순서수

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이하의 순서수들의 형상화

집합론에서, 순서수(順序數, 영어: ordinal)는 정렬 집합들의 "길이"를 측정하는 의 일종이다. 자연수를 확장하며, 자연수들의 정렬 집합과 같은 무한 정렬 집합들의 크기를 측정하는 무한 순서수들이 존재한다.

자연수집합크기를 표현하기 위해 사용되기도 하고, 에서 원소의 위치를 나타내기 위해 사용되기도 한다. 이 두 쓰임새는 유한 집합의 경우 크게 다르지 않으나, 무한 집합의 경우에는 이 구분이 중요해진다. 전자를 확장한 것이 기수이고, 후자를 확장한 것이 순서수이다.

기수는 아무런 구조도 갖지 않는 집합에 대해서도 부여할 수 있지만, 순서수는 정렬 집합에 대해서만 정의되며, 정렬 순서의 개념과 순서수의 개념에는 매우 밀접한 관련이 있다. 간단히 말해, 정렬 순서란 무한히 감소하는 수열이 존재하지 않는 전순서를 말한다. (물론 무한히 증가하는 수열은 존재할 수 있다.) 임의의 전순서 집합에서 최소 원소를 0이라 하고 그 다음 원소를 1이라 하는 식으로 그 집합의 원소들을 순서수를 이용해 순서매길 수 있으며, 이 집합의 "길이"를 여기에서 집합의 원소에 대응되지 않는 가장 작은 순서수로 정의할 수 있다. 이 "길이"를 집합의 순서형이라고 한다.

정의[편집]

동치류를 이용한 정의[편집]

기수를 모든 집합의 전단사 함수에 대한 동치류로 정의할 수 있는 것처럼, 순서수는 모든 정렬 집합의 순서 동형에 대한 동치류로 정의할 수 있다. 그러나 이러한 정의에 따르면 각 순서수는 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합이 아니며, 고유 모임이 되므로 기술적으로 문제가 있다. (예를 들어, 순서수의 모임 고유 모임들을 원소를 가져야 하므로 정의할 수 없다.)

형 이론이나 윌러드 밴 오먼 콰인새 기초(New Foundations)등에서는 이 정의가 문제가 되지 않는다. 이 정의는 형 이론을 사용하는 《수학 원리》에 등장한다.

폰 노이만 정의[편집]

집합론적 문제를 피하기 위해, 정렬 집합의 순서 동형 동치류의 대표원을 다음과 같이 고를 수 있다. 이 정의는 존 폰 노이만이 제시하였고,[1] 오늘날 표준적인 정의다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론를 가정하면, 추이적 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 추이적 집합순서수라고 한다.

  • 전순서 집합을 이룬다.
  • 임의의 에 대하여, 이거나 이거나 이다.
  • 의 모든 원소는 추이적 집합이다.

폰 노이만 정의에서는 순서수 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

이를 로 표기하고, 로 표기한다. 즉, 순서수 는 그보다 작은 모든 순서수들의 집합이다.

이 순서에 따라, 모든 순서수정렬 집합이며, 반대로 모든 정렬 집합이 정확히 하나의 순서수와 순서 동형이라는 것은 초한 귀납법을 이용해 보일 수 있다.

마찬가지로, 모든 순서수의 모임 정렬 모임을 이룬다. 이 덕분에 순서수에 대해 초한 귀납법을 자유로이 사용할 수 있다.

연산[편집]

순서수들에 대해 덧셈 · 곱셈 · 거듭제곱 연산을 정의하는 것이 가능하다. 각 연산은 연산 결과에 해당하는 정렬 집합을 직접 만들어내는 방법으로 정의할 수도 있고, 초한 귀납법을 이용해 정의할 수도 있다. 유한 순서수의 경우, 순서수로서의 연산은 기수로서의 연산 및 자연수로서의 연산과 일치한다. 무한 순서수의 경우, 순서수의 연산은 극한 기수로서의 연산과 현저히 다르다.

정렬 집합 가 주어졌다고 하고, 의 순서형이 , 의 순서형이 라고 하자. (폰 노이만 정의에서는 , 로 놓을 수 있다.)

덧셈[편집]

서로소 합집합 에 다음과 같은 정렬 순서를 주자.

그렇다면 순서수의 의 순서형이다.

폰 노이만 정의에서, 순서수의 합은 마찬가지로 다음과 같이 초한 귀납법으로 정의할 수도 있다.

  • (은 아닌 극한 순서수)

곱셈[편집]

곱집합 사전식 순서를 주자. 그렇다면 순서수의 의 순서형이다.

폰 노이만 정의에서, 순서수의 곱은 마찬가지로 다음과 같이 초한 귀납법으로 정의할 수도 있다.

  • (은 아닌 극한 순서수)

거듭제곱[편집]

함수 집합

사전식 순서를 주자. 그렇다면 순서수의 거듭제곱 의 순서형이다.

폰 노이만 정의에서, 순서수의 거듭제곱은 마찬가지로 다음과 같이 초한 귀납법으로 정의할 수도 있다.

  • (은 극한 순서수)

성질[편집]

연산에 대한 닫힘[편집]

폰 노이만 정의에서, 가 순서수이며, 라면 또한 순서수이다. 또한, 임의의 순서수의 집합 상한이며, 이 역시 순서수이다.

그러나 순서수의 부분 집합은 일반적으로 순서수가 아니다.

순서수의 모임 고유 모임이며, 따라서 순서수가 아니다. 이 사실을 부랄리포르티 역설이라고 한다.

산술 연산의 성질[편집]

덧셈[편집]

는 "모노이드"를 이룬다. 즉, 덧셈의 결합 법칙이 성립하며, 양쪽 항등원 이 존재한다. (물론, 는 집합이 아니므로 엄밀히 말해 모노이드가 될 수 없다.)

그러나 이는 "가환 모노이드"가 아니다. 즉, 덧셈의 교환 법칙을 만족시키지 않는다. 예를 들어,

이다.

임의의 서수 에 대하여 다음이 성립한다.

  • 동치이다.
  • 동치이다.
  • 이 극한 순서수라 하고, 가 순서수에 대한 증가 함수라 하자. 이때

로 정의하면 다음이 성립한다.

곱셈[편집]

는 "모노이드"를 이룬다. 즉, 곱셈의 결합 법칙이 성립하며, 양쪽 항등원 이 존재한다. (물론, 는 집합이 아니므로 엄밀히 말해 모노이드가 될 수 없다.) 또한, 이 "모노이드"는 0을 가지며, 오른쪽 분배 법칙이 성립한다.

  • (우측 분배 법칙)
  • (영인자의 부재) 이라면 이거나 이다.

그러나 교환 법칙 및 왼쪽 분배 법칙은 성립하지 않는다.

거듭제곱[편집]

임의의 순서수 에 대하여 다음이 성립한다.

  • (거듭제곱의 분배 법칙)

그러나 일 수 있다. 예를 들어,

이다.

순서수의 거듭제곱은 기수의 거듭제곱과 현저히 다르다. 예를 들어, 순서수 연산에 대해서, 칸토어의 정리가 다음과 같이 성립하지 않는다.

종류[편집]

극한 순서수와 따름 순서수[편집]

모든 순서수들은 따름 순서수(-順序數, 영어: successor ordinal) 또는 극한 순서수(極限順序數, 영어: limit ordinal)로 분류된다. (일부 문헌에서는 0을 극한 순서수에서 제외하기도 한다.) 이들은 초한 귀납법을 적용할 때 보통 개별적으로 다룬다.

순서수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 극한 순서수라고 하며, 이를 만족시키지 않는 순서수를 따름 순서수라고 한다.

  • 인 순서수 가 존재하지 않는다.
  • 이다. (물론 으로 놓는다.)
  • 이다. (여기서 공종도이다.)
  • 폰 노이만 정의에서, 최대 원소를 갖지 않는다.
  • 인 순서수 가 존재한다.
  • 폰 노이만 정의에서, 임의의 순서수 에 대하여 순서 위상을 부여하였을 때, 집적점이거나 이다. 즉, 라면 의 모든 근방무한 집합이다.

예를 들어, 순서수들

0, 1, 2, ... , ω, ω+1

가운데, 1, 2, …, ω+1 는 따름 순서수이며, 0과 ω는 극한 순서수이다.

유한 순서수[편집]

임의의 순서수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 유한 순서수(영어: finite ordinal)라고 한다.

  • 이다.
  • 는 (폰 노이만 정의에 따라) 집합으로서 유한 집합이다. 즉, 이다.
  • 의 역순서 정렬 순서이다. 즉, 에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합최대 원소를 갖는다.
  • 순서 위상을 부여하였을 때, 집적점을 갖지 않는다.

유한 순서수들은 자연수(음이 아닌 정수)들과 대응된다. 폰 노이만 정의에 따르면, 이들은

등의 집합으로 정의된다.

가산 무한 순서수[편집]

순서수 의 형상화. 개의 들이 모여 있다.

가장 작은 무한 순서수 는 자연수 집합 전체의 순서형이며, 폰 노이만 정의에서는 이는 자연수의 집합과 같다.

그 다음에는 , 등의 순서수들이 존재한다.

마찬가지로, 는 다음과 같다. (순서수의 곱셈은 가환하지 않으며, 이다.)

마찬가지로, 등이 존재한다. 이와 같은 방법으로 만들어지는 모든 순서수(즉, 자연수 에 대해 으로 나타낼 수 있는 순서수)들의 집합(의 순서형)은 그 자체로 순서수가 되며, 이는 이다. 비슷한 방법으로 등이 존재한다.

의 극한은 이고, 마찬가지로 등등이 존재한다.

의 극한은 라고 한다. 이 역시 가산 무한 순서수이다. 이는

을 만족시킨다.

비가산 무한 순서수[편집]

모든 가산 무한 순서수들의 집합의 순서형은 가장 작은 비가산 무한 순서수 이다. 이는 가장 작은 비가산 무한 기수 과 같다.

칸토어 표준형[편집]

임의의 순서수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 모든 순서수 는 다음과 같은 꼴로 유일하게 나타내어진다.

이를 진 칸토어 표준형(進Cantor標準型, 영어: base- Cantor normal form)이라고 한다. 진법 가 주어지지 않았을 때, 칸토어 표준형이란 진 칸토어 표준형을 뜻한다.

이를 재귀적으로 사용하여, 일부 순서수들을 양의 정수 및 기호 만으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 다음과 같다.

이와 같이 나타낼 수 있는 순서수는 이하이다. 여기서 순서수 는 다음과 같다.

즉, 진 칸토어 표준형은 이므로 이는 자연수와 만으로 나타낼 수 없다.

응용[편집]

순서수의 개념은 초한 귀납법을 사용할 때 필요하다. 이를 사용하여, 무한한 구조를 귀납적으로 손쉽게 정의할 수 있다. 예를 들어, 측도론에서 보렐 집합들은 어떤 기저로부터 생성되는 "생일"에 대응하는 순서수로 분류된다.

증명 이론에서는 주어진 수학 이론의 강력한 정도를 순서수로 측정하며, 이 이론을 순서수 분석이라고 한다. 순서수가 더 큰 이론은 순서수가 더 작은 이론의 무모순성을 증명할 수 있다.

역사[편집]

게오르크 칸토어가 1883년에 도입하였다.[2] 원래 순서수의 동치류로서의 정의는 고유 모임이므로 집합론적인 결함이 있었으며, 1923년에 존 폰 노이만이 오늘날 쓰이는 정의를 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. von Neumann, Johann (1923). “Zur Einführung der trasfiniten Zahlen”. 《Acta Scientiarum Mathematicarum Universitatis Szegediensis》 (독일어) 1 (4): 199–208. 
  2. Cantor, Georg (1883). 《Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre》 (독일어). Leipzig. JFM 15.0453.01. 

바깥 고리[편집]