군 (수학)

루빅스 큐브를 돌리는 방법들을 모은 집합은 군을 이룬다.

정이면체군 $\operatorname {Dih} (6)$의 군 다이어그램

추상대수학에서, 군(群, 영어: group)은 결합 법칙 및 역원을 가지는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 수학적 대상의 대칭들의 집합은 군을 이루며, 이에 따라 다양한 분야에서 널리 등장하는 개념이다. 군을 연구하는 추상대수학의 분야를 군론(群論, 영어: group theory)이라고 한다.

정의

군은 모든 원소가 가역원인 모노이드이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 이항 연산

$\cdot \colon G\times G\to G$

$\cdot \colon (g,h)\mapsto gh$

가 주어진 집합 $(G,\cdot )$이다.

• $(G,\cdot )$은 모노이드를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • (결합 법칙) 임의의 $g,h,k\in G$에 대하여, $(gh)k=g(hk)$
  • (항등원의 존재) 모든 $g\in G$에 대하여 $1_{G}g=g1_{G}=g$인 원소 $1_{G}\in G$가 존재한다.
• 모든 원소가 가역원이다. 즉, 임의의 $g\in G$에 대하여, $g^{-1}g=gg^{-1}=1_{G}$인 원소 $g^{-1}\in G$가 존재한다.

보통 $|G|$ 또는 $O(G)$로 나타내지는 군 $G$의 차수(次數, 영어: order)는 집합 G의 크기이다. 군의 원소 $g\in G$의 차수는 다음과 같다. 즉, 거듭해서 1이 되는 최소의 지수이거나, 아니면 무한대이다.

$\operatorname {ord} g=\inf\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon 1=g^{n}=\overbrace {gg\cdots \cdot gg} ^{n}\}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}$

군 준동형

두 군 $G$, $H$ 사이의 군 준동형 사상(群準同型寫像, 영어: group homomorphism)은 다음 조건을 만족시키는 함수 $f\colon G\to H$이다.

• 모든 $g,h\in G$에 대하여, $f(gh)=f(g)f(h)$

준동형 $f$의 핵과 상은 각각

$\ker f=\{g\in G\colon f(g)=1_{H}\}$

$\operatorname {im} f=\{f(g)\colon g\in G\}$

이다. 여기에서 f의 핵은 G의 정규 부분군(f(g^-1ug) = f(g)^-1f(u)f(g) = f(g)^-11_Hf(g) = f(g)^-1f(g) = 1_H)이며, 상은 H은 부분군임을 알 수 있다. 준동형사상 f가 단사 함수일 필요충분조건은 ker(f) = {1_G}이다.

연산

여러 개의 군이 주어졌을 때, 이들을 합쳐 더 큰 군을 만드는 방법에는 여러 가지가 있다.

직접곱

 이 부분의 본문은 직접곱입니다.

군들의 집합 $\{G_{i}\}_{i\in I}$가 주어졌을 때, 직접곱

$\prod _{i}G_{i}$

는 이들의 곱집합에 군의 구조를 준 것이다. 군의 범주에서의 곱이다.

반직접곱

 이 부분의 본문은 반직접곱입니다.

두 군 $H$, $N$ 및 작용

$\phi \colon H\to \operatorname {Aut} (N)$

이 주어졌을 때, 반직접곱

$N\rtimes H$

을 정의할 수 있다. 이는 직접곱의 일반화이다.

자유곱

 이 부분의 본문은 자유곱입니다.

군 $G$, $H$가 주어졌을 때, 자유곱 $G*H$은 $G$와 $H$로부터 생성되는 가장 일반적인 군이다. 이는 (두 군 다 자명군이 아니라면) 항상 무한군이며 비아벨 군이다. 자유곱은 군의 범주에서의 쌍대곱이다.

기타 곱

이 밖에도, 화환곱(영어: wreath product) $G\wr _{\Omega }H$이나 차파-세프 곱(영어: Zappa–Szép product) 등이 존재한다.

성질

기초적 성질

모든 군의 항등원은 유일하다. (이는 모노이드의 항등원이 유일하다는 정리의 특수한 경우이다.) 군 $G$의 원소 $g\in G$가 주어졌을 때, 임의의 원소 $h\in G$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $gh=1$이다.
• $hg=1$이다.
• $h=g^{-1}$이다.

즉, 군에서는 (일반적인 모노이드와 달리) 왼쪽 역원 · 오른쪽 역원이 서로 일치한다.

군 준동형은 항등원을 항등원으로, 역원을 역원으로 대응시킨다. 즉, 군 준동형 $f\colon G\to H$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $f(1_{G})=1_{H}$
• 임의의 $g\in G$에 대하여, $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$

범주론적 성질

군과 군 준동형의 범주 $\operatorname {Grp}$은 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 각종 극한과 쌍대극한은 다음과 같다.

범주론의 개념	군론의 개념
영 대상	자명군 $1$
곱	군의 직접곱 $\prod _{i\in I}G_{i}$
쌍대곱	군의 자유곱 $G*H$
동등자	집합과 함수의 범주에서의 동등자
쌍대동등자	$\phi ,\chi \colon G\to H$의 쌍대동등자는 $\{\phi (g)\chi (g)^{-1}\colon g\in G\}$으로부터 생성되는 정규 부분군에 대한 몫군
단사 사상	단사 함수인 군 준동형
전사 사상	전사 함수인 군 준동형
군 대상	아벨 군
내적 범주	교차 가군(영어: crossed module):285–287

군의 범주에서 모노이드의 범주로 가는 망각 함자가 존재하며, 이는 충실충만한 함자이다. 즉, 두 군 사이의 모노이드 준동형은 군 준동형과 같다.

$F\colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Mon}$

이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다.

$\operatorname {Groth} \dashv F\dashv \operatorname {Unit}$

• 망각 함자의 왼쪽 수반 함자 $\operatorname {Groth} \colon \operatorname {Mon} \to \operatorname {Grp}$는 모노이드를 그 그로텐디크 군에 대응시킨다.
• 망각 함자의 오른쪽 수반 함자 $\operatorname {Unit} \colon \operatorname {Mon} \to \operatorname {Grp}$는 모노이드를 그 가역원군에 대응시킨다.

마찬가지로, 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 충실충만한 망각 함자가 존재하며, 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 집합을 이로부터 생성되는 자유군에 대응시킨다.

종류

대표적인 군의 종류로는 다음이 있다.

• 아벨 군 (또는 가환군)
• 가해군
• p군
• 단순군
• 유한군

추가 구조를 가지는 군은 다음이 있다.

• 군에 위상 공간의 구조를 부여하면, 위상군을 얻는다.
• 군에 매끈한 다양체의 구조를 부여하면, 리 군을 얻는다.
• 아벨 군에 분배 법칙을 만족시키는 곱셈 연산을 부여하면, 환 또는 유사환을 얻는다.

예

아주 많은 예가 있다.

• 유한군의 예로는 다음이 있다.
  • 자명군 $\{1\}$은 한원소 집합 위에 존재하는 유일한 군 구조이다.
  • 순환군 $\operatorname {Cyc} (n)$은 합동 산술에서 합동류들의 덧셈을 나타내는 아벨 군이다.
  • 대칭군 $\operatorname {Sym} (n)$은 집합 위의 순열들로 구성된 군이며, 교대군 $\operatorname {Alt} (n)\subseteq \operatorname {Sym} (n)$은 그 부분군이다.
  • 정이면체군 $\operatorname {Dih} (n)$은 순환군의 2겹 확대이며, 정다각형의 대칭군이다.
• 무한군의 예로는 다음이 있다.
  • 자유군은 임의의 기호들 및 역원 기호 $^{-1}$로 생성되는 기호열들의 동치류로 구성된 군이며, 일반적으로 비가환군이다.
  • 무한 순환군 $\operatorname {Cyc} (\infty )$은 정수의 덧셈군이다.
  • 모듈러 군은 복소수 타원 곡선 위에 작용하는 군이다.
• 리 군은 매끈한 다양체를 이루는 군이며, 예로는 다음이 있다.
  • 로런츠 군과 푸앵카레 군은 물리학에서 민코프스키 공간의 대칭군으로 쓰인다.
  • 특수선형군과 일반선형군은 가역 선형 변환들의 군이다.
  • 직교군 · 특수직교군 · 유니터리 군 · 특수 유니터리 군 등은 일반선형군의 다양한 부분군이다. 스핀 군은 직교군의 덮개군이다.
• 모든 환은 곱셈을 무시하면 아벨 군을 이룬다.
• 모든 체 $K$는 곱셈을 무시하면 아벨 군을 이루며, 0이 아닌 원소들의 부분 집합 $K\setminus \{0\}$ 역시 아벨 군을 이룬다. 예를 들어, 모든 실수의 집합은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루며, 0이 아닌 실수의 집합은 곱셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. 추가로, 모든 양의 실수의 집합 역시 곱셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

흔히 볼 수 있는 예로, 지수 함수

$\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \setminus \{0\}$

는 두 아벨 군 사이의 군 준동형이다. 여기서 $\mathbb {R}$는 덧셈군이며, $\mathbb {R} \setminus \{0\}$은 곱셈군으로 간주한다. 마찬가지로, 복소수체에 대한 지수 함수

$\exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \setminus \{0\}$

역시 군 준동형이다.

역사

군론은 방정식의 해를 구하려는 노력에서부터 기원하였다. 4차 방정식까지는 대수적인 풀이, 즉 근의 공식이 존재한다는 것이 알려져 있었지만(니콜로 타르탈리아, 지롤라모 카르다노, 로도비코 페라리), 5차 이상의 방정식의 근의 공식이 있는지는 밝혀지지 않고 있었다. 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 닐스 헨리크 아벨에 의해 증명되었으나, 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지고 어떤 경우에 방정식이 대수적으로 풀어지지 않는지를 일반적으로 연구하는 것은 극히 어려운 문제였다. 군론은 이 물음에 대한 답을 하려는 과정에서 에바리스트 갈루아에 의해 도입된 접근방식이었다. 갈루아는 군론을 이용해서, 다항 방정식의 대수적 해법에 대한 일반적인 관계를 증명하였다. 갈루아 이론으로 불리는 이 이론은 수학의 여러 분야 가운데에서도 극히 아름다운 이론으로 손꼽힌다.

응용

군론은 수학의 여러 분야의 기초가 되었으며, 양자역학 등의 물리학 분야에 많이 응용된다.

군이 추상화할 수 있는 대상은 다양하다. 정수나 실수 내에서의 덧셈 연산은 군의 정의를 만족하며, 어떤 도형을 회전하거나 대칭시키는 등의 동작 또한 군이 된다.

참고 문헌

• 박원선 (1997). 《군론》. 전남대학교 출판부. 
• 박승안 (2004). 《有限群의 表現論》. 경문사. ISBN 9788972827054. 
• 계승혁 (1998). 《군과 조화해석》. 민음사. ISBN 9788937436208. 
• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003. 
• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. 
• Rotman, Joseph (1994). 《An introduction to the theory of groups》. Springer. ISBN 0-387-94285-8. 
• Roman, Steven. 《Fundamentals of group theory. An Advanced Approach》. doi:10.1007/978-0-8176-8301-6. 
• 《Varieties of Groups》. Springer. 1967. 

바깥 고리

• “Group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group theory”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group homomorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Groupprops”. 

같이 보기

• 군의 작용
• 군의 표시
• 군의 표현
• 잉여류
• 정규 부분군
• 모노이드
• 군환