {1-q}}f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419c9c8eab77641ce4eeafc9473e6d86a6d9896a)
구간 예약
![{\displaystyle f(1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23ec03a1dad7631fc47878cb66b800a538dff1c)
![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
![{\displaystyle \log f(x),x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930f56bcf7425b359ced6c28243a15f148653463)
![{\displaystyle f(x)=\Gamma _{q}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999fc9fd788e85d50e6da57364894480f4267f47)
큐-포흐하머 기호![{\displaystyle \;(q;q)\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2bf62e496d826951cf1dae04f55f7a54a2cba3)
:
:
:![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
같이 보기[편집]