카발리에리의 원리

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카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)는 이탈리아의 수학자인 보나벤투라 카발리에리가 발견한 수학 원리로, 경계면으로 둘러싸인 두 입체 V,V'를 하나의 정해진 평면과 평행인 평면으로 자를 때, V,V'의 내부에 있는 잘린 부분의 면적의 비가 항상 m:n이면 입체 V,V'의 부피의 비도 m:n이 된다는 수학적 원리이다.

다시 말해 '어떤 두 개의 평면도형을 정직선에 평행인 직선으로 나누었을 때, 도형 내에 있는 선분의 비가 항상 m:n 일 때는, 그 2개의 도형의 넓이 의 비도 m:n과 같다.'라는 것이다. 또한, 이 원리를 입체인 경우로 확장하면 '단면의 비가 일정하면, 전체의 비도 똑같다'라고 간단하게 말할 수도 있다. 여기서 전체란 무한한 개수의 단면을 합쳐놓은 것이므로 부피라고 추측하는 것은 합리적이며 당연한 것이다. 이 원리를 m=n인 특정한 상황에 적용시키면, '2개의 입체에서 한 평면에 평행한 평면으로 자른 단면의 넓이가 항상 같으면 2개의 입체의 부피는 같다'라고 할 수 있다. 이 원리를 기초로 하여 각종 입체의 부피를 광범위하게 구할 수 있게 되었으며, 부피를 잘게 쪼개어 적분하는 구분구적법의 시초가 되기도 하였다.

한편 조충지가 카발리에리보다 이 원리를 먼저 발견하여, 조충지의 원리라고 부르기도 한다.

사용되는 예[편집]

구에서의 원 모양 단면과 원기둥에서 원뿔을 뺀 도형의 도넛 모양 단면은 같은 크기이다.

카발리에리의 원리를 응용하여 구의 부피를 계산할 수 있다.

구에서의 원 모양 단면과 원기둥에서 원뿔을 뺀 도형의 도넛 모양 단면의 크기가 \pi\left(r^2 - y^2\right)로 서로 같으므로 카발리에리의 원리에 따라 반구의 부피는 원기둥의 부피에서 원뿔의 부피를 뺀 것과 같음을 알 수 있다.

원기둥의 부피는 \pi r^3이고, 원뿔의 부피는 \frac{1}{3}\pi r^3이므로 원기둥의 부피에서 원뿔의 부피를 뺀 값은 \frac{2}{3}\pi r^3이고 이것은 반구의 부피와 같게 된다.

구의 부피는 반구의 부피의 2배이므로 \frac{4}{3}\pi r^3임을 알 수 있다.

같이 보기[편집]

  • 푸비니의 정리 (카발리에리의 원리는 푸비니의 정리의 특수한 경우이다.)