가측 기수

집합론에서 가측 기수(可測基數, 영어: measurable cardinal)는 기본 매장으로 정의될 수 있는 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의

필터와 측도

음이 아닌 확장된 실수의 집합 $S\subseteq [0,\infty ]$에 대하여, 다음을 정의하자.^{:129, (10.10)}

$\sum S=\sup _{\scriptstyle S'\subseteq S \atop \scriptstyle |S'|<\aleph _{0}}\sum S'\in [0,\infty ]$

임의의 기수 $\kappa$와 $\kappa$-완비 불 대수 $B$ 및 $S\subseteq [0,\infty ]$에 대하여, 함수 $\mu \colon B\to S$가 다음 조건들을 모두 만족시키면, $\mu$가 ${\mathsf {Meas}}(\kappa ;B,S)$ 조건을 만족시킨다고 하자.

• $\mu (\bot )=0$이다.
• (단조성) $a\leq b$라면 $\mu (a)\leq \mu (b)$이다.
• ($\kappa$-가법성) 임의의 $S\subseteq B$에 대하여, 만약 $|S|<\kappa$이며 임의의 $s,t\in S$에 대하여 $s\land t=\bot _{B}$라면, $\textstyle \mu \left(\bigvee S\right)=\sum \mu [S]$이다.

이 조건을 만족시키는 함수 $\mu$를 $B$ 위의, $S$ 값의 $\kappa$-가법 측도(영어: $S$-valued $\kappa$-additive measure on $B$)라고 하자.

이 개념은 다음 개념들을 일반화한다.

• 측도: 시그마 대수 $\Sigma$ 위의 측도 $\mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]$는 ${\mathsf {Meas}}(\aleph _{1};\Sigma ,[0,\infty ])$를 만족시키는 함수이다.
• 극대 필터: $B$ 위의 극대 필터 $U\subseteq B$에 대하여, 함수 $\mu \colon B\to \{0,1\}$, $\textstyle \mu \colon b\mapsto {\begin{cases}1&b\in U\\0&b\not \in U\end{cases}}$를 정의하면, $\mu$는 ${\mathsf {Meas}}(\aleph _{0};B,\{0,1\})$를 만족시킨다.

가측 기수

기수 $\kappa$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 가측 기수라고 한다.

• 크기가 $\kappa$인 집합 위에, 주 필터가 아닌 $\kappa$-완비 극대 필터가 존재한다.^{:127, Definition 10.3:26, §1.2}
• 멱집합 $\operatorname {Pow} (\kappa )$ 위에, ${\mathsf {Meas}}(\kappa ;\operatorname {Pow} (\kappa ),\{0,1\})$를 만족시키는 함수 $\mu \colon \operatorname {Pow} (\kappa )\to \{0,1\}$가 존재하며, 또한 임의의 $\alpha \in \kappa$에 대하여 $\mu (\{\alpha \})=0$이다. (이는 위 조건과 자명하게 동치이다.)
• $\kappa$는 폰 노이만 전체 $V$로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 $M$으로 가는 기본 매장의 임계점이다.

임의의 기수 $\kappa$에 대하여, 만약 ${\mathsf {Meas}}(\kappa ;\operatorname {Pow} (\kappa ),[0,1])$를 만족시키는 확률 측도 $\mu \colon \operatorname {Pow} (\kappa )\to [0,1]$가 존재하며, 또한 다음 두 조건이 추가로 성립한다고 하자.

• 만약 $\mu$가 한원소 집합을 0으로 대응시킨다. (즉, 임의의 $a\in \kappa$에 대하여 $\mu (\{a\})=0$이다.)

그렇다면 $\kappa$를 실가 가측 기수(實價可測基數, 영어: real-valued measurable cardinal)라고 한다.^{:130, Definition 10.8:24, §2.1}

성질

함의 관계

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 모든 가측 기수는 도달 불가능한 기수이며 또한 약콤팩트 기수이다.^{:Lemma 10.18} (그러나 선택 공리를 가정하지 않으면, 가측 기수가 따름기수일 수 있다.) 모든 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.^{:136, §10} 즉, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

초콤팩트 기수 ⇒ 강콤팩트 기수 ⇒ 가측 기수 ⇒ 약콤팩트 기수 ⇒ 말로 기수 ⇒ 도달 불가능한 기수 ⇒ 정칙 기수 ⇒ 기수 ⇒ 순서수

모든 가측 기수는 실가 가측 기수이다. 가측 기수가 아닌 임의의 실가 가측 기수는 $2^{\aleph _{0}}$ 이하이다.^{:131, Corollary 10.10}

논리적 성질

가측 기수 $\kappa$에 대하여, $V_{\kappa }$ (크기가 $\kappa$ 미만인 집합들로 구성된 폰 노이만 전체의 부분 집합)는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 모형이다. 따라서, ZFC가 무모순적이라면 ZFC에서는 가측 기수의 존재를 증명할 수 없다. 또한, $V_{\kappa }$에서는 가측 기수가 존재하지 않으므로, 적어도 하나의 가측 기수가 존재한다면 ZFC + "가측 기수의 부재"는 무모순적이다.

만약 적어도 하나 이상의 비가산 가측 기수가 존재한다면, 구성 가능성 공리 $V=L$은 거짓이다.

울람 행렬

임의의 두 기수 $\kappa ,\lambda$가 주어졌다고 하자.

$(\lambda ,\kappa )$-울람 행렬은 다음 두 성질을 만족시키는 함수

$A\colon \lambda \times \kappa \to \operatorname {Pow} (\lambda )$

$A\colon (\alpha ,\beta )\mapsto A_{\alpha ,\beta }$

이다.^{:131, Definition 10.11; 132, (10.14)}

• 각 열의 성분들은 서로소이다. 즉, 만약 $\alpha \neq \alpha '$라면, 임의의 $\beta <\lambda$에 대하여 $A_{\alpha ,\beta }\cap A_{\alpha ',\beta }=\varnothing$
• 각 행의 성분들의 합집합의 여집합의 크기는 $\kappa$ 이하이다. 즉, 임의의 $\alpha <\lambda$에 대하여, $\textstyle |\lambda \setminus \bigcup _{\beta <\lambda }A_{\alpha ,\beta }|<\kappa$이다.

만약 $(\kappa ,\lambda )$가 주어지지 않았다면, $(\kappa ,\lambda )=(\aleph _{1},\aleph _{0})$을 뜻한다.

존재

임의의 기수 $\kappa$에 대하여, $(\kappa ^{+},\kappa )$-울람 행렬이 존재한다.

증명:

각 $\xi \in \kappa ^{+}$에 대하여, 전사 함수

$f_{\xi }\colon \kappa \to \xi$

를 고르자. 그렇다면, 행렬 $A_{\alpha ,\beta }$를 다음과 같이 정의하자.

$\xi \in A_{\alpha ,\beta }\iff f_{\xi }(\beta )=\alpha$

그렇다면, $A$는 $(\kappa ^{+},\kappa )$-울람 행렬을 이룬다.

• 임의의 $\xi \in \kappa ^{+}$ 및 $\beta \in \kappa$에 대하여, $\xi \in A_{\alpha ,\beta }$가 되는 유일한 $\alpha$는 $\alpha =f_{\xi }(\beta )$이다.
• 각 $\alpha \in \kappa ^{+}$에 대하여, $\textstyle \kappa \setminus \bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }=\kappa \setminus \{\xi \in \kappa ^{+}\colon \alpha <\xi \}=\min\{\alpha ,\kappa \}$이다.

측도와의 관계

측도 $\mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]$의 원자(영어: atom)는 $\mu (S)>0$이지만 임의의 $S'<S$에 대하여 $\mu (S')=0$이 되는 원소 $S\in \Sigma$이다.

임의의 기수 $\lambda >\kappa \geq \aleph _{0}$가 주어졌다고 하자.

$(\lambda ,\kappa )$-울람 행렬이 존재한다면, $\operatorname {Pow} (\lambda )$ 위의 임의의 $\kappa ^{+}$-가법 확률 측도 $\Pr$는 항상 공집합이 아닌 원자를 갖는다. 즉,

$\Pr(\{\alpha \})>0$

인 $\alpha \in \lambda$가 존재한다.

증명:

$A$가 울람 행렬이라고 하고, $\Pr$가 $\operatorname {Pow} (\lambda )$ 위의 $\kappa ^{+}$-가법 확률 측도라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 $\alpha \in \lambda$에 대하여 $\Pr(\{\alpha \})=0$라고 하자.

그렇다면, 울람 행렬의 정의에 따라, 각 $\alpha <\lambda$에 대하여,

$\Pr \left(\lambda \setminus \bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }\right)=0$

$\Pr \left(\bigcup _{\beta <\kappa }A_{\alpha ,\beta }\right)=1$

이다. 따라서, $\Pr(A_{\alpha ,f(\alpha )})>0$인 $f(\alpha )<\kappa$가 존재한다. 이제, 각 $\beta \in \kappa$에 대하여

$f^{-1}(\beta )=\{\alpha \in \lambda \colon f(\alpha )=\beta \}$

를 생각하자. $\lambda >\kappa \geq \aleph _{0}$이므로, $f^{-1}(\beta _{0})=\lambda$인 $\beta _{0}\in \kappa$가 존재한다.

이제,

${\mathcal {U}}=(A_{\alpha ,\beta _{0}})_{\alpha \in f^{-1}(\beta _{0})}$

는 $\lambda$ 개의, 양의 측도의 서로소 집합들의 족이다. 이제, 다음 부분 집합들을 정의하자.

$\forall m<\omega \colon {\mathcal {U}}_{m}=\{U\in {\mathcal {U}}\colon \Pr(U)>1/(m+1)\}$

그렇다면,

$\bigcup _{m<\omega }{\mathcal {U}}_{m}={\mathcal {U}}$

이므로, 이 가운데 $|{\mathcal {U}}_{m_{0}}|=\lambda$인 $m_{0}\in \omega$가 존재한다. 따라서,

$\Pr \left(\bigcup {\mathcal {U}}_{m}\right)=\infty$

인데, 이는 확률 측도 조건과 모순이다.

특히, $\operatorname {Pow} (\omega _{1})$ 위의 임의의 ($\sigma$-가법) 확률 측도는 원자를 갖는다. 따라서, 만약 연속체 가설이 성립한다면, 실수선 $\mathbb {R}$ 위에, 모든 집합이 가측 집합이며, 원자가 존재하지 않는 확률 공간 구조는 존재하지 않는다.^{:133, Corollary 10.17}

역사

가측 기수는 스타니스와프 울람이 1930년에 도입하였고, 가장 작은 가측 기수가 (만약 존재한다면) 도달 불가능한 기수임을 증명하였다.

실가 가측 기수는 스테판 바나흐가 1930년에 도입하였다.^{:138, §10}

외부 링크

• “Cardinal number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Measurable cardinal”. 《nLab》 (영어). 
• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Measurable cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2016년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 9월 10일에 확인함. 
• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Weakly measurable cardinal” (영어). 2016년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 9월 10일에 확인함. 
• Hamkins, Joel David; Gitman, Victoria. “Mitchell rank and the Mitchell order” (영어). 2016년 10월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 9월 11일에 확인함. 
• Bering, Edgar A., IV (2013). “A brief introduction to measurable cardinals” (PDF). 《The Waterloo Mathematics Review》 (영어) 2 (2): 2–13. ISSN 1927-1417.