폴리감마 함수

정의

실수x에 대한 ψ(n)(x)의 . 오렌지가 디 감마 함수, 노란 색이 트리 감마 함수, 녹색이 테트라 감마 함수, 빨강이 펜타 감마 함수, 파랑이 헥사 감마 함수에 대응한다xψ⁽ⁿ⁾(x)

복소 평면상에서의 디감마 함수입니다ψ(z)

복소평면상에서의 트리감마함수입니다.ψ⁽¹⁾(z)

복소평면상에서의 테트라감마함수입니다.ψ⁽²⁾(z)

펜타감마 함수, 복소 평면 상에서의 펜타감마 함수입니다.ψ⁽³⁾(z)

감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수(polygamma function) $\psi _{n}(z)$로 주어진다.

$\psi _{0}(z)$은 $\psi ^{(0)}(z)$으로도 표기한다.

이것은 폴리감마 함수중 첫번째 함수인 디감마 함수이다.

${\psi _{n}(z)}={d^{n+1} \over {dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)$

$\;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}{{\Gamma '(z)} \over {\Gamma (z)}}$

$\;\;={d^{n} \over {dz^{n}}}\psi _{0}(z)$

오일러의 감마함수

$\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}\!\;$

가우스의 감마함수

$\Gamma (z)={1 \over z}\prod _{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over k}\right)^{z}} \over {1+{z \over k}}}$

$\therefore \;\Gamma '(z)=\psi _{0}(z)\Gamma (z)$

$\psi _{0}(z)=\psi (z)={{\Gamma '(z)} \over {\Gamma (z)}}$

• $-\Gamma '(1)=\gamma =-\psi _{0}(1)$

$\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}-\ln n\right)=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{{\zeta (m)} \over {m}}\;\;(\gamma \;$오일러-마스케로니 상수 $,\;\zeta \;$리만 제타 함수 $)$

• $m>0$에서 감마 함수의 미분

$\Gamma '(m+1)=m!\cdot \left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{{1} \over {k}}\right)$

• $\sum _{z=1}^{\infty }({\frac {1}{z}}-\log _{e}({\frac {z+1}{z}}))=\gamma$

디감마 함수(Digamma function)

디감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의된다.

$\psi _{n}(z)$에서 $n=0$

디감마 함수는 폴리감마 함수중 첫번째 함수로 주어진다.

${\psi _{0}(z)}$

$={\psi _{}(z)}$

트리감마 함수(Trigamma function)

$\psi _{n}(z)$

$n=1$

${\psi _{1}(z)}$

로랑 급수의 점근적 확장 표현

$\psi _{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+1}}}$

$B$는 베르누이 수

감마 함수 미분의 급수 표현과 폴리감마 함수

$\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\,n!\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)^{n+1}}}$

$\psi ^{(0)}(z)=(-1)^{0+1}\,0!\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)^{0+1}}}$

$\psi ^{(0)}(z)=-1\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(z+k)}}$

$\psi ^{(0)}(1)=-1\sum _{k=0}^{\infty }{{1} \over {(1+k)}}$

$\Gamma (z)={1 \over z}\prod _{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over k}\right)^{z}} \over {1+{z \over k}}}$

$\Gamma (1)={1 \over 1}\prod _{k=1}^{\infty }{{\left(1+{1 \over 1}\right)^{1}} \over {1+{1 \over 1}}}$

$\Gamma (1)=1$

$\therefore \;\Gamma '(z)=\psi _{0}(z)\Gamma (z)$

$\;\Gamma '(1)=\psi _{0}(1)\Gamma (1)$

$\;\Gamma '(1)=\psi _{0}(1)\cdot 1$

• 후르비츠 제타 함수 표현

$\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\,n!\,\zeta (n+1,z)$

큐-폴리감마 함수(q-polygamma function)

큐-폴리감마 함수는 폴리감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.

$\psi _{q}^{(n)}(z)={{\partial ^{n}\psi _{q}(z)} \over {\partial z^{n}}}$

$\psi _{q}(z)={{\Gamma '_{q}(z)} \over {\Gamma _{q}(z)}}\;\;\;,z>0$

• 큐 감마함수(q gamma function)

$f(x+1)={{1-q^{z}} \over {1-q}}f(x)$

$q\in \left(0,1\right)$ 구간 예약

$f(1)=1$

${\displaystyle }$

$\log f(x),x>0$

$f(x)=\Gamma _{q}(x)$

$\therefore \Gamma _{q}(z)={{(q;q)\infty } \over {(q^{z};q)\infty }}(1-q)^{1-z}\;\;\;$ 큐-포흐하머 기호$\;(q;q)\infty$

${\displaystyle }$:${\displaystyle }$:${\displaystyle }$:${\displaystyle }$

같이 보기

• 감마함수
• 람베르트 급수
• 에르되시-보와인 상수
• 큐-아날로그
• 디리클레 L-함수