미적분학 에서 근 판정법 (根判定法, 영어 : root test )은 음이 아닌 실수 항의 급수 의 수렴 여부를 가리는 수렴 판정법 의 하나다. 물론, 이는 실수 항 급수의 절대 수렴 여부를 가릴 수 있음을 의미한다. 급수의 항의 거듭제곱근 의 극한 (또는 상극한 )을 사용한다.
음이 아닌 실수 항의 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
(
a
n
≥
0
∀
n
≥
0
{\displaystyle a_{n}\geq 0\forall n\geq 0}
)이 주어졌다고 하자. 또한,
C
=
lim sup
n
→
∞
a
n
n
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle C=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\in [0,\infty ]}
라고 하자. (이는 항상 존재한다.) 근 판정법 에 따르면, 다음이 성립한다.
만약
C
<
1
{\displaystyle C<1}
이라면, 급수는 수렴한다.
만약
C
>
1
{\displaystyle C>1}
이라면, 급수는 발산한다.
만약
C
=
1
{\displaystyle C=1}
이라면, 급수는 수렴할 수도, 발산할 수도 있다. 다른 방법을 사용하여야 한다.
만약 극한
lim
n
→
∞
a
n
n
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\in [0,\infty ]}
이 존재한다면, 이는 위에서 정의한 상극한 과 일치한다. 이 경우에도 극한이 1인 경우 수렴 여부를 알 수 없다.
절대 수렴 의 개념을 사용하여 적으면 다음과 같다. 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간
(
V
,
‖
‖
)
{\displaystyle (V,\lVert \rVert )}
V
{\displaystyle V}
항의 급수
∑
n
=
0
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
(
a
n
∈
V
{\displaystyle a_{n}\in V}
)
만약
K
=
V
=
R
{\displaystyle \mathbb {K} =V=\mathbb {R} }
라면, 이는 실수 항 급수다.
만약
K
=
V
=
C
{\displaystyle \mathbb {K} =V=\mathbb {C} }
라면, 이는 복소수 항 급수다.
또한,
C
=
lim sup
n
→
∞
‖
a
n
‖
n
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle C=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\lVert a_{n}\rVert }}\in [0,\infty ]}
라고 하자. (만약
V
=
K
{\displaystyle V=\mathbb {K} }
라면, 노름 은 절댓값 이며,
‖
a
n
‖
{\displaystyle \lVert a_{n}\rVert }
는
|
a
n
|
{\displaystyle |a_{n}|}
이다.) 근 판정법 에 따르면, 다음이 성립한다.
만약
C
<
1
{\displaystyle C<1}
이라면, 급수는 절대 수렴 한다.
만약
C
>
1
{\displaystyle C>1}
이라면, 급수는 발산한다.
만약
C
=
1
{\displaystyle C=1}
이라면, 급수가 절대 수렴할 수도, 조건 수렴 할 수도, 발산할 수도 있다. 다른 방법을 사용하여야 한다.
근 판정법의 이 형태는 이전 형태보다 조금 더 강하다. 예를 들어, 두 번째 명제에서 급수가 “절대 수렴 하지 않는다”고 하는 데 그치지 않고 조건 수렴 도 불가능하다고 결론 내린다. 또한, 세 번째 항목은 절대 수렴 여부를 알 수 없을 뿐 아니라, 세 가지 가능성이 존재한다고 주해한다. “
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-바나흐 공간 ” 조건을 “
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-노름 공간 ”으로 약화하여도 좋지만, 이 경우 절대 수렴 이 수렴을 함의하지 않는다.
근 판정법의 증명을 음이 아닌 실수 항 급수
∑
n
=
0
∞
‖
a
n
‖
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\lVert a_{n}\rVert }
에 적용한다.
근 판정법은 비 판정법 보다 강한 명제다. 즉, 어떤 급수의 수렴 여부를 비 판정법을 통하여 알 수 있다면, 근 판정법을 통해서도 알 수 있다. 이는 임의의 음이 아닌 실수의 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
(
a
n
≥
0
∀
n
≥
0
{\displaystyle a_{n}\geq 0\forall n\geq 0}
)에 대하여, 다음 부등식이 성립하기 때문이다.
lim inf
n
→
∞
a
n
+
1
a
n
≤
lim inf
n
→
∞
a
n
n
≤
lim sup
n
→
∞
a
n
n
≤
lim sup
n
→
∞
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}
급수
∑
n
=
0
∞
1
2
⌊
n
/
2
⌋
=
1
+
1
+
1
2
+
1
2
+
1
4
+
1
4
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lfloor n/2\rfloor }}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }
를 생각하자. 여기서
⌊
⌋
{\displaystyle \lfloor \rfloor }
는 바닥 함수 다. 근 판정법을 사용하자. 항상
a
2
n
=
a
2
n
+
1
{\displaystyle a_{2n}=a_{2n+1}}
이므로,
C
=
lim
n
→
∞
a
n
n
=
lim
n
→
∞
a
2
n
n
=
lim
n
→
∞
1
/
2
n
n
=
1
/
2
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}C&=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{2n}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{1/2^{n}}}\\&=1/2\\&<1\end{aligned}}}
이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. 비 판정법 ·라베 판정법 ·베르트랑 판정법 으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다. 비 판정법 문서는 라베 판정법을 적용할 수 있지만 근 판정법을 적용할 수는 없는 급수의 예를 제시한다. 즉, 근 판정법과 라베 판정법은 어느 하나가 다른 하나보다 강하지 않다.
급수
∑
n
=
1
∞
1
n
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots }
또는 급수
∑
n
=
1
∞
1
n
2
=
1
+
1
2
2
+
1
3
2
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }
는
C
=
1
{\displaystyle C=1}
를 만족하므로, 근 판정법을 통하여 수렴 여부를 알 수 없으며, 특히 비 판정법을 사용할 수도 없다. 실제로 첫 번째 급수는 발산하며 (조화급수 ), 두 번째 급수는 수렴한다. 이는 라베 판정법 의 표준적인 증명에서 사용되는 사실의 특수한 경우다 (따라서 라베 판정법을 사용하는 것은 일종의 순환논법 이다). 두 급수에 대하여 유효한 수렴 판정법 으로는 적분 판정법 과 코시 응집 판정법 이 있다.
근 판정법은 멱급수 의 수렴 반지름 에 대한 코시-아다마르 정리 의 증명에 사용된다. 이에 따르면, 멱급수
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
(
z
−
z
0
)
n
(
c
n
,
z
0
∈
C
)
{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}\qquad (c_{n},z_{0}\in \mathbb {C} )}
의 수렴 영역 은
z
0
{\displaystyle z_{0}}
를 중심으로 하며 다음 음이 아닌 확장된 실수 를 반지름으로 하는 열린 공 과 닫힌 공 사이에 있다.
r
=
1
lim sup
n
→
∞
|
c
n
|
n
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle r={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}\in [0,\infty ]}
프랑스 의 수학자 오귀스탱 루이 코시 가 처음 고안하였다.
Knopp, Konrad (1956). 〈§ 3.2〉. 《Infinite Sequences and Series》 (영어). Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6 .
Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). 〈§ 2.35〉. 《A Course in Modern Analysis》 (영어) four판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3 .