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* [[유클리드 공간]]의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]과 그 속의 점 <math>\boldsymbol a\in D\subseteq\mathbb R^n</math> |
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* [[유클리드 공간]]의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]과 그 속의 점 <math>\boldsymbol b\in\Omega\subseteq\mathbb R^m</math> |
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* [[유클리드 공간]]의 [[연결 공간|연결]] [[열린집합]]과 그 속의 점 <math>\boldsymbol b\in\Omega\subseteq\mathbb R^m</math> |
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* 함수 <math>\boldsymbol z=\boldsymbol F(\boldsymbol x,\boldsymbol y)\colon D\times\Omega\to\mathbb R^m;</math> |
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* 함수 <math>\boldsymbol z=\boldsymbol F(\boldsymbol x,\boldsymbol y)\colon D\times\Omega\to\mathbb R^m</math> |
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(따라서 <math>(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\in D\times\Omega\subseteq\mathbb R^{n+m}</math>이다.) |
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(따라서 <math>(\boldsymbol a,\boldsymbol b)\in D\times\Omega\subseteq\mathbb R^{n+m}</math>이다.) |
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다변수 미적분학에서 음함수 정리(陰函數定理, 영어: implicit function theorem)는 하나 또는 여러 다변수 방정식이 음함수를 결정할 충분 조건을 제시하는 정리이다.
도입
원을 나타내는 방정식
이 와 사이의 함수 관계를 결정할 수 있는지를 생각하자.
자연 정의역 에서, 방정식의 그래프는 자명하게 함수의 그래프가 아니다. 예를 들어 그래프와 직선 은 유일하지 않은 교점 과 을 갖는다. 따라서 원의 방정식은 함수 형태 로 나타낼 수 없다.
점 부근에서, 방정식의 그래프는 역시 함수의 그래프가 아니다. 즉 원은 부근에 제한되었을 때 여전히 어떤 수직인 선과 유일하지 않은 교점을 갖는다. 따라서 원의 방정식은 부근에서 함수 형태 로 나타낼 수 없다.
점 부근에서, 방정식의 그래프는 함수의 그래프이다. 즉 원은 부근에 제한되었을 때 수직인 선과 여러 교점을 가지지 않는다. 따라서 원의 방정식은 부근에서 함수 형태 로 나타낼 수 있다.
비슷하게, 을 제외한 원 속 모든 점 부근에서 원의 방정식은 로 나타낼 수 있다. 이에 따라, 그 두 점을 제외하면 원의 방정식은 두 갈래의 함수
로 나뉜다.
음함수 정리는 어떤 방정식이 함수 형태로 나타낼 수 있을 충분 조건을 제시한다.
서술
단일 이변수 방정식에 대한 음함수 정리
두 실수 열린구간 및 의 곱집합 에 정의된 실숫값 함수 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
- 는 에서 연속 미분 가능 함수이다. 즉 와 에 대한 의 편도함수 와 가 존재하며 둘 다 에서 연속 함수이다.
음함수 정리에 따르면 어떤 두 부분 열린구간 와 의 곱집합 에서, 방정식
은 와 사이의 함수 관계 를 결정한다. 즉 임의의 에 대하여, 인 유일한 가 존재한다. 또한, 는 에서 연속 미분 가능 함수이며 그 도함수는 다음과 같다.
즉
연립 다변수 방정식에 대한 음함수 정리
다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.
- 유클리드 공간의 연결 열린집합과 그 속의 점
- 유클리드 공간의 연결 열린집합과 그 속의 점
- 함수
(따라서 이다.)
이들이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
- . 즉 연속 미분 가능 함수이다. 즉 모든 변수에 대한 편도함수가 연속 함수로서 존재한다.
- . 즉 에서 에 대한 편도함수 행렬이 가역 행렬이다.
음함수 정리에 따르면 다음 조건을 만족시키는 함수 가 어떤 두 연결 열린집합 와 사이에 유일하게 존재한다.[1]
- 임의의 에 대하여
또한 의 야코비 행렬은 다음과 같다.
즉
같이 보기
각주
참고 문헌