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푸비니 정리

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해석학에서 푸비니 정리(-定理, 영어: Fubini’s theorem) 또는 푸비니-토넬리 정리(-定理, 영어: Fubini-Tonelli theorem)는 이중 적분은 두 번의 일변수 적분을 통해 구할 수 있고, 이는 두 변수에 대한 적분의 순서와 무관하다는 정리이다.

정의

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추이 측도로 유도된 측도의 경우

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다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 곱 가측 공간 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도 가 존재하며, 이는 시그마 유한 측도를 이룬다.

구체적으로 이 측도는 다음과 같다.

또한, 일반화 푸비니 정리(一般化-定理, 영어: generalized Fubini’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 임의의 음이 아닌 가측 함수 에 대하여, 다음 함수는 가측 함수이다.
  • 임의의 가측 함수 에 대하여, 만약 의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 -적분 가능하다면, 거의 모든 에 대하여, -적분 가능하다.)[1]:384–385, Theorem 10.7.2

곱측도의 경우

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시그마 유한 측도 공간 가 주어졌다고 하자. 또한 곱측도 공간이라고 하자. 푸비니 정리에 따르면, 다음이 성립한다.[2]:164–165

  • 임의의 음이 아닌 가측 함수 에 대하여, 다음 두 함수는 가측 함수이다.
  • 임의의 가측 함수 에 대하여, 만약 의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 -적분 가능하다면, 거의 모든 에 대하여 -적분 가능하며, 거의 모든 에 대하여 -적분 가능하다.)[3]:185, Theorem 3.4.4

이는 추이 측도에 대한 결과에서 다음 두 추이 측도를 취하여 얻는 특수한 경우이다.

리만 적분

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직사각형 위에 정의된 함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

  • 위에서 리만 적분 가능하다.
  • 임의의 에 대하여, 위에서 리만 적분 가능하다.
  • 임의의 에 대하여, 위에서 리만 적분 가능하다.

그렇다면, 다음이 성립한다.[4]:376

  • 위에서 리만 적분 가능하다.

증명:

다르부 적분의 정의에 따라, 임의의 에 대하여 리만 적분

가 존재한다는 가정 아래 다음 부등식이 성립함을 보일 수 있다.

여기서 은 각각 다르부 상적분다르부 하적분을 나타낸다. 따라서 만약 추가로 에서 리만 적분 가능할 경우 위 네 식이 모두 같아지므로 리만 적분

가 존재하며

이다. 남은 절반의 증명은 유사하다.

이상 적분

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확장된 실수 및 실수 및 함수 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  • 연속 함수이다.
  • 이상 적분 위에서 균등 수렴한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.[4]:391

  • 이상 적분 가 존재한다.

그 밖에도 다양한 꼴의 이상 적분에 대하여 유사한 결론이 성립한다.

역사

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이탈리아의 수학자 귀도 푸비니의 이름이 붙어 있다.

같이 보기

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각주

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  1. Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997. 
  2. Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함. 
  3. Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume I》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997. 
  4. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8. 

외부 링크

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