멱의 법칙

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미적분학에서, 멱의 법칙(영어: power rule)은 멱함수도함수를 구하는 공식이다.

정의[편집]

멱의 법칙에 따르면, 멱함수 ()의 도함수는 다음과 같다.

멱함수의 원함수를 구하는 공식은 다음과 같으며, 이는 멱의 법칙과 동치이다. (여기서 적분 상수이다.)

보다 일반적으로, 멱함수의 고계 도함수를 구하는 공식은 다음과 같다. (여기서 하강 계승이다.)

미분은 선형성을 가지기 때문에, 멱의 법칙으로부터 다항식의 도함수를 구하는 공식을 유도할 수 있으며, 이는 다음과 같다.

마찬가지로 다항식의 원함수를 구하는 공식은 다음과 같다.

증명[편집]

자연수 지수의 경우[편집]

자연수 에 대한 명제는 수학적 귀납법으로 증명 가능하다. 우선 인 경우는 상수 함수의 미분이 0이라는 명제가 되므로 자명하게 성립한다. 이제 어떤 에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 곱의 법칙에 따라, 에 대한 명제

역시 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 멱의 법칙은 임의의 자연수에 대하여 성립한다. 자연수 지수의 멱의 법칙은 이항 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수도 있다.

실수 지수의 경우[편집]

음의 정수 지수 에 대한 명제는 자연수의 경우와 몫의 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

유리수 지수 에 대한 명제는 정수의 경우와 연쇄 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

실수 지수 에 대한 명제는 지수 함수로그 함수의 미분과 연쇄 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

[편집]

예를 들어, 낮은 양의 정수 차수의 멱함수의 도함수 공식은 다음과 같다.

자연수가 아닌 경우에 대한 몇 가지 예시는 다음과 같다.

다항식의 도함수를 구하는 예시는 다음과 같다.

외부 링크[편집]