음함수 정리

다변수 미적분학에서, 음함수 정리(陰函數定理, 영어: implicit function theorem)는 변수들에 대한 방정식이 국소적으로 함수 관계를 나타낼 충분 조건을 제시하는 정리이다.

도입

2차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{2}$ 위에서 원점 $(0,0)$을 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 원의 방정식

$x^{2}+y^{2}-1=0$

을 생각하자. 이 방정식은 $[-1,1]\times [0,\infty )$에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.

$y={\sqrt {1-x^{2}}}\qquad \forall x\in [-1,1]$

또한 이 방정식은 $[-1,1]\times (-\infty ,0]$에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.

$y=-{\sqrt {1-x^{2}}}\qquad \forall x\in [-1,1]$

이 방정식을 만족시키는 연속 함수는 $[-1,1]\times \mathbb {R}$에서 위와 같은 두 가지가 있으므로 유일하지 않다. 그러나 $(0,1)$을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이 사실에 대한 기하학적 의미를 알아보기 위해, 다음과 같은 함수를 정의하자.

$z=x^{2}+y^{2}-1\qquad \forall x,y\in \mathbb {R}$

이렇게 정의한 $F$의 그래프는 $\mathbb {R} ^{3}$에 놓인 곡면이며, 위와 같은 원은 이 곡면과 평면 $z=0$의 교선이다. $(0,1)$ 주변에서 $x'^{2}+y'^{2}-1=0$인 점 $(x',y')$을 임의로 취하자. 여기에는 특히 $(x',y')=(0,1)$ 역시 포함된다. $x=x'$가 고정되었을 때, $z={x'}^{2}+y^{2}-1$는 $y=y'$ 주변에서 $y$에 대한 순증가 함수이기 때문에, 국소적으로 $y<y'$에 대하여 $z<0$이 성립하며, $y>y'$에 대하여 $z>0$이 성립한다. 따라서 $z=x^{2}+y^{2}-1$의 영점 집합은 $(0,1)$에서 국소적으로 어떤 함수 $y=y(x)$의 그래프와 일치한다. $z$가 $y$에 대한 순단조 함수가 되기 위한 한 가지 충분 조건은 $\partial z/\partial y\neq 0$이다. 이를 만족시키지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 방정식을 만족시키며 $(1,0)$을 지나는 연속 함수는 대역적으로나 국소적으로나 유일하지 않다. 음함수 정리에서는 이 조건을 가정으로 삼아 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론으로 제시한다. 사실 $\partial z/\partial y\neq 0$은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다. 여러 개의 방정식의 연립

$z_{1}(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m})=0$

$\vdots$

$z_{m}(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m})=0$

에서 $(y_{1},\dots ,y_{m})$가 국소적으로 $(x_{1},\dots ,x_{n})$의 함수인지를 다루려면 다음과 같은 비퇴화 조건을 사용하여야 한다.

$\det {\frac {\partial (z_{1},\dots ,z_{m})}{\partial (y_{1},\dots ,y_{m})}}\neq 0$

이 부등식의 좌변은 함수 $z_{1},\dots ,z_{m}$의 변수 $y_{1},\dots ,y_{m}$에 대한 야코비 행렬식이다. 특히, 만약

$z_{1}=a_{11}x_{1}+\cdots a_{1n}x_{n}+b_{11}y_{1}+\cdots +b_{1m}y_{m}$

$\vdots$

$z_{m}=a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}+b_{m1}y_{1}+\cdots +b_{mm}y_{m}$

일 경우, 위에서 정의한 야코비 행렬식은 $x_{1},\dots ,x_{n}$을 상수로 간주하여 얻는 연립 일차 방정식의 계수 행렬의 행렬식 $\det(b_{ij})_{m\times m}$이다.

정의

열린집합 $\mathbf {a} \in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$와 $\mathbf {b} \in V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ 및 연속 함수 $\mathbf {f} \colon U\times V\to \mathbb {R} ^{m}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

• $\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f}$ 역시 연속 함수이다. 여기서 $(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} )_{ij}=\partial f_{i}/\partial y_{j}$이다.
• $\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {0}$
• $\det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0$

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린집합 $\mathbf {a} \in W\subseteq U$ 및 유일한 연속 함수 $\mathbf {g} \colon W\to \mathbb {R} ^{m}$가 존재한다.

• $\mathbf {g} (W)\subseteq V$
• $\mathbf {b} =\mathbf {g} (\mathbf {a} )$
• 임의의 $\mathbf {x} \in W$에 대하여, $\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=\mathbf {0}$

또한, $k\in \{1,2,\dots \}$에 대하여, 만약 $\mathbf {f}$가 ${\mathcal {C}}^{k}$ 함수라면, $\mathbf {g}$ 역시 ${\mathcal {C}}^{k}$ 함수이며, $\mathbf {g}$의 도함수 $\mathrm {D} \mathbf {g}$는 다음과 같다.

$\mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} )=-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} )))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in W$

여기서 $(\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} )_{ij}=\partial f_{i}/\partial x_{j}$이다. 이를 음함수 정리라고 한다. $\mathbf {f}$가 ${\mathcal {C}}^{k}$ 함수임을 가정하지 않을 경우, $\mathbf {g}$의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.

가장 간단한 경우

두 열린구간 $a\in U\subseteq \mathbb {R}$와 $b\in V\subseteq \mathbb {R}$ 및 연속 함수 $f\colon U\times V\to \mathbb {R}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

• $\partial f/\partial y$ 역시 연속 함수이다.
• $f(a,b)=0$
• $(\partial f/\partial y)(a,b)\neq 0$

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린구간 $a\in W\subseteq U$ 및 유일한 연속 함수 $g\colon W\to \mathbb {R}$가 존재한다.

• $g(W)\subseteq V$
• $b=g(a)$
• 임의의 $x\in W$에 대하여, $f(x,g(x))=0$

또한, $k\in \{1,2,\dots \}$에 대하여, 만약 $f$가 ${\mathcal {C}}^{k}$ 함수라면, $g$ 역시 ${\mathcal {C}}^{k}$ 함수이며, $g$의 도함수 $g'$는 다음과 같다.

$g'(x)=-{\frac {(\partial f/\partial x)(x,g(x))}{(\partial f/\partial y)(x,g(x))}}\qquad \forall x\in W$

이는 음함수 정리에서 $n=m=1$을 취한 가장 간단한 경우이다.

증명

수학적 귀납법을 통한 증명

수학적 귀납법을 사용하자.

m=1

먼저 $m=1$일 경우를 증명하자. 편의상 $(\partial f/\partial y)(a,b)>0$라고 가정하자. 그러면 $\partial f/\partial y$에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는 $\delta _{1}>0$가 존재한다.

• $\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\subseteq U$
• $\operatorname {B} (b,\delta _{1})\subseteq V$
• 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})$ 및 $y\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})$에 대하여, $(\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ,y)>0$

이에 따라 $f(\mathbf {a} ,y)$가 $\operatorname {B} (b,\delta _{1})$에서 순증가 함수이며, 또한 $f(\mathbf {a} ,b)=0$이므로, $f(\mathbf {a} ,b-\delta _{1})<0<f(\mathbf {a} ,b+\delta _{1})$이다. 따라서 다음을 만족시키는 $0<\delta _{2}<\delta _{1}$가 존재한다.

• 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여, $f(\mathbf {x} ,b-\delta _{1})<0<f(\mathbf {x} ,b+\delta _{1})$

따라서, 임의의 $\mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여, $f(\mathbf {x} ',y)$는 $\operatorname {B} (b,\delta _{1})$에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, 중간값 정리에 따라 $f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))=0$인 유일한 $g(\mathbf {x} ')\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})$가 존재한다. 이렇게 정의한 함수 $g\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R}$는 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여 $f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=0$를 만족시키며, 특히 $b=g(\mathbf {a} )$이다. 이제 $g$의 연속성을 증명하자. 임의의 $\mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$ 및 충분히 작은 $\epsilon >0$에 대하여, $f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} ')-\epsilon )<0<f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} ')+\epsilon )$이므로, 다음을 만족시키는 $\delta _{3}>0$가 존재한다.

• $\operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{3})\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$
• 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{3})$에 대하여, $f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ')-\epsilon )<0<f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ')+\epsilon )$

따라서, 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )$에 대하여, $g(\mathbf {x} )\in \operatorname {B} (g(\mathbf {x} '),\epsilon )$이다. 이제 $g$의 유일성을 증명하자. 연속 함수 $h\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R}$가 다음을 만족시킨다고 가정하자.

• $h(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}))\subseteq V$
• $b=h(\mathbf {a} )$
• 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여, $f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=0$

그렇다면, 다음과 같은 집합이 $\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$의 열린닫힌집합임을 보이는 것으로 족하다.

$A=\{\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\colon g(\mathbf {x} )=h(\mathbf {x} )\}$

우선 임의의 $\mathbf {x} '\in A$에 대하여, 다음을 만족시키는 $\delta _{4}>0$가 존재한다.

• $\operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$
• 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})$에 대하여, $h(\mathbf {x} )\in \operatorname {B} (b,\delta _{1})$

따라서, 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta _{4})$에 대하여, $h(\mathbf {x} )=g(\mathbf {x} )$이다. 즉, $A$는 $\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$의 열린집합이다. 또한 임의의 $\mathbf {x} '\in A'\cap \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여, $g,h$의 연속성에 의하여 $\mathbf {x} '\in A$이다. 즉, $A$는 $\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$의 닫힌집합이다. $\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$는 연결 집합이며, 또한 $A\neq \varnothing$이므로, $A=\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$이다. 즉, 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여, $g(\mathbf {x} )=h(\mathbf {x} )$이다. 이제 $f$가 ${\mathcal {C}}^{k}$ 함수일 때 $g$의 ${\mathcal {C}}^{k}$성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 $j\in \{1,\dots ,n\}$ 및 $\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j}\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

$\Delta y(\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j})=g(\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j})-g(\mathbf {x} ')$

그러면 평균값 정리에 따라 다음을 만족시키는 $0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j})<1$가 존재한다.

${\begin{aligned}0&=f(\mathbf {x} '+\Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},g(\mathbf {x} ')+\Delta y)-f(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))\\&={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)\Delta x_{j}+{\frac {\partial f}{\partial y}}(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)\Delta y\end{aligned}}$

따라서, 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}{\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} ')&=\lim _{\Delta x_{j}\to \mathbf {0} }{\frac {\Delta y}{\Delta x_{j}}}\\&=\lim _{\Delta x_{j}\to \mathbf {0} }\left(-{\frac {(\partial f/\partial x_{j})(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)}{(\partial f/\partial y)(\mathbf {x} '+\theta \Delta x_{j}\mathbf {e} _{j},\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\theta \Delta y)}}\right)\\&=-{\frac {(\partial f/\partial x_{j})(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}{(\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))}}\end{aligned}}$

또한 $(\partial f/\partial x_{j})(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))$와 $(\partial f/\partial y)(\mathbf {x} ',g(\mathbf {x} '))$가 연속 함수이므로, $g$는 연속 미분 가능 함수이다.

m>1

이제 $m>1$일 경우를 증명하자. $V$의 원소를 $\mathbf {y} =(y_{1},{\tilde {\mathbf {y} }})$로 쓰고, $\mathbf {f} =(f_{1},{\tilde {\mathbf {f} }})$와 같이 표기하자. 또한 편의상 $\det(\mathrm {D} _{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}\!(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))\neq 0$이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 ${\tilde {\mathbf {g} }}\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\times \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})\to \mathbb {R} ^{m-1}$가 존재하게 되는 $\delta _{1}>0$가 존재한다.

• $\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\subseteq U$
• $\operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})\times {\tilde {\mathbf {g} }}(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\times \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1}))\subseteq V$
• $\mathbf {b} '={\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {a} ,b_{1})$
• 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})$ 및 $y_{1}\in \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})$ 및 $i\in \{2,\dots ,m\}$에 대하여, $f_{i}(\mathbf {x} ,y_{1},{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,y_{1}))=0$

다음과 같은 함수 $F\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})\times \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})\to \mathbb {R} ^{m}$를 정의하자.

$F(\mathbf {x} ,y_{1})=f_{1}(\mathbf {x} ,y_{1},{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,y_{1}))\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1}),\;y_{1}\in \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})$

그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{1})$ 및 $y_{1}\in \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})$에 대하여 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial y_{1}}}&={\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}+\sum _{j=2}^{m}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{j}}}{\frac {\partial h_{j-1}}{\partial y_{1}}}\\&={\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}+\mathrm {D} _{\tilde {\mathrm {y} }}f_{1}(\mathrm {D} _{\tilde {\mathrm {y} }}{\tilde {f}})^{-1}\mathrm {D} _{y_{1}}{\tilde {f}}\\&={\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}+\sum _{i=2}^{m}\sum _{j=2}^{m}(-1)^{i+j}{\frac {1}{\det \mathrm {D} _{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{j}}}\det \mathrm {D} _{(y_{2},\dots ,y_{j-1},y_{j+1},\dots ,y_{m})}(f_{2},\dots ,f_{i-1},f_{i+1},\dots ,f_{m})\\&={\frac {\det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} }{\det \mathrm {D} _{\tilde {\mathbf {y} }}{\tilde {\mathbf {f} }}}}\end{aligned}}$

따라서 $(\partial F/\partial y_{1})(\mathbf {a} ,b_{1})\neq 0$이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 $g_{1}\colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R}$가 존재하게 되는 $0<\delta _{2}<\delta _{1}$가 존재한다.

• $g_{1}(\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}))\subseteq \operatorname {B} (b_{1},\delta _{1})$
• $b_{1}=g_{1}(\mathbf {a} )$
• 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여, $F(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} ))=0$

이제 $\mathbf {g} \colon \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} ^{m}$를 다음과 같이 정의하자.

$\mathbf {g} (\mathbf {x} )=(g_{1}(\mathbf {x} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} )))\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$

그렇다면, $\mathbf {g}$는 연속 함수이며, 다음이 성립한다.

$\mathbf {g} (\operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}))\subseteq V$

$f_{1}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=F(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} ))=0\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$

$f_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=f_{i}(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {x} ,g_{1}(\mathbf {x} )))=0\qquad \forall \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2}),\;i\in \{2,\dots ,m\}$

$\mathbf {g} (\mathbf {a} )=(g_{1}(\mathbf {a} ),{\tilde {\mathbf {g} }}(\mathbf {a} ,b_{1}))=\mathbf {b}$

이러한 $\mathbf {g}$의 유일성은 $m=1$의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약 $\mathbf {f}$가 ${\mathcal {C}}^{k}$ 함수라면, 각 $i\in \{1,\dots ,m\}$ 및 $j\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여, $f_{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ))=0$의 양변에 $\partial /\partial x_{j}$를 취하면, 연쇄 법칙에 따라 다음을 얻는다.

${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{k}}}{\frac {\partial g_{k}}{\partial y_{j}}}=0$

이를 행렬로 표기하면 $\mathrm {D} \mathbf {g}$의 공식을 얻으며, 따라서 $\mathbf {g}$ 역시 ${\mathcal {C}}^{k}$ 함수이다.

바나흐 고정점 정리를 통한 증명

다음과 같은 함수 $\mathbf {F} \colon U\times V\to \mathbb {R} ^{m}$를 정의하자.

$\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {y} -(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))^{-1}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in V$

그러면 다음이 성립한다.

$\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=1_{m\times m}-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in V$

따라서 $\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=0_{m\times m}$이다. 또한 $\det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0$이므로, $0<c<1$를 취하였을 때, 다음을 만족시키는 $\delta _{1}>0$가 존재한다.

• ${\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{1})\subseteq U$
• ${\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})\subseteq V$
• 임의의 $\mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{1})$ 및 $\mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})$에 대하여, $\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )<c$이며 $\det \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0$

또한, $\mathbf {F} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\mathbf {b}$이므로, 다음을 만족시키는 $0<\delta _{2}<\delta _{1}$가 존재한다.

• 임의의 $\mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여, $\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert <(1-c)\delta _{1}$

이제 임의의 $\mathbf {x} '\in \operatorname {B} (\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여, $\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )$가 ${\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})$ 위의 $c$-립시츠 연속 함수임을 증명하자. 우선 임의의 $\mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})$에 대하여, 다음을 만족시키는 $0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )<1$가 존재한다.

${\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {b} \Vert &\leq \Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )\Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert \\&\leq \Vert \mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} +\theta (\mathbf {y} -\mathbf {b} ))\Vert \Vert \mathbf {y} -\mathbf {b} \Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {b} )-\mathbf {b} \Vert \\&<(1-c)\delta _{1}+c\delta _{1}\\&=\delta _{1}\end{aligned}}$

따라서 $\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )\in \operatorname {B} (\mathbf {b} ,\delta _{1})\subseteq {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})$이다. 또한, 임의의 $\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})$에 대하여, 다음을 만족시키는 $0<\theta (\mathbf {x} ',\mathbf {y} ,\mathbf {z} )<1$가 존재한다.

${\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {y} )-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {z} )\Vert &\leq \Vert \mathrm {D} _{\mathrm {y} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {z} +\theta (\mathbf {y} -\mathbf {z} )\Vert \Vert \mathbf {y} -\mathbf {z} \Vert \\&\leq c\Vert \mathbf {y} -\mathbf {z} \Vert \end{aligned}}$

즉, $\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )$는 ${\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})$ 위의 $c$-립시츠 연속 함수이다. 또한 $({\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1}),\Vert \cdot \Vert )$는 바나흐 공간이므로, 바나흐 고정점 정리에 따라 $\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\cdot )$는 ${\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})$에서 유일한 고정점 $\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})$를 가진다. 즉, 다음이 성립한다.

$\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))=\mathbf {0}$

이제 이렇게 정의한 $\mathbf {g} \colon {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2})\to \mathbb {R} ^{m}$가 연속 함수임을 증명하자. 임의의 $\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert &=\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ))-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert \\&\leq \Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ))-\mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert +\Vert \mathbf {F} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} '))-\mathbf {F} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Vert \\&\leq c\Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert +c'\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert \end{aligned}}$

$c'=\sup _{\mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2}),\;\mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {b} ,\delta _{1})}\Vert \mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {F} (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\Vert$

즉, 다음이 성립한다.

$\Vert \mathbf {g} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} ')\Vert \leq {\frac {c'}{1-c}}\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert$

따라서 $\mathbf {g}$는 연속 함수가 맞다. $\mathbf {g}$의 유일성은 고정점의 유일성에 따라 성립한다. 이제 $\mathbf {f}$가 ${\mathcal {C}}^{k}$ 함수일 때 $\mathbf {g}$의 ${\mathcal {C}}^{k}$성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 $\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {a} ,\delta _{2})$에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

$\Delta \mathbf {y} (\mathbf {x} ',\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )=\mathbf {g} (\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {g} (\mathbf {x} )$

그러면 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}\Vert \Delta \mathbf {y} +(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert &\leq \Vert (\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\Vert \Vert (\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))\Delta \mathbf {y} +\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert \\&=\Vert (\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\Vert \Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} ,\mathbf {g} (\mathbf {x} ')+\Delta \mathbf {y} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))\Delta \mathbf {y} -\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))\Delta \mathbf {x} \Vert \\&=o(\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert )\qquad (\Delta \mathbf {x} \to \mathbf {0} )\end{aligned}}$

마지막 등호는 $\Vert \Delta \mathbf {y} \Vert \leq (c'/(1-c))\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert$ 때문이다. 즉,

$\mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} ')=-(\mathrm {D} _{\mathbf {y} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} ')))^{-1}\mathrm {D} _{\mathbf {x} }\mathbf {f} (\mathbf {x} ',\mathbf {g} (\mathbf {x} '))$

가 성립하며, $\mathbf {g}$는 ${\mathcal {C}}^{k}$ 함수이다.

예

닫힌 형식으로 나타낼 수 없는 함수

어떤 $0<\epsilon <1$에 대하여, 케플러 방정식

$x=y-\epsilon \sin y$

을 생각하자. 다음과 같은 함수 $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$를 정의하자.

$f(x,y)=y-x-\epsilon \sin y\qquad \forall x,y\in \mathbb {R}$

그렇다면, 임의의 $x\in \mathbb {R}$에 대하여,

$\lim _{y\to -\infty }f(x,y)=-\infty ,\;\lim _{y\to \infty }f(x,y)=\infty$

$f_{y}(x,y)=1-\epsilon \cos y>0\qquad \forall y\in \mathbb {R}$

이므로, $f(x,g(x))=0$인 유일한 $g(x)\in \mathbb {R}$가 존재한다. 음함수 정리에 따라, 이러한 함수 $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$는 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 함수이다. 다시 말해, 케플러 방정식은 어떤 유일한 (${\mathcal {C}}^{\infty }$) 함수와 동치이다. 그러나 이러한 함수 $g$는 닫힌 형식으로 나타낼 수 없다.

충분 조건의 비필요성

다음과 같은 연속 함수 $f,g\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 및 $h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$를 생각하자.

$f(x,y)=|y|\qquad \forall x,y\in \mathbb {R}$

$g(x,y)=y^{3}\qquad \forall x,y\in \mathbb {R}$

$h(x)=0\qquad \forall x\in \mathbb {R}$

그러면 $x,y\in \mathbb {R}$에 대하여 다음 세 가지가 동치이다.

• $f(x,y)=0$
• $g(x,y)=0$
• $y=h(x)$

즉, $h$는 $f$ 또는 $g$가 유도하는 음함수이다. 그러나 $f_{y}(0,0)$는 존재하지 않으며, $g_{y}(0,0)=0$이다.

같이 보기

• 역함수 정리