사차 방정식

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4차함수의 그래프

사차 방정식이란, 최고차항의 계수가 4인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 , a\ne 0$

와 같다. 여기에서 a, b, c, d는 각각 $x 4, x 3, x 2, x$ 의 계수라고 한다. e는 상수항이라고 부른다.

[편집] 역사

[편집] 페라리의 해법

$a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0$ 이 방정식에서 양변을 $x$ 의 최고차항인 $a$ 로 나눈 다음 $x = y - b / 4 a$ 라고 두면 $y 4 + p y 2 + q y + r = 0$ 꼴로 정리할 수 있다. $y 4 + 2 p y 2 + p 2 = p y 2 - q y - r + p 2$ 에서 $p y + p 2$ 를 더하면 $(y 2 + p) 2 = p y 2 - q y + p 2 - r$ . 그러므로 임의의 z 에 대해서 $(y 2 + p + z) 2 = p y 2 - q y + p 2 - r + 2 z (y 2 + p) + z 2$ $- - - > (p + 2 z) y 2 - q y + (p 2 - r + 2 p z + z 2)$ 이제 우변이 완전제곱(판별식)이 되도록 z 를 취하자. 그 경우는 다음과 같은 때이다: $4(p + 2 z)(p 2 - r + 2 p z + z 2) - q 2 = 0$

$((8 z 3 + (16 p + 4) z 2 + (16 p 2 - 8 r) z + (4 p 3 - 4 p r - q 2) = 0))$ 이 하나를 z_1로 하면 $( y^2 + p + z_1 )^2 = (p + 2 {z_1}) y^2 - qy + ( p^2 -r + 2p z_1 + {z_1}^2 )$