스토크스의 정리

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미적분학
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미분기하학에서 스토크스의 정리(영어: Stokes’ theorem)는 미분다양체 위의 미분형식의 적분에 관한 정리다. 이에 따라, 미분형식의 외미분을 다양체에 적분한 값은, 그 미분 형식을 다양체의 경계에 대하여 적분한 값과 같다. 벡터 미적분학의 몇몇 정리를 일반화한 것이다.

도입[편집]

미적분학의 기본정리구간 [a, b]위의 함수 f의 적분은 f부정적분F를 찾는 것으로 계산할 수 있다는 정리이다.

\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)

스토크스의 정리는 다음과 같은 관점에서 이 정리를 일반화한다.

  • \scriptstyle \frac{dF}{dx}=f(x)F가 결정되는 것에서, 미분형식의 관점에서 보면 f(x) dx는 0-형식(0-form)의 외미분(exterior derivative)이 된다. 즉, 함수 F에 대해 dF = f dx이다. 일반화된 스토크스 정리는 F대신 더 높은 미분형식에서도 적용 가능하다.
  • 폐구간 [a, b]는 경계를 갖는 일차원 미분다양체(one-dimensional manifold with boundary)의 간단한 예이다. 경계는 두 점 a, b로 이루어진 집합이 된다. 구간위의 함수 f를 적분하는 것은 고차원 다양체위에서 형식(form)을 적분하는 것으로 일반화할 수 있다. 두 가지 기술적인 조건이 필요한데, 다양체는 을 가져야 하고, 적분이 잘 정의되기 위해 형식(form)은 콤팩트 지지이여야 한다.
  • 두 점 a, b는 구간 [a, b]의 경계가 된다. 더 일반적으로, 스토크스의 정리는 경계를 갖는 유향다양체 M(oriented manifold with boundary)에 적용된다. M의 경계인 \partial M은 그 자체로 다양체가 되고, M이 방향성을 가짐에 따라 자연스럽게 유향다양체를 이룬다. 예를 들어 주어진 구간의 향은 두 경계점의 향을 준다. 직관적으로, 점 a는 점 b 방향으로 향을 가진다고 볼 수 있다.

그러므로 기본정리는 다음과 같이 해석된다.

\int_{[a, b]} f(x)\,dx = \int_{[a, b]} dF = \int_{\{a\}^- \cup \{b\}^+} F = F(b) - F(a).

정의[편집]

2차원 다양체에서의 적분 (그림에서는 \Omega 대신 D로 표기됨)

\Omega이 주어진, 경계를 가진 n차원 매끈한 미분다양체라고 하고, \omega\Omega 위에 정의된 (n−1)차 미분형식이라고 하자. 또한, \omega콤팩트 지지라고 하자. \partial\Omega\Omega의 경계라고 하면, 다음 등식이 성립한다. 이 등식을 스토크스의 정리라고 한다.

\int_\Omega \mathrm {d}\omega = \oint_{\partial \Omega} \omega

여기서 \mathrm {d}미분형식외미분이다.

특수한 경우[편집]

켈빈-스토크스 정리[편집]

스토크스 정리의 고전적인 형태로서 켈빈-스토크스 정리(영어: Kelvin–Stokes theorem)라고도 한다. 3차원 공간상의 폐곡선에서 수행되는 선적분은 스토크스의 정리에 의해 주어진 폐곡선이 둘러싼 임의의 곡면 R에서의 면적분으로 변환될 수 있다. 역도 가능하다.

\oint_{\partial R}{\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \iint_{R}{\operatorname{curl}\,\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}}

그린 정리[편집]

그린 정리도 2차원 다양체의 관점에서 마찬가지로 스토크스 정리의 특수한 형태라고 볼 수 있다. 스토크스 정리에서 즉시 유도된다.

발산 정리[편집]

발산 정리도 유클리드 공간에서 부피 형식(volume form)에 대한 스토크스 정리의 특수한 형태가 된다.

함께 보기[편집]

주석[편집]