위상수학 과 해석학 에서 연속 함수 (連續函數, 문화어 : 련속함수, 영어 : continuous function, continuous map )는 정의역 의 점의 ‘작은 변화’에 대하여, 치역 의 값 역시 작게 변화하는 함수 이다. 즉, 변수가 연속적으로 변할 때 함숫값도 연속적으로 변하는 함수 이다. 이는 함숫값에 갑작스러운 변화가 생기지 않는다는 것을 의미한다. 더 정확하게는, 임의의 작은 함숫값의 변화에 대해, 충분히 작은 범위 안에 있는 변수의 함숫값이 그 변화보다 작도록 할 수 있을 때 함수가 연속이라고 한다. 연속이 아닌 함수는 불연속 함수( 영어 : discontinuous function )라고 한다. 예를 들어 성장하는 중인 나무의 특정 시각
t
{\displaystyle t}
에서의 높이가
H
(
t
)
{\displaystyle H(t)}
라고 하면 함수
H
{\displaystyle H}
는 연속 함수로 볼 수 있다. 반면 특정 시각
t
{\displaystyle t}
에 은행 계좌에 들어있는 돈을
M
(
t
)
{\displaystyle M(t)}
라고 하면 함수
M
{\displaystyle M}
은 돈을 넣거나 뺄 때마다 순간적으로 변하므로 불연속 함수로 볼 수 있다. 19세기까지 수학자들은 다소 직관적인 방식에 의존하여 연속이라는 개념을 사용하였지만, 이후 소위 엡실론-델타 논법 을 사용하여 연속을 엄밀하게 정의하였다.
연속 함수는 실수 집합 또는 복소수 집합 사이의 함수에 대하여 정의할 수 있으며, 보다 일반적으로 임의의 거리 공간 또는 위상 공간 사이의 연속 함수를 정의할 수 있다. 두 집합 사이의 함수 가운데 어떤 것들이 연속 함수인지는 집합 위에 정의된 위상에 따라 다르다. 이를테면, 스콧 연속 함수 는 스콧 위상 을 부여한 원순서 집합 사이의 연속 함수를 일컫는다. 다른 한편, 정의역이나 공역의 거리 구조를 바꾸더라도 위상이 변하지 않는다면 연속 함수의 개념은 변하지 않는다.
연속 함수 조건의 더 강한 형태로는 균등 연속 함수 나 립시츠 연속 함수 따위가 있다. 다만, 이 조건들을 정의하려면 위상 공간 구조만으로는 부족하다. 균등 연속 함수 의 정의역과 공역은 적어도 균등 공간 구조를 갖추어야 하며, 립시츠 연속 함수 가 정의되기 위해서는 거리 공간 구조가 필요하다.
점
x
{\displaystyle x}
에서의 연속: 임의의
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 근방 V 에 대하여,
f
(
U
)
⊆
V
{\displaystyle f(U)\subseteq V}
인
x
{\displaystyle x}
의 근방 U 가 존재한다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
및
Y
{\displaystyle Y}
사이의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
및 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다. 이 조건을 만족시키는
f
{\displaystyle f}
를 점
x
{\displaystyle x}
에서 연속 (continuous at the point
x
{\displaystyle x}
)이라고 한다.
임의의
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 근방
V
∋
f
(
x
)
{\displaystyle V\ni f(x)}
에 대하여,
f
(
U
)
⊆
V
{\displaystyle f(U)\subseteq V}
인
x
{\displaystyle x}
의 근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
가 존재한다.
임의의 그물
x
α
∈
X
{\displaystyle x_{\alpha }\in X}
에 대하여, 만약
x
α
→
x
{\displaystyle x_{\alpha }\to x}
라면
f
(
x
α
)
→
f
(
x
)
{\displaystyle f(x_{\alpha })\to f(x)}
이다.
lim
x
′
→
x
f
(
x
′
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x'\to x}f(x')=f(x)}
. 여기서
lim
x
′
→
x
{\displaystyle \lim _{x'\to x}}
은 함수의 극한 이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
및
Y
{\displaystyle Y}
사이의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치 이며, 이를 만족시키는 함수를 연속 함수 라고 한다.
임의의 열린집합
U
⊆
Y
{\displaystyle U\subseteq Y}
에 대하여, 원상
f
−
1
(
U
)
⊆
X
{\displaystyle f^{-1}(U)\subseteq X}
는 열린집합 이다.
임의의 닫힌집합
C
⊆
Y
{\displaystyle C\subseteq Y}
에 대하여, 원상
f
−
1
(
C
)
⊆
X
{\displaystyle f^{-1}(C)\subseteq X}
는 닫힌집합 이다.
f
{\displaystyle f}
는
X
{\displaystyle X}
의 모든 점에서 연속이다.
임의의 부분 집합
A
⊆
X
{\displaystyle A\subseteq X}
에 대하여, 항상
f
(
cl
(
A
)
)
⊆
cl
(
f
(
A
)
)
{\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}
이다. 여기서
cl
{\displaystyle \operatorname {cl} }
은 폐포 를 일컫는다.
임의의 부분 집합
B
⊆
Y
{\displaystyle B\subseteq Y}
에 대하여, 항상
cl
(
f
−
1
(
B
)
)
⊆
f
−
1
(
cl
B
)
{\displaystyle \operatorname {cl} (f^{-1}(B))\subseteq f^{-1}(\operatorname {cl} B)}
이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
및
Y
{\displaystyle Y}
사이의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
가 다음 조건을 만족시킨다면,
f
{\displaystyle f}
를 점렬 연속 함수 (點列連續函數, 영어 : sequentially continuous function )라고 한다.
임의의 점렬
x
i
∈
X
{\displaystyle x_{i}\in X}
및 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여, 만약
x
i
→
x
{\displaystyle x_{i}\to x}
라면
f
(
x
i
)
→
f
(
x
)
{\displaystyle f(x_{i})\to f(x)}
이다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
,
Z
{\displaystyle Z}
및 연속 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
및
g
:
Y
→
Z
{\displaystyle g\colon Y\to Z}
에 대하여, 그 합성
g
∘
f
:
X
→
Z
{\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}
역시 연속 함수이다.
연속 전단사 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
의 역함수
f
−
1
:
Y
→
X
{\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}
는 일반적으로 연속 함수가 아니다. 그러나 만약
X
{\displaystyle X}
가 콤팩트 공간 이며,
Y
{\displaystyle Y}
가 하우스도르프 공간 이라면,
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
는 연속 함수가 된다. 즉, 이 경우 연속 전단사 함수 는 위상 동형 사상 과 동치 이다. 이는 콤팩트 공간
X
{\displaystyle X}
에서 하우스도르프 공간
Y
{\displaystyle Y}
으로 가는 모든 연속 함수는 닫힌 함수 이기 때문이다.
두 위상 공간
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
사이의 연속 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
에 대하여, 다음이 성립한다.
만약
X
{\displaystyle X}
가 콤팩트 공간 이라면,
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
도 콤팩트 공간 이다.
만약
X
{\displaystyle X}
가 연결 공간 이라면,
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
도 연결 공간 이다.
만약
X
{\displaystyle X}
가 경로 연결 공간 이라면,
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
도 경로 연결 공간 이다.
임의의 두 위상 공간
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
사이의 연속 함수는 항상 점렬 연속 함수이다. 만약
X
{\displaystyle X}
가 제1 가산 공간 이라면,
X
{\displaystyle X}
와
Y
{\displaystyle Y}
사이의 함수에 대하여 연속 함수와 점렬 연속 함수가 서로 동치 이다.
균등 공간 사이에서, 모든 균등 연속 함수 는 연속 함수이다. 거리 공간 사이에서, 모든 립시츠 연속 함수 는 균등 연속 함수 이며, 따라서 연속 함수이다. 정의역이 콤팩트 균등 공간 인 경우, 연속성은 균등 연속성과 동치 이다 (하이네-칸토어 정리 ).
거리 공간에서의 연속 함수 [ 편집 ]
두 거리 공간
(
X
,
d
X
)
{\displaystyle (X,d_{X})}
및
(
Y
,
d
Y
)
{\displaystyle (Y,d_{Y})}
사이의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
및 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치 이다.
f
{\displaystyle f}
는
x
{\displaystyle x}
에서 연속이다.
임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수
δ
ϵ
>
0
{\displaystyle \delta _{\epsilon }>0}
이 존재한다.
임의의
x
′
∈
X
{\displaystyle x'\in X}
에 대하여, 만약
d
X
(
x
,
x
′
)
<
δ
ϵ
{\displaystyle d_{X}(x,x')<\delta _{\epsilon }}
라면,
d
Y
(
f
(
x
)
,
f
(
x
′
)
)
<
ϵ
{\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))<\epsilon }
이다.
f
{\displaystyle f}
는
x
{\displaystyle x}
에서 점렬 연속이다. 즉, 임의의 점렬
x
i
∈
X
{\displaystyle x_{i}\in X}
에 대하여, 만약
x
i
→
x
{\displaystyle x_{i}\to x}
라면
f
(
x
i
)
→
f
(
x
)
{\displaystyle f(x_{i})\to f(x)}
이다.
실수값 연속 함수 [ 편집 ]
임의의 위상 공간
X
{\displaystyle X}
위의 두 연속 함수
f
,
g
:
X
→
R
{\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {R} }
에 대하여, 다음이 성립한다.
f
+
g
:
X
→
R
{\displaystyle f+g\colon X\to \mathbb {R} }
는 연속 함수이다.
f
g
:
X
→
R
{\displaystyle fg\colon X\to \mathbb {R} }
는 연속 함수이다.
상수 함수 는 연속 함수이므로, 만약
g
{\displaystyle g}
가 임의의 실수
r
{\displaystyle r}
라면,
r
f
:
X
→
R
{\displaystyle rf\colon X\to \mathbb {R} }
는 연속 함수이다. 특히,
r
=
−
1
{\displaystyle r=-1}
인 경우
−
f
:
X
→
R
{\displaystyle -f\colon X\to \mathbb {R} }
는 연속 함수이다.
만약 모든
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
에 대하여
f
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f(x)\neq 0}
이라면,
1
/
f
{\displaystyle 1/f}
는 연속 함수이다.
실수 위의 함수 [ 편집 ]
어떤 구간
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
및 위상 공간
Y
{\displaystyle Y}
사이의 함수
f
:
I
→
Y
{\displaystyle f\colon I\to Y}
및 실수
r
∈
I
{\displaystyle r\in I}
에 대하여, 다음을 정의하자.
만약
lim
x
→
r
+
f
(
x
)
=
f
(
r
)
{\displaystyle \lim _{x\to r^{+}}f(x)=f(r)}
이라면
f
{\displaystyle f}
는
r
{\displaystyle r}
에서 우연속 (영어 : right-continuous )이다.
만약
lim
x
→
r
−
f
(
x
)
=
f
(
r
)
{\displaystyle \lim _{x\to r^{-}}f(x)=f(r)}
이라면
f
{\displaystyle f}
는
r
{\displaystyle r}
에서 좌연속 (영어 : left-continuous )이다.
실수 구간
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }
으로부터 위상 공간
Y
{\displaystyle Y}
로 가는 함수
f
:
I
→
Y
{\displaystyle f\colon I\to Y}
및 임의의 실수
r
∈
I
{\displaystyle r\in I}
에 대하여, 다음이 성립한다.
f
{\displaystyle f}
는
r
{\displaystyle r}
에서 연속이다.
f
{\displaystyle f}
는
r
{\displaystyle r}
에서 좌연속이며 우연속이다.
실수 위의 실수값 함수 [ 편집 ]
구간
I
⊆
R
{\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }
및 함수
f
:
I
→
R
{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }
및 점
x
∈
I
{\displaystyle x\in I}
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치 이다.
f
{\displaystyle f}
는
x
{\displaystyle x}
에서 연속이다.
임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 실수
δ
ϵ
>
0
{\displaystyle \delta _{\epsilon }>0}
이 존재한다.
임의의
x
′
∈
I
{\displaystyle x'\in I}
에 대하여, 만약
|
x
−
x
′
|
<
δ
ϵ
{\displaystyle |x-x'|<\delta _{\epsilon }}
라면,
|
f
(
x
)
−
f
(
x
′
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(x)-f(x')|<\epsilon }
이다.
f
{\displaystyle f}
는
x
{\displaystyle x}
에서 점렬 연속이다. 즉, 임의의 점렬
x
i
∈
U
{\displaystyle x_{i}\in U}
에 대하여, 만약
x
i
→
x
{\displaystyle x_{i}\to x}
라면
f
(
x
i
)
→
f
(
x
)
{\displaystyle f(x_{i})\to f(x)}
이다.
함수
x
↦
1
/
x
{\displaystyle x\mapsto 1/x}
의 그래프. 이 함수의 정의역은 0이 아닌 실수의 집합
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}
이며, 이는 연속 함수이다. 만약
0
↦
0
{\displaystyle 0\mapsto 0}
이라고 추가 정의하면 이 함수는 0에서 불연속이 된다. 만약
0
↦
∞
{\displaystyle 0\mapsto \infty }
로 정의하면 이 함수는 0에서도 연속이 되며, 복소평면 에서 리만 구 로 가는 유리형 함수 로 확장할 수 있다. 이는 이 함수를 복소함수로 보았을 때, 0은 위수 가 1인 극점이고, 유한한 주부분을 가진 로랑 급수 가 특이점 주변에서 정의될 수 있기 때문이다.
실수선에 표준적인 위상을 정의하였을 때, 다음 함수들은 연속 함수이다.
모든 다항식
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
지수 함수
exp
:
R
→
R
{\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
사인
sin
:
R
→
R
{\displaystyle \sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
코사인
cos
:
R
→
R
{\displaystyle \cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
절댓값
|
⋅
|
:
R
→
R
{\displaystyle |\cdot |\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
다음 함수는 연속 함수가 아니다.
부호 함수
sgn
:
x
↦
{
1
x
>
0
0
x
=
0
−
1
x
<
0
{\displaystyle \operatorname {sgn} \colon x\mapsto {\begin{cases}1&x>0\\0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}}
실함수의 연속 [ 편집 ]
실수 에서 실수로 가는 실함수는 데카르트 좌표계 에서 그래프 로 나타낼 수 있다. 이 때 대략적으로 말하면, 그래프가 전체 구간에서 끊어지지 않은 하나의 곡선 일 때 함수가 연속이다. 수학적으로 엄밀한 정의는 극한 을 이용하여 정의한다.[1] 변수
x
{\displaystyle x}
에 대한 함수
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
가 주어졌을 때, 실수
c
{\displaystyle c}
에 대해
x
{\displaystyle x}
가
c
{\displaystyle c}
로 갈 때
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
의 극한이
f
(
c
)
{\displaystyle f(c)}
와 같다면 함수가
c
{\displaystyle c}
에서 연속 이라고 한다.
함수의 연속을 정의하는 방법은 여러 가지가 있는데, 이는 함수의 정의역 의 성질에 따라 달라진다. 방금 정의는 특정 점에서의 연속에 대한 정의였다. 한편 어떤 열린 구간 에 대하여, 구간이 함수의 정의역에 속하고 구간 내의 모든 점에서 함수가 연속일 때, 함수가 구간에서 연속 이라고 한다. 또한 함수가 구간
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle (-\infty ,\infty )}
에서 연속일 때(즉, 실직선 위에서 연속일 때), 이를 단순히 연속 함수 라고 부른다. 예를 들어 다항 함수 는 모든 점에서 연속이므로 연속 함수이다.
어떤 구간이 열린 구간이 아니라 반열린 구간 혹은 닫힌 구간 인 경우, 그 구간이 함수의 정의역에 속하고 구간 안의 모든 내부점 에서 함수가 연속이며 구간의 끝점에서의 함숫값이 구간 내의 변수가 끝점으로 갈 때의 함숫값과 같을 때, 함수가 구간에서 연속 이라고 한다. 예를 들어 함수
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
는 정의역인 반열린 구간
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
에서 연속이다.
일반적으로 정의역 "바깥의" 점의 연속성 여부는 다뤄지지 않는다. 예를 들어
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
와
f
(
x
)
=
tan
x
{\displaystyle f(x)=\tan x}
는 각각
x
∈
R
∖
{
0
}
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \backslash \{0\}}
과
x
∈
R
∖
{
n
π
|
n
∈
N
}
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \backslash \{n\pi |n\in \mathbb {N} \}}
는 정의역에 해당하는 구간의 모든 점에서 연속이므로, 통상적으로 함수가 연속 함수라고 말한다. 일부 저자는 고립점 을 제외한 실수 전체를 정의역으로 가지는 부분 정의 함수 의 연속을 다룬다. 이러한 정의에 따르면, 위 함수들은 구간에 속하지 않는 점에서 불연속이다. 부분 정의 함수에 대하여 어떤 점이 정의역의 폐포 에 속할 때, 이 점이 정의역에 속하지 않거나 이 점에서 연속이 아니라면 함수가 그 점에서 불연속이라고 한다. 예를 들어
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
와
f
(
x
)
=
sin
1
x
{\displaystyle f(x)=\sin {\frac {1}{x}}}
는 0에서 정의되지 않으므로 0에서 연속이 아니다. 어떤 점에서 함수가 불연속일 때 이 점을 불연속점이라고 한다.
연속은 아래와 같이 다양한 방식으로 정의할 수 있다.
함수의 극한을 이용한 정의 [ 편집 ]
함수
f
{\displaystyle f}
와 함수의 정의역에 속하는 점
c
{\displaystyle c}
에 대해,
x
{\displaystyle x}
가 정의역 내에서
c
{\displaystyle c}
로 다가갈 때 그 극한
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
가 존재하고
f
(
c
)
{\displaystyle f(c)}
와 같다면,
f
{\displaystyle f}
는
c
{\displaystyle c}
에서 연속이다.[2] 수학적으로 아래처럼 표기할 수 있다.
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
f
(
c
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)}
구체적으로 이는 다음의 세 가지 조건을 함의한다. 첫째,
f
{\displaystyle f}
는
c
{\displaystyle c}
에서 정의되어야 한다.(즉,
c
{\displaystyle c}
가
f
{\displaystyle f}
의 정의역에 속해야 한다.) 둘째, 극한이 존재해야 한다. 셋째, 극한값이
f
(
c
)
{\displaystyle f(c)}
와 같아야 한다. (한편 이 정의에서함수의 정의역은 고립점을 가지지 않는다고 가정한다.)
근방을 이용한 정의 [ 편집 ]
실수에서 점
c
{\displaystyle c}
의 근방 이란
c
{\displaystyle c}
로부터 일정한 거리 내에 있는 모든 점을 포함하는 구간이다. 직관적으로 말하면, 점
c
{\displaystyle c}
에 대하여
c
{\displaystyle c}
의 근방의 길이가 0으로 수렴할 때 그 근방에서 함숫값의 구간이 점
f
(
c
)
{\displaystyle f(c)}
를 포함하면서 길이가 0에 수렴하면 함수가
c
{\displaystyle c}
에서 연속이라고 한다. 더 정확하게는 함수의 치역에서 임의의 근방
N
1
(
f
(
c
)
)
{\displaystyle N_{1}(f(c))}
이 주어졌을 때,
x
∈
N
2
(
c
)
{\displaystyle x\in N_{2}(c)}
인 모든
x
{\displaystyle x}
에 대해
f
(
x
)
∈
N
1
(
f
(
c
)
)
{\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}
를 만족하도록 하는 정의역 위에서의 근방
N
2
(
c
)
{\displaystyle N_{2}(c)}
을 항상 잡을 수 있다면 함수가
c
{\displaystyle c}
에서 연속이라고 한다.
근방은 임의의 위상 공간 에 대해 정의할 수 있는 개념이기 때문에, 함수의 연속은 실수 위에서 정의된 실함수뿐만 아니라 위상 공간 위에서 정의된 함수에 대해서 보다 일반적으로 정의할 수 있다. 함수는 고립점 위에서 자동으로 연속이 되며, 예를 들어 정의역이 정수인 실함수는 항상 연속이다.
수열의 극한을 이용한 정의 [ 편집 ]
f
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f(x)=e^{x}}
과
c
=
0
{\displaystyle c=0}
으로 수렴하는 수열
x
n
=
1
n
{\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}
에 대해
f
(
x
n
)
=
e
1
n
{\displaystyle f(x_{n})=e^{\frac {1}{n}}}
은
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(0)=1}
로 수렴한다. 따라서
f
{\displaystyle f}
는 0에서 연속이다.
정의역
D
{\displaystyle D}
위의 점들로 구성된 임의의 수열
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
에 대해, 이 수열이
c
{\displaystyle c}
로 수렴하고 그에 대응하는 수열
(
f
(
x
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle (f(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }}
이
f
(
c
)
{\displaystyle f(c)}
로 수렴한다면,
f
{\displaystyle f}
는
c
{\displaystyle c}
에서 연속이라고 한다. 수학적으로 아래처럼 표기할 수 있다.
∀
(
x
n
)
n
∈
N
⊂
D
:
lim
n
→
∞
x
n
=
c
⇒
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
f
(
c
)
{\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)}
엡실론-델타 논법을 이용한 정의 [ 편집 ]
엡실론-델타 논법을 이용한 연속의 정의에 대한 설명: 함수 f가 x=2에서 연속임을 보이려고 한다. 이때 ε=0.5라는 값이 주어졌다고 하자. 그러면 δ=0.5일 때, 2를 기준으로 2-δ보다 크고 2+δ보다 작은 모든 x는 함숫값이 f(2)-ε보다 크고 f(2)+ε보다 작다. 즉 조건을 만족하는 δ=0.5를 잡을 수 있다. 방금은 ε 값으로 0.5가 주어졌지만, 아무리 작은 ε가 주어지더라도 조건을 만족하는 δ를 잡을 수 있다면 f는 x=2에서 연속이다.
엡실론-델타 논법 을 이용하여 연속을 정의할 수 있다. 함수
f
:
D
→
R
{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }
과 정의역
D
{\displaystyle D}
위의 점
x
0
{\displaystyle x_{0}}
에 대해, 다음을 조건을 만족하면
f
{\displaystyle f}
가
x
0
{\displaystyle x_{0}}
에서 연속이라고 한다.
임의의 작은 실수
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
이 주어졌다고 하자. 이때 어떤 실수
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
이 존재하여
x
0
−
δ
<
x
<
x
0
+
δ
{\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }
인 정의역 위의 모든
x
{\displaystyle x}
에 대해 함숫값
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
가
f
(
x
0
)
−
ε
<
f
(
x
)
<
f
(
x
0
)
+
ε
{\displaystyle f(x_{0})-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }
를 만족한다.
이를 아래처럼 표현할 수도 있다.
임의의
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
에 대해,
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
이 존재하여서 모든
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
에 대해
|
x
−
x
0
|
<
δ
⇒
|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
<
ε
{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }
을 만족한다.
직관적으로 설명하면, 이는
x
{\displaystyle x}
에 대한 함숫값
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
이
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
를 기준으로 하는 어떤 작은 근방 내에 있도록 하고 싶다면
x
{\displaystyle x}
가
x
0
{\displaystyle x_{0}}
를 기준으로 하는 작은 근방 내에 있어야 한다는 것과 같다. 이때
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
를 기준으로 하는 근방이 아무리 작더라도 이를 만족하는
x
0
{\displaystyle x_{0}}
를 기준으로 하는 근방을 항상 찾을 수 있다면, 함수가
x
0
{\displaystyle x_{0}}
에서 연속이라고 한다.
연속 함수의 구성 [ 편집 ]
삼차 함수 의 그래프. 삼차 함수는
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
위에서 연속이다.
주어진 함수가 연속인지 판별하기 위해서는 함수가 위의 연속의 정의 중 하나를 만족하는지 알아보면 된다. 한편 어떤 정의역 위에서 정의된 두 연속 함수가 주어졌을 때, 두 함수의 합으로 만들어지는 함수 또한 같은 정의역 위에서 연속이다. 즉, 두 연속 함수
f
,
g
:
D
→
R
{\displaystyle f,g\colon D\to \mathbb {R} }
가 주어졌을 때, 두 연속 함수의 합
s
=
f
+
g
{\displaystyle s=f+g}
는
D
{\displaystyle D}
에서 연속이다.(이때 모든
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
에 대해
s
(
x
)
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
{\displaystyle s(x)=f(x)+g(x)}
로 정의된다.) 두 연속 함수의 곱에 대해서도 같은 결과가 성립한다. 즉, 두 연속 함수의 곱
p
=
f
⋅
g
{\displaystyle p=f\cdot g}
는
D
{\displaystyle D}
에서 연속이다.(이때 모든
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
에 대해
p
(
x
)
=
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
{\displaystyle p(x)=f(x)\cdot g(x)}
로 정의된다.)
한편 상수 함수 와 항등 함수 는 실수
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
위에서 연속이다. 그리고 모든 다항 함수 는 상수 함수와 항등 함수의 합과 곱들로 나타낼 수 있다. 따라서 위의 결과들에 의해 다항 함수는
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
위에서 연속이다.
유리 함수 의 그래프.
x
=
−
2
{\displaystyle x=-2}
에서 함수는 정의되지 않는다. 수직선과 수평선은 유리함수의 점근선 이다.
위와 비슷한 방식으로, 연속 함수의 역수
r
=
1
/
f
{\displaystyle r=1/f}
는
D
∖
{
x
:
f
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle D\setminus \{x:f(x)=0\}}
에서 연속이다.(이때
f
(
x
)
≠
0
{\displaystyle f(x)\neq 0}
인 모든
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
에 대해
r
(
x
)
=
1
/
f
(
x
)
{\displaystyle r(x)=1/f(x)}
로 정의된다.) 따라서
g
{\displaystyle g}
의 근을 제외한 정의역에서, 두 연속 함수의 몫
q
=
f
/
g
{\displaystyle q=f/g}
는
D
∖
{
x
:
f
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle D\setminus \{x:f(x)=0\}}
에서 연속이다.(이때
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g(x)\neq 0}
인 모든
x
∈
D
{\displaystyle x\in D}
에 대해
q
(
x
)
=
f
(
x
)
/
g
(
x
)
{\displaystyle q(x)=f(x)/g(x)}
로 정의된다.) 예를 들어 아래 함수
y
(
x
)
=
2
x
−
1
x
+
2
{\displaystyle y(x)={\frac {2x-1}{x+2}}}
은 분자와 분모가 모두 연속 함수이므로
x
≠
−
2
{\displaystyle x\neq -2}
인 모든 실수점 위에서 연속이다.
x
=
−
2
{\displaystyle x=-2}
에서는 함수가 정의되지 않으므로 연속성에 대해 논의할 수 없다.
함수의 합성 으로 연속 함수를 구성하는 것도 가능하다. 두 연속 함수
g
:
D
g
⊆
R
→
R
g
⊆
R
{\displaystyle g:D_{g}\subseteq \mathbb {R} \to R_{g}\subseteq \mathbb {R} }
과
f
:
D
f
⊆
R
→
R
f
⊆
D
g
{\displaystyle f:D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to R_{f}\subseteq D_{g}}
가 주어졌을 때, 두 함수의 합성
c
=
f
∘
g
:
D
f
→
R
{\displaystyle c=f\circ g:D_{f}\to \mathbb {R} }
는 연속이다.(이때 모든
x
∈
D
f
{\displaystyle x\in D_{f}}
에 대해
c
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle c(x)=g(f(x))}
로 정의된다.) 예를 들어 아래 함수
y
(
x
)
=
e
sin
(
ln
x
)
{\displaystyle y(x)=e^{\sin(\ln x)}}
은
x
>
0
{\displaystyle x>0}
에서 연속인 함수
e
x
{\displaystyle e^{x}}
와
sin
x
{\displaystyle \sin x}
, 그리고
ln
x
{\displaystyle \ln x}
의 합성이므로
x
>
0
{\displaystyle x>0}
에서 연속이다.
참고 문헌 [ 편집 ]
같이 보기 [ 편집 ]
↑ Speck, Jared (2014). “Continuity and Discontinuity” (PDF) . 《MIT Math》. 3쪽. 2016년 10월 6일에 원본 문서 (PDF) 에서 보존된 문서. 2023년 10월 21일에 확인함 . Example 5. The function 1/x is continuous on (0,∞) and on (-∞,0), i.e., for x>0 and for x<0, in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely x=0, and an infinite discontinuity there.
↑ Lang, Serge (1997), 《Undergraduate analysis》, Undergraduate Texts in Mathematics 2판, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94841-6 , section II.4
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