등각 장론

양자장론에서, 등각 장론(等角場論, 영어: conformal field theory, 약자 CFT)은 등각 변환에 대하여 대칭적인 장론이다. 임의의 시공간 차원에서 정의할 수 있으나, 2차원의 경우는 특별한 성질을 지닌다.이 경우, 계는 복소평면을 일반화한 리만 곡면에서의 이론으로 기술한다. 응집물질물리학과 끈 이론에서 쓰인다.

전개

등각 다양체

등각 장론은 등각 변환에 대하여 불변이다. 시공을 리만 다양체로 생각할 경우,등각변환은 시공에서 계량 텐서를 바일 변환을 제외하고 보존하는 변환이다. 즉 리만 다양체 $(M,g)$가 주어진다면, 등각변환 $f\colon M\to M$은 $g$를 다음과 같이 변환시킨다.

$g_{\mu \nu }(x)\mapsto \Omega (x)g_{\mu \nu }(x)$

여기서 $\Omega$는 $M$ 위의 스칼라장이다. 좀 더 추상적으로, 시공을 리만 다양체가 아니라, 단순히 미분다양체에 바일 변환에 대한 계량 텐서의 동치류가 주어진 구조로 생각할 수 있다. 이를 등각 다양체(等角多樣體, 영어: conformal manifold)라고 한다.

등각 대칭군의 생성자

등각 대칭군의 생성자는 (국소적으로) 다음과 같다. 우선 계량 부호수가 $(p,q)$인 $d=p+q$차원 유클리드 공간 ($\mathbb {R} ^{p,q}$)을 생각하자. 만약 $d>2$인 경우, 등각 대칭군은 $SO(p+1,q+1)$을 이룬다. 그 생성자는 다음과 같다.

• $d$개의 시공 평행 이동
• $d(d-1)/2$개의 로런츠 변환
• $1$개의 확대 변환(영어: dilatation)
• $d$개의 특수 등각 변환(영어: special conformal transformation)

특수 등각 변환은 반전(영어: inversion)과 평행 이동을 합성한 것이다. 여기서 반전이란

$I\colon x^{\mu }\mapsto x^{\mu }/x^{2}$

를 말한다. 즉 평행 이동

$T_{a}\colon x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+a^{\mu }$

와 같이 쓰면, 특수 등각 변환은

$S_{a}=I\circ T_{a}\circ I$

의 꼴이다.

2차원 시공의 경우, (국소적) 등각군은 무한차원이다. 이 경우 등각 다양체는 (국소적으로) 리만 곡면 (1차원 복소 다양체)와 동등하고, 등각 변환은 리만 곡면 위의 정칙변환으로 나타난다. (민코프스키 부호수의 경우 윅 회전을 할 수 있다.) 그 대수는 고전적으로는 비트 대수(영어: Witt algebra), 양자화하면 비라소로 대수로 나타난다.

축척 대칭과 등각 대칭

푸앵카레 대칭과 확대 대칭을 따르는 대부분의 이론들은 특수 등각 대칭 또한 따르므로, "축척 불변"(scale invariance)과 "등각 불변"(conformal invariance)을 구분하지 않는 경우가 많다. 그러나 이에 대한 예외도 존재한다.

등각장

등각 장론에서의 장 가운데 일부를 준일차장(準一次場, 영어: quasiprimary field)라 한다. 준일차장은 등각 변환 SO(p+1,q+1)에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 등각 장론의 모든 장은 준일차장과 그 도함수의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

2차원의 경우, 일차장(一次場, 영어: primary field)은 준일차장 가운데 뫼비우스 변환 SO(1,3) 이외에도 임의의 등각 변환에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 일차장이 아닌 장은 이차장(二次場, 영어: secondary field)라 부른다.

에너지-운동량 텐서

뇌터 정리 및 워드-다카하시 항등식에 따라, 등각 장론의 에너지-운동량 텐서의 대각합은 0이다. 2차원의 경우, 에너지-운동량 텐서를 진동 모드로 전개할 수 있고, 이에 따라 비라소로 대수를 얻는다.

범주론적 정의

그레이엄 시걸(영어: Graeme Segal)은 등각 장론을 함자의 개념을 사용하여 다음과 같이 정의하였다. 원(circle)을 대상으로, 리만 곡면에 의한 보충경계(cobordism)를 사상으로 하는 범주 $\operatorname {Bord} _{2}^{\text{conf}}$를 생각하자. 또한, $\operatorname {Hilb}$는 힐베르트 공간의 범주다. 그렇다면, (2차원) 등각 장론은 특수한 함자 $\operatorname {Bord} _{2}^{\text{conf}}\to \operatorname {Hilb}$이다. 여기서 이 함자는 양 범주의 특정한 성질들을 보존하여야 한다.

2차원 등각 장론의 특성

높은 차원과는 달리, 2차원 등각 장론은 여러 모로 더 단순하며, 그에 따라 높은 차원에서 나타나지 않는 여러 특징을 지닌다.

비라소로 대수

 이 부분의 본문은 비라소로 대수입니다.

높은 차원에서는 등각군은 유한차원이지만, 2차원의 시공에서는 그 등각군이 무한차원이다. 좀 더 정확하 말하면, SO(2,2) 아래에서의 등각 변환군은 정칙 함수의 등각 사상의 변환군(무한 차원 리 군)으로 확장되고, 이를 생성하는 리 대수는 (무한 차원의) 비라소로 대수다. (유클리드 계량 텐서의 경우) 정칙과 반정칙 비라소로 대수 두 복사본이 존재한다. (로렌츠 계량텐서의 경우 이는 오른쪽 및 왼쪽 모드에 해당한다.) 등각 장론의 상태 공간(힐베르트 공간)은 (중심 확장을 포함한) 비라소로 대수의 가군을 이룬다. 해밀토니안이 음수의 값을 가질 수 없으므로, 이는 최고 가중 가군(highest-weight module)이어야 한다.

비라소로 대수의 중심 원소 $c$는 등각 대칭의 변칙적 파괴를 나타낸다. 이에 따라, $c\neq 0$이면 등각군은 $L_{0},L_{\pm 1}$에 의하여 생성되는 뫼비우스 부분군으로 깨진다.

가해성(可解性)

양자장론은 상관 함수로 기술되는데, 2차원 등각 장론에서는 이 상관함수를 비라소로 대수와 워드-다카하시 항등식(영어: Ward-Takahashi identity)을 써서 엄밀하게 구할 수 있다. 이러한 의미에서 2차원 등각 장론은 해를 구할 수 있으며(solvable), 2차원 통계역학 계 또는 1+1차원 양자계를 이해하는 데 있어서 강력한 도구다.

c-정리

존 카디(영어: John L. Cardy)는 중심 원소 c가 계의 자유도의 수를 나타내는 것을 보였다. 그 뒤 알렉산드르 자몰롯치코프(러시아어: Алекса́ндр Борисович Замолодчиков)는 c가 재규격화군의 흐름을 나타낸다는 사실을 보였다. 즉 결합상수 $g_{i}$와 에너지 눈금 $\mu$에 대하여 함수 $c(g_{i},\mu )$를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 지닌다.

• $c$는 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다.
• $c$의 재규격화군 부동점 $g_{i}=g_{i}^{*}$에서는 $c(g_{i}^{*},\mu )$는 에너지에 상관없이 일정하다. 또한 이 경우 $c$의 값은 비라소로 대수의 중심원소의 값과 일치한다.

이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 $c$-정리($c$-theorem)으로 일컫는다.

c-정리는 2차원의 경우에는 증명되었으나, 아직 고차원에서 성립하는지 알려지지 않았고, 특수한 경우에는 고차원에서의 반례도 발견되었다. 짝수 차원의 시공간에서, 존 카디(영어: John L. Cardy)는 c에 해당하는 값을 정의하였고,, 이는 a라고 불리게 되었다. 카디는 a가 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다는 가설을 세웠다. 이를 a-정리(영어: a-theorem)라고 한다. 4차원의 경우, a-정리는 2011년에 증명되었다. 6차원의 경우는 아직 증명되지 않았다.

예

대표적인 등각 장론으로는 다음이 있다.

• 2차원
  • 최소 모형([[:en:minimal models|minimal model]]) — 이들은 완전히 분류된, 2차원 유니터리 유리(rational) 등각 장론들이다.^:45,97 이들은 유한 개의 1차장들을 가지며, 등각 붓스트랩(영어: conformal bootstrap)을 통해 완전히 풀 수 있다. 이들의 중심 원소는

$c=1-{\frac {6(m-n)}{mn}}$ ($m,n$은 서로소 양의 정수)

의 꼴이다. 임계점 근처에서의 이징 모형과 3상태 포츠 모형(Potts model)은 최소 모형의 특수한 경우다.

• • 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론이다. 이들은 3차원 위상 양자장론의 하나인 천-사이먼스 이론과 관련있다.
  • 리우빌 장론(en:Liouville field theory)은 2차원 무리(irrational) 등각 장론이며, 하나의 딜라톤을 포함하는 2차원 양자 중력을 나타낸다. 행렬 이론과 관계있다.
  • (초)끈 이론에서, 기본 끈 위에 존재하는 세계면 이론은 2차원 (초)등각 장론이다.
• 3차원
  • M2-막 위에 존재하는 이론으로 여겨지는 ABJM 이론은 3차원 초등각 장론이다.
• 4차원
  • 4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 초등각 장론이다. 이는 IIB종 초끈 이론에서 D3-막의 세계부피 이론이며, SL(2,ℤ) S-이중성을 가진다. 이는 AdS/CFT 대응성의 원래 예이다.
• 6차원
  • M5-막 위에 존재하는 세계면 이론은 ${\mathcal {N}}=(2,0)$ 초대칭을 가지는 초등각 장론이다.

응용

등각 장론은 끈 이론에서 중요하게 쓰인다. 끈의 세계면은 2차원이므로, 그 세계면 위에서는 2차원 장론이 존재한다. 이론의 일관성을 위하여 이 장론은 등각 장론이어야 한다. (초끈의 경우 등각대칭이 초등각대칭(영어: superconformal symmetry)으로 확장되게 된다.) 이 장론의 등각변칙이 시공의 차원을 26차원 (보존 이론) 또는 10차원 (초대칭 이론)으로 정한다. 또한, AdS/CFT 대응성에 따르면 특수한 경우 중력은 (3차원 또는 4차원 등의) 등각 장론과 같다. 따라서 ${\mathcal {N}}=4$ 양-밀스 이론 등과 같은 등각 장론이 중요한 역할을 한다.

등각 장론은 통계역학에서 침투(percolation) 현상 및 일반적인 임계 현상을 다루는 데 응용된다.

역사

등각 장론은 1984년에 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин)과 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 보리소비치 자몰롯치코프(러시아어: Алекса́ндр Бори́сович Замоло́дчиков)가 제창하였다.

참고 문헌

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같이 보기

• 등각사상
• 임계점
• 베스-추미노-위튼 모형
• 아핀 리 대수
• 끈 이론
• AdS/CFT 대응성